幾乎Prüfer整環(huán)的反向極限

周 霞

(西南財經(jīng)大學(xué)天府學(xué)院，四川綿陽621000)

D.E.Dobbs等［1］討論了局部的 Prüfer整環(huán)(即賦值整環(huán))的反向極限是局部的Prüfer整環(huán)，在非局部的情形下，只有在riding假設(shè)的條件下，才有Prüfer整環(huán)的反向極限是 Prüfer整環(huán).鑒于此，本文主要討論了幾乎 Prüfer整環(huán)(即設(shè)a，b∈R-{0}，存在某個正整數(shù)n，使得(an，bn)是可逆理想［2-5］)的反向極限.證明了幾乎賦值整環(huán)的反向極限是幾乎賦值整環(huán)(即設(shè)a，b∈R-{0}，存在某個正整數(shù)n，使得an|bn或bn|an［2-5］)，幾乎 Prüfer整環(huán)在 riding假設(shè)的條件下仍是幾乎Prüfer整環(huán).給出了例子說明幾乎 Prüfer整環(huán)的反向極限未必是幾乎Prüfer整環(huán)，并在第2部分的基礎(chǔ)上減弱riding假設(shè)的條件，得到了若(An，φn，m)是反向系統(tǒng)，設(shè)是(An，φn，m) 的相伴反向系統(tǒng)，An是幾乎Prüfer整環(huán)，則A*是幾乎 Prüfer整環(huán).對 D.E.Dobbs等在文獻［1］的注記2.4(b)的問題給出了一個答案.為了本文討論的需要，將一些相關(guān)內(nèi)容陳述如下.

設(shè)(I，≤)是正向偏序集(并不是必須規(guī)定I是正向的)，設(shè){An:n∈I}是一簇環(huán)，且有一簇同態(tài){φn，m:An→Am，其中n≥m}滿足:

1) φn，n是An的恒等映射；

2) φm，l= φm，n?φn，l，其中l(wèi)≤n≤m，

則稱(An，φn，m)是I上的環(huán)和態(tài)射的反向系統(tǒng).

定義反向系統(tǒng)(An，φn，m)的反向極限

顯然，A是An的子環(huán).對反向極限A，有標(biāo)準(zhǔn)映射Φn:A→An.于是在同構(gòu)意義下，反向系統(tǒng)的反向極限存在時是唯一的.

本文所研究的是在正整數(shù)指標(biāo)集N下的反向極限，所討論的整環(huán)都是有單位元的交換整環(huán).恒用qf(A)表示環(huán)A的商域.

1 反向極限的預(yù)備知識

為了后面敘述的方便起見，首先給出強Milnor方圖的定義.設(shè)如圖1所示的拉回圖滿足T是整環(huán)，M是T的非零的極大理想，R是T的真子環(huán)，F(xiàn)=T/M是域，于是M是R的素理想，D=R/M是F的真子環(huán)，φ是自然同態(tài)，則圖1稱為強Milnor方圖(有關(guān)強Milnor方圖的更多性質(zhì)與作用請參見文獻［6-8］).

圖1

引理 1.1設(shè)(An，φn，m:An→Am；n≥m≥1)是交換環(huán)的反向系統(tǒng)，φn，n是恒等映射，且設(shè)是反向極限.令Φn:A→An是標(biāo)準(zhǔn)映射，Qn=Ker(Φn)，則:

1)A={(an) ∈ ∏An|φn+1，n(an+1)=an，對每個n∈N}；

2)對每個n∈N，Φn是包含映射A→∏Ak與標(biāo)準(zhǔn)投射∏Ak→An的合成；

3) 對每個n∈N，Qn={(ak)∈A|ak=0，對每個k≤n}；

4)Q1?Q2?Q3?…，且∩Qn=0；

5)如果對每個n∈N，An是整環(huán)，則A是整環(huán)；

6)如果對每個n∈N，An是賦值整環(huán)，則A是賦值整環(huán).

下面給出riding假設(shè)及其記號.設(shè)對每個n，{A1；(Fn，Bn):n∈N}滿足:

1)Bn是局部整環(huán)，且有極大理想Mn≠0；

2)Fn=Bn/Mn，φn:Bn→Fn是滿射且

3)A1是整環(huán)但不是域，qf(A1)?F1.

對每個n，設(shè)An+1是Bn×FnAn的如圖2所示的拉回圖.

圖2

則An+1包含于Bn，從而包含于Fn+1.因為Mn≠0，An+1和Bn有公共的非零理想，且

顯然，圖2是強Milnor方圖.因此，由上述條件可得如圖3所示的拉回圖集.

圖3

其中 φn，n-1:An→An-1是滿射，因為對.如果n≥m，考慮下述滿射

且 φn，n:An→An取恒等映射.由同態(tài) φn，m所決定的反向系統(tǒng)稱為是由{A1；(Fn，Bn):n∈N}所生成的反向系統(tǒng).令

Φn:A→An是標(biāo)準(zhǔn)映射，且Qn=Ker(Φn).

引理1.2在riding假設(shè)下，有:

1)對每個n∈N，Φn是滿射；

2) 對每個n∈N，Qn∈Spec(A)且A/Qn?An，因此A是整環(huán)；

3) 對每個n∈N，Mn=Ker(φn+1，n)且

在文獻［9］中，設(shè)R是整環(huán)，對P∈Spec(R)，稱P是R的除子素理想，如果PRP=P；或者等價于如圖4所示的同態(tài)圖形.

圖4

顯然圖4是一個強Milnor方圖.

2 幾乎Prüfer整環(huán)在riding假設(shè)下的反向極限

因為幾乎賦值整環(huán)在對幾乎Prüfer整環(huán)的刻畫中起著重要作用，所以在本部分中首先考慮幾乎賦值整環(huán)的反向極限問題.

定理 2.1設(shè)(An，φn，m:An→Am；n≥m≥1)是交換環(huán)的反向系統(tǒng)，φn，n是恒等映射，且A=lim←(An)是反向極限.令 Φn:A→An是標(biāo)準(zhǔn)映射，Qn=Ker(Φn).如果對每個n∈N，An是幾乎賦值整環(huán)，則A也是幾乎賦值整環(huán).

證明任取 α=(αn)，β=(βn)∈A，只需證明存在某個正整數(shù) γ，使得 αγ∈Aβγ或 βγ∈Aαγ即可.

情形1因為An是幾乎賦值整環(huán)，從而對每個n∈N，取 μn∈An，存在某個正整數(shù) γ，使得

又因為A是整環(huán)，則或者或者

若，則 φn，m(μn)= μm，從而 μ =(μn)∈A，顯然有αγ=μβγ.若對某個m∈N，βm=0m，不妨設(shè)k是使得βm=0m的最大的正整數(shù)(即對m＞k，有βm≠0m；m≤k，有 βm=0m)，從而對n≥m＞k，φn，m(μn)=μm，而對 1≤i≤k，

因為存在反向系統(tǒng)，故對n≥m，φn，m(vn)=vm，于是v∈A.那么，對每個n，有，所以

情形2設(shè)對某個n＞m，因為An、Am都是幾乎賦值整環(huán)，從而取rn∈An，sm∈Am，存在某個正整數(shù)γ，使得

由上述定理知，幾乎賦值整環(huán)的反向極限是幾乎賦值整環(huán)，接下來討論幾乎Prüfer整環(huán)在riding假設(shè)條件下的反向極限.

推論2.2下述條件等價:

1)對每個n∈N，An是幾乎賦值整環(huán)；

2)A1是幾乎賦值整環(huán)，且對每個n∈N，Bn是幾乎賦值整環(huán)，qf(An)?Fn是根擴張；

3)A是幾乎賦值整環(huán).

證明1)?3) 由定理2.1可知.

3)?1) 因為A是幾乎賦值整環(huán)且

故An是幾乎賦值整環(huán).

1)?2) 考慮如圖5所示的強Milnor方圖.

圖5

由文獻［10］的定理2.2知，An+1是幾乎賦值整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An和Bn均是幾乎賦值整環(huán)，且qf(An)?Fn是根擴張.重復(fù)該結(jié)果，可得1)?2)和2)?1).

定理2.3下述條件等價:

1) 對每個n∈N，An是幾乎Prüfer整環(huán)；

2)A1是幾乎 Prüfer整環(huán)，且對每個n∈N，Bn是幾乎賦值整環(huán)，qf(An)?Fn是根擴張；

3)A是幾乎Prüfer整環(huán).

證明3)?1) 因為A是幾乎 Prüfer整環(huán)且An?A/Qn，故An是幾乎 Prüfer整環(huán).

1)?3) 對每個P∈Spec(A)，由文獻［1］的命題2.15知，對所有n≥m=m(P)有

又因為An是幾乎Prüfer整環(huán)，故(An)Pn是幾乎賦值整環(huán)，由定理2.1知，AP是幾乎賦值整環(huán)，所以A是幾乎 Prüfer整環(huán).

1)?2) 考慮如圖5所示的強Milnor方圖，并由文獻［10］的定理 2.2 知，An+1是幾乎 Prüfer整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An和Bn均是幾乎 Prüfer整環(huán)，且qf(An)?Fn是根擴張.由于Bn是局部環(huán)，而局部的幾乎Prüfer整環(huán)是幾乎賦值整環(huán).則An+1是幾乎Prüfer整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An是幾乎 Prüfer整環(huán)，Bn是幾乎賦值整環(huán)，qf(An)?Fn是根擴張.重復(fù)該結(jié)果，可得1)?2)和2)?1).

D.D.Anderson 等［2］給出了幾乎 Bézout整環(huán)的概念，即設(shè)a，b∈R-{0}，存在某個正整數(shù)n，使得(an，bn)是主理想.于是有幾乎Bézout整環(huán)在riding假設(shè)的條件下的反向極限也是幾乎 Bézout整環(huán).

推論2.4下述條件等價:

1)對每個n∈N，An是幾乎Bézout整環(huán)；

2)A1是幾乎 Bézout整環(huán)，且對每個n∈N，Bn是幾乎賦值整環(huán)，qf(An)?Fn是根擴張；

3)A是幾乎Bézout整環(huán).

證明1)?2) 考慮強如圖5所示的Milnor方圖，并由文獻［10］的定理2.9知，An+1是幾乎Bézout整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An和Bn均是幾乎 Bézout整環(huán)，且qf(An)?Fn是根擴張.由于Bn是局部環(huán)，而局部的幾乎Bézout整環(huán)是幾乎賦值整環(huán).則An+1是幾乎Bézout整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An是幾乎Bézout整環(huán)，Bn是幾乎賦值整環(huán)，qf(An)?Fn是根擴張.重復(fù)該結(jié)果，可得1)?2)和2)?1).

3)?1) 因為A是幾乎Bézout整環(huán)且

故An是幾乎Bézout整環(huán).

1)+2)?3) 因為A1?A/Q1，Q1是A的除子素理想.由除子素理想的等價定義如圖6所示的強Milnor方圖.

圖6

A是幾乎Bézout整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A1是幾乎Bézout整環(huán)，AQ1是幾乎賦值整環(huán).所以要證明A是幾乎Bézout整環(huán)，只需證明A1是幾乎Bézout整環(huán)和AQ1是幾乎賦值整環(huán).由2)知，A1是幾乎Bézout整環(huán).由1)知，An是幾乎 Bézout整環(huán)，從而An是幾乎Prüfer整環(huán)，再由定理2.3 可得，A是幾乎 Prüfer整環(huán)，于是有AQ1是幾乎賦值整環(huán)，因此A是幾乎Bézout整環(huán).

3 幾乎Prüfer整環(huán)的反向極限

在第2部分討論了在 riding假設(shè)下，幾乎Prüfer整環(huán)的反向極限是幾乎 Prüfer整環(huán).若去掉riding假設(shè)，則幾乎Prüfer整環(huán)的反向極限未必是幾乎 Prüfer整環(huán).

例3.1存在一個反向系統(tǒng)

使得對每個n∈N，An是幾乎 Bézout整環(huán)(因此也是幾乎 Prüfer整環(huán))，但是不是幾乎Prüfer整環(huán)(因此也不是幾乎 Bézout整環(huán)).

證明設(shè)存在一個整閉整環(huán)A(即設(shè)R是整環(huán)，Rc表示R在其商域K中的整閉包，若Rc=R，則稱R是整閉整環(huán))不是幾乎Prüfer整環(huán)，且A的極小賦值擴環(huán)集{Vi|i∈N}是可數(shù)的.對每個n∈N，令

由文獻［11］的定理107知，An是 Bézout整環(huán)(從而也是 Prüfer整環(huán))，則An也是幾乎 Bézout整環(huán)(從而也是幾乎Prüfer整環(huán)).定義

如果n≥m，定義 φn，m:An→Am是包含映射，則{φn，m|n≥m}成為一個反向系統(tǒng).但是它的反向極限

不是幾乎Prüfer整環(huán)(也不是幾乎Bézout整環(huán)).

建構(gòu)一個具有上述性質(zhì)的整環(huán)，設(shè)k是一個可數(shù)域，X是k上的未定元，且V=k(X)+M是有極大理想M的賦值整環(huán)，從而就是一個整閉的幾乎賦值整環(huán)，則A=k+M是整閉的，但不是幾乎Prüfer整環(huán).

在例3.1中的反向系統(tǒng){φn，m:An→Am|n≥m}缺乏一個重要條件，即φn，m不是滿射.在第2部分后面的討論中均設(shè)(An，φn，m:An→Am；n≥m)是一個反向系統(tǒng)，φn，m是滿射.令

是標(biāo)準(zhǔn)映射，Qn=Ker(Φn)且Qn，m=Ker(φn，m)，其中n≥m.稱此假設(shè)為弱riding假設(shè).在弱riding假設(shè)下，下述引理3.2中的結(jié)果仍然成立.

引理3.21)對每個n∈N，Φn是滿射；

2) 對每個n∈N，A/Qn?An；

3) 如果r≥n，則

4) 如果r≥n∈N，則

下面主要討論，當(dāng)An是一個幾乎Prüfer整環(huán)時，是否有A是幾乎 Prüfer整環(huán).即對P∈Spec(A)，AP是否是幾乎賦值整環(huán).證明要求P包含某個Qk，這個條件在riding假設(shè)下自然成立，但是在弱riding假設(shè)下并不確保Qk?P.鑒于例3.1，首先應(yīng)集中考慮An是一個幾乎Bézout整環(huán)的情況.在這部分中，如果

則定理3.3將給出一個肯定的結(jié)果.同第2部分中的結(jié)果對比，則定理3.3和推論3.4不需要下述條件:對每個n，Qn+1，n是An+1的除子素理想.

定理3.3設(shè)對每個n，An是幾乎Bézout整環(huán)，且 φn+1，n誘導(dǎo)滿射:U(An+1)→U(An).如果對P∈Spec(A)，使得對某個正整數(shù)k，Qk?P，則AP是幾乎賦值整環(huán).

證明對任意的α，β∈AP，只需證明，存在某個正整數(shù)t，使得 αt∈βtAP或 βt∈αtAP.由一般性，不妨設(shè) α，β∈P，記

通過限制到(共尾)集{n∈N|n≥k}和對其進行重新標(biāo)記，不妨取k=1，從而Q1?P，且對每個n≥1，

于是對所有的n，αn≠0和 βn≠0.因為An是幾乎Bézout整環(huán)，所以An是幾乎 GCD-整環(huán)(即設(shè)a，b∈R-{0}，存在某個正整數(shù)n，使得(an，bn)v是主理想.詳情請參見文獻［2］)，從而存在某個正整數(shù)t和dn∈An，使得

因為An+1是幾乎Bézout整環(huán)，所以An+1是幾乎GCD-整環(huán)，有

是 α'n+1與 β'n+1的線性組合，應(yīng)用于 φn+1，n，則有

是 φn+1，n(α'n+1)與 φn+1，n(β'n+1)的線性組合.由文獻［11］的定理49知

又因為的任何2個最大的共因子是相伴的，故存在 μn∈U(An)，使得 φn+1，n(dn+1)= μndn.

因為 φ2，1(U(A2))=U(A1)，重新定義d2以確保 φ2，1(d2)=d1，特別地d2=r2d2，其中r2∈U(A2)，滿足 φ2，1(r2)= μ-1.用同樣的方法重新定義d3，d4，…，以便對所有的n≥1，有 φn+1，n(dn+1)=dn.從而因為

推論3.4設(shè)對每個n，An是幾乎Bézout整環(huán)，且 φn+1，n誘導(dǎo)滿射:U(An+1)→U(An).如果對Spec(A)=∪{Im(Spec(An)→Spec(A))|n∈N}，則A是幾乎Prüfer整環(huán).

由文獻［13］知，如果P是整環(huán)R的素理想，則R關(guān)于P的CPI-擴張是由下述拉回圖:R(P)=RP×RP/PRPR/P所給出的一個整環(huán).又由文獻［12］的定理2.4、命題2.5和文獻［9］的引理2.4知，PRP是R(P)的一個除子素理想.

設(shè){φn，m:An→Am|n≥m}滿足弱 riding 假設(shè)，定義反向系統(tǒng)是{φn，m}的相伴反向系統(tǒng):如果對每個n≥2，設(shè)

4 PVMD的反向極限

D.E.Dobbs等［1］提出可以考慮PVMD和GGCD整環(huán)在riding假設(shè)下的反向極限.因此，在這部分中討論在riding假設(shè)下PVMD和G-GCD整環(huán)的反向極限.

為了本部分討論的需要，現(xiàn)設(shè)K是R商域.所謂整環(huán)R上的星型算子指的是非零分式理想集合上的一個映射*:F(R)→F(R)，它滿足以下性質(zhì):

1) 對任意A∈F(R)，a∈K-0有

(a)*=(a)，(aA)*=aA*；

2) 對任意A，B∈F(R)，若A?B，則有A*?B*；

3)對任意A∈F(R)，有A?A*，且(A*)*=A*.

對A∈F(R)，若A*=A，則A稱為R的*-分式理想.若A是R的理想且A*=A，則A稱為R的* -理想.設(shè)A∈F(R)，算子A→Av=(A-1)-1稱為v-算子，而A→At=∪{Bv|B取遍A的所有有限生成子分式理想}是t-算子.關(guān)于另一類重要的w-算子，首先需知道Glaz-Vasconcclos理想(簡稱為GV-理想)的概念.即如果J是R的有限生成理想且J-1=R，則稱J是GV-理想.于是對A∈F(R)，算子A→Aw={x∈K|Jx?A，對某個J∈GV(R)}是w-算子.

設(shè)I是R的分式理想，如果存在R的分式理想J，使得(IJ)w=R，則稱I是R的w-可逆分式理想.如果R的每個有限生成理想是w-可逆的，則R稱為PVMD(有關(guān)PVMD與星型算子的詳細(xì)相關(guān)內(nèi)容可參見文獻［6-7］和［14-15］).若R的任意2個主理想的交仍是主理想，則R是GCD整環(huán)，GCD整環(huán)的推廣類G-GCD整環(huán)是指:任意2個可逆理想的交仍是可逆理想.

命題4.1設(shè)RDTF是一個強Milinor方圖，若R是PVMD，則M是T的t-理想.

證明假設(shè)M不是T的t-理想，因為M是T的極大理想，故Mt1=T，其中t1表示T上的t-算子.則存在一個有限生成理想

則I?M且IT=J，因此

T=M-1?I-1?(IT)-1=J-1=T，

故Iv=M.又因為R是一個 PVMD，則(a1，a2，…，ar)是w-可逆的，故I是w-可逆的，則M是w-可逆的.對任意x∈(M:M)，有xM?M，則x∈R，從而T?R，矛盾.所以M是T的t-理想.

引理4.2設(shè)R是整環(huán)，P是R的除子素理想，則P是w-理想.

證明因為P是R的除子素理想，故存在如圖4所示的強Milnor方圖，從而P=PRP是R的v-理想，也是R的w-理想.

定理4.3下述條件等價:

1)對每個n∈N，An是PVMD；

2)A1是PVMD，且對每個n∈N，Bn是賦值整環(huán)，qf(An)=Fn；

3)A是PVMD.

證明1)?2) 考慮如圖5所示的強Milnor方圖，由文獻［16］的定理4.1知，An+1是PVMD當(dāng)且僅當(dāng)An和Bn均是PVMD，(Bn)Mn是賦值整環(huán)且qf(An)=Fn.又Mn為Bn的t-理想，從而為w-理想，故Mn是Bn的極大的w-理想.而w-局部的PVMD是賦值整環(huán).則An+1是PVMD當(dāng)且僅當(dāng)An是PVMD，Bn是賦值整環(huán)，且qf(An)=Fn.重復(fù)該結(jié)果，可得1)?2)和2)?1).

3)?1) 因為Qn是A的除子素理想，故存在如圖7所示的強Milnor方圖.

圖7

而A是 PVMD，故A/Qn是 PVMD.又因為An?A/Qn，所以An是 PVMD.

1)+2)?3) 因為A1?A/Q1，Q1是A的除子素理想.由除子素理想的等價定義有如圖6所示的強Milnor方圖，A是PVMD當(dāng)且僅當(dāng)A1是PVMD，AQ1是賦值整環(huán).所以要證明A是PVMD，只需證明A1是 PVMD和AQ1是賦值整環(huán).由 2)知，A1是PVMD.由 1)知，當(dāng)r≥1 時，有 Φr(Q1)=Qr，1，且對每個n∈N有

再由文獻［1］的命題2.15知

而Qr，1是Ar的除子素理想，從而是素w-理想.又Ar是 PVMD，那么(Ar)Qr，1是賦值整環(huán)，由定理 3.1知，AQ1是賦值整環(huán)，從而A是PVMD.

推論4.4設(shè)RDTF是一個強Milinor方圖，若R是G-GCD整環(huán)，則M是T的t-理想.

證明因為G-GCD整環(huán)是PVMD，由命題4.1知成立.

命題4.5設(shè)R是G-GCD整環(huán)，P是R的素理想，則R/P是G-GCD整環(huán).

證明設(shè)x，y∈R/P，則存在a，b∈R，使得x=，y=.又因為R是G-GCD整環(huán)，有aR∩bR是可逆理想.而

故xˉR∩y是可逆理想，從而R/P是G-GCD整環(huán).

定理4.6下述條件等價:

1)對每個n∈N，An是G-GCD整環(huán)；

2)A1是G-GCD整環(huán)，且對每個n∈N，Bn是賦值整環(huán)，qf(An)=Fn；

3)A是G-GCD整環(huán).

證明1)?2) 考慮如圖5所示的強Milnor方圖，由文獻［16］的定理4.2知，An+1是 G-GCD整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An和Bn均是G-GCD整環(huán)，(Bn)Mn是賦值整環(huán)且qf(An)=Fn.又Mn為Bn的t-理想，故Mn是Bn的極大的t-理想.而Bn局部的GGCD整環(huán)是GCD整環(huán)，從而Bn是t-局部的GCD整環(huán)，則Bn是賦值整環(huán).因此An+1是G-GCD整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)An是G-GCD整環(huán)，Bn是賦值整環(huán)，且

重復(fù)該結(jié)果，可得1)?2)和2)?1).

3)?1) 因為A是 G-GCD整環(huán)且An?A/Qn，由命題4.5知，An是G-GCD整環(huán).

1)+2)?3) 因為A1?A/Q1，Q1是A的除子素理想.由除子素理想的等價定義有如圖6所示的強Milnor方圖，A是G-GCD整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)A1是G-GCD整環(huán)，AQ1是賦值整環(huán).所以要證明A是G-GCD整環(huán)，只需證明A1是G-GCD整環(huán)和AQ1是賦值整環(huán).由2)知，A1是G-GCD整環(huán).因為An是G-GCD整環(huán)，從而An是PVMD，由定理4.3知，A是PVMD，又Q1是A的除子素理想，于是Q1是A的素w-理想，那么AQ1是賦值整環(huán)，所以有A是G-GCD整環(huán).

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