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(馬寅初中學(xué) 浙江嵊州 312400)

●施哲明

(嵊州市教研室 浙江嵊州 312400)

三角形是最簡(jiǎn)單的封閉幾何圖形．從小學(xué)、初中到高中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與三角形的聯(lián)系越來(lái)越緊密和頻繁，在數(shù)學(xué)的各種學(xué)習(xí)內(nèi)容、各類試題背景中成為最活躍的幾何圖形之一．這個(gè)小小的三角形中充滿了無(wú)限的奧秘和變化：從最基本的3條線段、3個(gè)角的組成來(lái)看就包含著許多優(yōu)美的性質(zhì)，既有邊長(zhǎng)關(guān)系，又有角度關(guān)系，還有邊角合一的正弦定理、余弦定理等等；若涉及中線、角平分線、垂線等，那更是到了一個(gè)神奇的三角王國(guó)；若再把它隱藏到某一些幾何圖形中，如圓錐曲線中的特征三角形、立體幾何中的線面角和面面角等，那更顯得豐富多彩，真可以說(shuō)是三角、代數(shù)、幾何、圖形的百川交匯．正由于它在平凡中充滿著無(wú)窮的魅力，因此得到高考命題者的青睞．本文例舉若干以三角形為背景的試題，展現(xiàn)它在試題命制中的不同側(cè)面，供大家欣賞和參考．

1 定理為先，“邊角”互通

在高中數(shù)學(xué)中，三角形性質(zhì)的代數(shù)化表達(dá)中，最重要的就是正弦定理和余弦定理，它們溝通了三角形的邊角關(guān)系，也提供了邊角相互轉(zhuǎn)化的工具．因此高考中有關(guān)三角形的試題最直接、最常見(jiàn)的就是應(yīng)用正弦定理、余弦定理解決三角形中的有關(guān)度量問(wèn)題．

(1)求A；

(2012年新課標(biāo)全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題第17題)

分析(1)由已知條件及正弦定理得

因?yàn)锽=π-A-C，所以

得

評(píng)析正弦定理和余弦定理是解決有關(guān)斜三角形邊角問(wèn)題的2個(gè)重要定理，利用這2個(gè)定理可將邊角關(guān)系達(dá)到統(tǒng)一．本題第(1)小題求角，故需把邊轉(zhuǎn)化為角；第(2)小題求邊長(zhǎng)，故需選用含3個(gè)邊長(zhǎng)變量的余弦定理．在研究較復(fù)雜的三角形問(wèn)題時(shí)，常需正、余弦定理綜合使用，甚至反復(fù)使用．

2 向量為“橋”，運(yùn)算為“梁”

從向量進(jìn)入高中數(shù)學(xué)后，三角形的幾何性質(zhì)就可以用向量的形式來(lái)表現(xiàn)．既具代數(shù)表達(dá)形式又具非凡魅力的幾何意義的向量，在解決許多以三角形為背景的高考試題中，成為一道亮麗的風(fēng)景線．

A．2 B．4 C．5 D．10

(2012年江西省數(shù)學(xué)高考試題第7題)

分析1以C為原點(diǎn)、CA，CB所在直線為x，y軸建立直角坐標(biāo)系.設(shè)A(a,0)，B(0,b),則

從而 |PA|2+ |PB|2=

故選D．

故選D．

分析3由平行四邊形性質(zhì)得

故選D．

評(píng)析此題以直角三角形為背景呈現(xiàn)，初看似乎與平面向量無(wú)關(guān)，但倘若運(yùn)用代數(shù)方法來(lái)解決此題會(huì)覺(jué)得無(wú)從入手，但一旦看清此題考查的真正意圖，再合理運(yùn)用平面向量的運(yùn)算，就能迎刃而解．真所謂是“不識(shí)廬山真面目，只緣身在此山中”．

( )

A．∠ABC=90° B．∠BAC=90°

C．AB=ACD．AC=BC

(2013年浙江省數(shù)學(xué)高考理科試題第7題)

圖1

分析如圖1，在△ABC中，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則

同理可得

3 多“管”齊下，精彩紛呈

在高中數(shù)學(xué)中，涉及到三角形性質(zhì)的試題，其表現(xiàn)形式往往是代數(shù)形態(tài).而解決的主要手段，也是借助于三角、代數(shù)的方法．但在實(shí)際問(wèn)題中，我們常常結(jié)合幾何圖形采用多種方法，從不同角度加以解決，這也恰好反映了三角形在高中數(shù)學(xué)中的魅力所在．

例4在△ABC中，AB=4，M為BC的中點(diǎn)，且AM=1，則∠BAC的最小值為_(kāi)_____．

(2013～2014學(xué)年第一學(xué)期浙江省嵊州市高三期末檢測(cè)試題)

解法1(以所求∠BAC為目標(biāo))如圖2，由余弦定理得

a2=16+b2-8bcos∠BAC,

(1)

由式(2)，式(3)得

a2=4-16bcos∠BAC,

(4)

由式(1)，式(4)得

故∠BAC≥150°．

圖2 圖3

解法2(以所求角的補(bǔ)角∠ABD為目標(biāo))如圖3，延長(zhǎng)AM到點(diǎn)D，使得AM=MD，聯(lián)結(jié)BD,CD.設(shè)∠ABD=θ，BD=x，則由余弦定理得

4=16+x2-8xcosθ，

即

故θ≤30°，從而∠BAC≥150°．

解法3在△ABD中，由正弦定理得

即

圖4

(x+6)2+y2=4，

這就是點(diǎn)C的軌跡．當(dāng)AC與圓相切的時(shí)候，∠BAC的最小值為150°．

故∠BAC的最小值為150°．

解法6如圖5，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)Q，使得BA=AQ.因?yàn)辄c(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，所以AM為QC的中位線，從而QC=2，即點(diǎn)C的軌跡是以Q為圓心、半徑為2的圓．故當(dāng)AC與圓Q相切時(shí)，∠BAC的最小值為150°．

圖5 圖6

解法7(以中點(diǎn)M的軌跡為目標(biāo))如圖6，延長(zhǎng)AM到點(diǎn)D，使得AM=MD.因?yàn)锳D=2，所以點(diǎn)D在以A為圓心、半徑為2的圓上，當(dāng)BD與圓相切時(shí)，∠ABD最大，從而∠BAC的最小值為150°．

評(píng)析運(yùn)用三角、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算、解析幾何、數(shù)形結(jié)合等多種數(shù)學(xué)方法，緊緊圍繞解題目標(biāo)，展開(kāi)了不同的解法，充分展示了三角形命題在高中數(shù)學(xué)中的復(fù)雜性和解法的多樣性、綜合性.本題無(wú)論從試題的命制，還是解法的呈現(xiàn)，都讓人賞心悅目，余味無(wú)窮．

4 置之于“形”，百花齊放

正如前面所述，三角形是最簡(jiǎn)單也是最基本的平面封閉圖形,許多試題往往將它“鑲嵌”于其中，并以它作為背景、有機(jī)地融合了各方面的知識(shí)進(jìn)行考查，形成了一批內(nèi)涵豐富、立意新穎的試題．

( )

A．{Sn}為遞減數(shù)列

B．{Sn}為遞增數(shù)列

C．{S2n-1}為遞增數(shù)列，{S2n}為遞減數(shù)列

D．{S2n-1}為遞減數(shù)列，{S2n}為遞增數(shù)列

(2013年全國(guó)數(shù)學(xué)高考試題第12題)

分析通過(guò)邊長(zhǎng)的遞推關(guān)系，得

結(jié)合an+1=an，可知點(diǎn)An在以Bn，Cn為焦點(diǎn)的橢圓上，且

故邊BnCn上的高逐漸增大.又因?yàn)閨BnCn|=a1，所以{Sn}為遞增數(shù)列．

評(píng)析此題將三角形的頂點(diǎn)以遞推數(shù)列的動(dòng)態(tài)形式給出，隱含圓錐曲線定義于其中，也不是通過(guò)簡(jiǎn)單的高的變化來(lái)反映三角形的面積，而是通過(guò)相鄰2條邊的長(zhǎng)度之間的關(guān)系來(lái)體現(xiàn)三角形的面積變化.在領(lǐng)略不凡新意的同時(shí)，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力和數(shù)學(xué)想象能力給予了深度的考查．

(2013年浙江省金華市高三月考試題第16題)

圖7

分析如圖7，依題意有

|BF1|= |AF1|-|AB|=

|AF1|-|AF2|=2a.

因?yàn)閨BF2|-|BF1|=2a，所以

|BF2|=4a，

故

|AF2|=4a,|AF1|=6a.

又∠F1AF2=60°,|F1F2|=2c,由余弦定理得

4c2=36a2+16a2-2×6a×4a×cos60°=28a2，

隨著學(xué)習(xí)階段的提升，有關(guān)三角形的試題的變化，表現(xiàn)特征為從幾何圖形及幾何性質(zhì)向代數(shù)形式轉(zhuǎn)變，從單一的知識(shí)向綜合性知識(shí)轉(zhuǎn)變，從簡(jiǎn)單背景向復(fù)雜背景轉(zhuǎn)變．這就需要教師在教學(xué)中，抓住三角形幾何性質(zhì)的不同表現(xiàn)形式，綜合運(yùn)用各種方法，靈活應(yīng)用幾何結(jié)論，方能簡(jiǎn)捷高效地解決新形式的三角形問(wèn)題．