●

(黃陂區(qū)第一中學(xué)盤龍校區(qū) 湖北武漢 430312)

競賽試題通常凝聚著命題專家的智慧，解題視角廣、途徑多,富含著數(shù)學(xué)的精神、思想和方法.對于一個數(shù)學(xué)問題，若能根據(jù)已知與要求之間的關(guān)系，發(fā)散思維，善于聯(lián)系，多角度深入的思考，可以得到多種不同的解法，從而訓(xùn)練思維的靈活性，優(yōu)化思維品質(zhì)．

本題是2013年湖北省高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽高一試題的第11題．求函數(shù)值域大家再熟悉不過，然而當你動筆去做時，你會發(fā)現(xiàn)，此題看似平淡，其實意蘊不凡.下面給出筆者的一些思考．

視角1單調(diào)性解 彰顯通法

從而

故

①若x∈[1,+∞)，則當x=1時y=1;當x→+∞時，y→+∞,故y≥1.

②若x∈(-∞,-1]，則當x=-1時，y=1；當x→-∞時，

故

評析單調(diào)性是函數(shù)性質(zhì)的靈魂，借助單調(diào)性求函數(shù)的值域是中學(xué)階段最為重要的方法之一．有些函數(shù)的單調(diào)性可直接分析函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，而有些則需要借助導(dǎo)數(shù)求解.解法1的關(guān)鍵是當x≤-1時對式子進行恰當變形，將變量集中在一個式子中，目的是分析出函數(shù)的單調(diào)性；解法2利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是通法，充分體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用價值.

視角2合理換元 意在簡化

由0≤sinθ≤1，知y≥1.

由

0≤sinθ<1,1≤1+sinθ<2，

知

將式(2)平方得

將式(1)代入式(3)得

即 4yt-y+2t=0.

(4)

從而

于是

故

評析解法3聯(lián)想三角函數(shù)中的平方關(guān)系，借助三角換元，順利將根號去掉，最后利用三角函數(shù)的有界性來解題．解法4采用均值換元，先通過平方去掉根號，再借助關(guān)于t的一元二次的方程有符合條件的根求解．換元法是數(shù)學(xué)解題中的基本方法，表達式中的根號無疑是解題中的最大障礙，以上2種解法的初衷都是去掉根號.

視角3以形助數(shù) 貴在直觀

圖1

n2=m(m-1)，

其中m≥0，即

評析“數(shù)形結(jié)合”的思想是高中階段重要的數(shù)學(xué)思想，不少代數(shù)問題都有其幾何背景.挖掘這些幾何特征，“以形助數(shù)”能讓問題的解決更直觀簡捷，也體現(xiàn)了命題人“多一點想，少一點算”的指導(dǎo)思想．

視角4巧妙反解 避重就輕

平方得

y2-2yx2=-x2,

即

(1-2y)x2=y2.

故

評析數(shù)學(xué)也是一個充滿思辨性的學(xué)科，“主與次”、“動與靜”在很多時候是可以相互轉(zhuǎn)化的，解法6正好體現(xiàn)了這一思想的運用，值得體會．

視角5不等式法 自然天成

解法7若x∈[1,+∞]，略.若x∈(-∞,-1]，顯然y≤1，又因為

評析本題的難點在于當x≤-1時的求解，在放縮過程中，雖然等號取不到，但可無限接近．原本不等式的運用難在配湊，而此題無需配湊，自然天成，命題人可謂用心良苦，讓人拍案叫絕！

解題是數(shù)學(xué)的永恒主題，數(shù)學(xué)的解題歷程是一項富有挑戰(zhàn)性的活動，每一次的解題思維過程都會給我們留下深刻的解題體驗和感悟．《新課標》明確提出了使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗的目標要求．以上提供的7種解法，涉及函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、三角、不等式等諸多知識，用到了換元、構(gòu)造、反解等重要方法，滲透了分類討論、數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、函數(shù)與方程等核心思想．