孫慧玲, 陳寶錠, 陳華寶, 李清波

(1.淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300; 2.淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

基于橢圓基元光子晶體的寬角度自準直傳輸研究

孫慧玲1, 陳寶錠2, 陳華寶2, 李清波2

(1.淮陰師范學(xué)院 人事處, 江蘇 淮安 223300; 2.淮陰師范學(xué)院 物理與電子電氣工程學(xué)院, 江蘇 淮安 223300)

針對二維光子晶體在自準直傳輸現(xiàn)象,推導(dǎo)了非正交坐標系下的時域有限差分(FDTD)模型,有效地計算了二維橢圓基元光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)．結(jié)合等頻圖分析,從理論上研究了二維橢圓基元光子晶體結(jié)構(gòu)中TM模式的自準直現(xiàn)象,優(yōu)化設(shè)計出寬角度自準直效應(yīng)模型,并通過高斯波束驗證了其無衍射自導(dǎo)傳輸模式．

光子晶體; 自準直; 非正交時域有限差分方法

0 引言

自1987年美國貝爾通信實驗室的Eli Yablonovitch 教授和美國Priceton大學(xué)的Sajeev John教授在Physical Review Letters雜志上獨立地提出了光子晶體(Photonic crystals, PCs)的概念以來,光子晶體獨特的能帶結(jié)構(gòu)以及由此導(dǎo)致的奇特電磁特性使其成為近幾十年來一直備受關(guān)注的熱點研究課題．光子晶體最大的特點就是對光子傳播的調(diào)控,有關(guān)帶隙及其應(yīng)用的研究一直處于光子晶體研究的核心地位,例如:波導(dǎo)[1],濾波器[2],諧振腔[3]等．除了最基本的禁帶性質(zhì),人們發(fā)現(xiàn)通過引入缺陷等方式破壞光子晶體的完整周期后,將在其帶隙中形成一些新的模式,例如點缺陷引發(fā)的局域共振模式[4],線缺陷產(chǎn)生的波導(dǎo)模式[5]．此外,熱門的研究還包括光波在光子晶體中傳播的動力學(xué)效應(yīng),包括遂穿,超光速等[6,7]．同時,近年來,越來越多的人關(guān)注于光子晶體異常色散特性,如負折射,慢光,自準直[8,9]．光子晶體中的自準直現(xiàn)象提供一種新的無衍射控制光傳播的方式,因而產(chǎn)生了很多新的應(yīng)用,如虛擬波導(dǎo)[10], 干涉儀[11],光學(xué)開光[12],光子內(nèi)部連接器[13]等．

在光子晶體光子帶隙的計算中,最小的計算區(qū)域為晶體的一個元胞,傳統(tǒng)直角坐標系FDTD的計算網(wǎng)格為矩形,研究非矩形結(jié)構(gòu)的光子晶體時,需要采用超元胞的方法,會引入重復(fù)的計算區(qū)域．在非正交的情況下,需要選用非正交直線坐標系,只要求計算網(wǎng)格為是非正交的平行四邊形,這樣就無須采用超元胞的方法,能夠簡化計算．

本文首先研究了非正交FDTD(the finite-difference time-domain method)的遞推公式及光子晶體能帶的計算,然后通過光子晶體能帶及其等頻圖優(yōu)化設(shè)計了基于橢圓基元的二維光子晶體實現(xiàn)寬角度自準直模型,理論認為入射角度可以達到±90°范圍．

1 非正交坐標FDTD方法

任意斜角的非正交二維坐標系如圖1所示．其中直線坐標軸為α,β,z,坐標軸夾角為θ,坐標α,β,z與正交直角坐標x,y有如下關(guān)系:

x=α+βcosθ,y=βsinθ,z=z

(1)

圖1 任意斜角的非正交二維坐標系

斜坐標系下的協(xié)變基矢量為:

(2)

橢圓介質(zhì)柱中心間距為a,晶格點位置為

Rm,n=(m+ncosθ)aex+(ncosθ)aey

(3)

式中m,n為正整數(shù).倒格子基矢量為:

(4)

(5)

倒格子矢量為:

G=r1b1+r2b2

(6)

其中,r1和r2為整數(shù)．

(7)

(8)

(9)

(10)

以及TM波

(11)

(12)

(13)

根據(jù)Faraday定理,對TM波方程進行空間離散:

(14)

(15)

(16)

類似,可以得到空間離散的TE波方程．

2 分析及模擬

圖2 二維光子晶體帶隙結(jié)構(gòu)

(a)三維等頻圖 (b)第四條能帶的二維等頻圖

考慮以空氣為背景的θ=90°即正方點陣介質(zhì)型光子晶體．橢圓介質(zhì)基元的長軸、短軸分別為9 mm,4.4 mm,晶格常數(shù)a=10 mm,相對介電常數(shù)為21．在本文的研究中,主要考慮電場平行于介質(zhì)柱的TM模式．為了找到光子晶體中自準直效應(yīng)出現(xiàn)的頻率和傳播方向,首先使用非正交FDTD方法計算得到其TM模下的能帶結(jié)構(gòu)．TM模式的光子能帶結(jié)構(gòu)如圖2所示,可見,在第4條能帶ΓX1方向存在長距離的平帶,在X1M方向,存在線性變化的能帶．由于電磁波在光子晶體中的傳輸方向與其群速度方向保持一致,而群速度vg=kω(k),其中k表示波矢．在波矢空間中,群速度方向與該點處角頻率ω(k)的梯度方向一致．所以我們可以初步認為在第4條能帶中存在自準直傳輸現(xiàn)象為了進一步確認,我們利用COMSOL計算了第1、2、5條的三維能帶圖,如圖3a所示．同時,給出了第4條能帶的二維等頻圖,如圖3b所示．可以看出,TM模在頻率0.34～0.39(2.πc/a)時,等頻線的形狀接近于直線,其方向垂直于kx,根據(jù)自準直效應(yīng),在該頻率區(qū)間電磁波可以在光子晶體內(nèi)無展寬自準直傳輸．并且沿ΓX1方向近乎直線的等頻線穿過了整個第一布里淵區(qū),理論上對于±90°范圍內(nèi)的入射電磁波都可以產(chǎn)生自準直傳輸現(xiàn)象．

在距離光子晶體左側(cè) 10a處放置一個沿豎直方向長度為 6a,中心頻率為0.363c/a的 TM模高斯線光源,從左側(cè)入射到光子晶體上．使用 COMSOL模擬高斯波束在光子晶體中的傳輸．圖4a和圖4b分別仿真在空氣背景與橢圓介質(zhì)光子晶體中的電場分布情況．由圖4a可以發(fā)現(xiàn)高斯波束在空氣背景中的寬度隨著傳輸距離的增加而增大,從而變得發(fā)散．當高斯波束入射到光子晶體上時(如圖4b),大部分能量被耦合進光子晶體,只有較少的反射,耦合效果很好．耦合到光子晶體中的波束,受自準直效應(yīng)的約束,即沿電磁波垂直方向的分量為零,沿水平方向無衍射直線傳輸,并從光子晶體右側(cè)出射．圖4c與圖4d分別仿真在高斯波束以30°、45°入射到介質(zhì)光子晶體中的電場分布情況．我們可以發(fā)現(xiàn)無論是30°還是45°入射,在光子晶體中都是無衍射水平傳輸?shù)?波束并沒有分散開來,并且波束在右側(cè)出射時的角度依然保持了入射時同樣的角度．

圖4 沿著kx方向傳播高斯波束的電場分布模式

3 結(jié)論

光子晶體中的自準直傳輸提供一種新的無衍射控制電磁波傳播的方式,為了找到光子晶體中自準直效應(yīng)出現(xiàn)的頻率和傳播方向,本文推導(dǎo)了非正交坐標系下的時域有限差分方法,計算了二維橢圓基元光子晶體TM模下的帶隙結(jié)構(gòu)．進而結(jié)合等頻圖分析,從理論上研究了二維光子晶體結(jié)構(gòu)中TM模式的無衍射傳輸自準直傳輸模式．此自準直效應(yīng)模型入射角理論可達到±90°寬角度,無論高斯波束以什么樣的角度入射,在光子晶體中都是無衍射傳輸?shù)?波束不會分散開來,并且波束在出射出光子晶體時的角度依然保持了入射時同樣的角度．

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[責(zé)任編輯：李春紅]

All-angle Self-collimation in Photonic Crystals with Elliptical Basis

SUN Hui-ling1, CHEN Bao-ding2, CHEN Hua-bao2, LI Qing-bo2

(1.Department of Personnel, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China) (2.School of Physics and Electronic Electrical Engineering, Huaiyin Normal University, Huaian Jiangsu 223300, China)

In view of the self-collimation transmission phenomenon,a finite-difference time-domain scheme in a nonorthogonal coordinate system is presented to calculate the band structure of a two-dimensional photonic crystal.Self-collimation of photonic crystals in the whole angular range of ±90°in the fourth band of a two-dimensional photonic crystals with elliptical basis is demonstrated by examining the band structure and equifrequency contours. non-diffraction guiding modes is verified by a gaussian beam.

photonic crystal; self-collimation; nonorthogonal finite difference time domain method

2013-11-12

江蘇省高校大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計劃項目(201310323009Z); 淮安市科技支撐計劃項目(HAG2010068)

孫慧玲(1981-), 女, 江蘇淮安人, 助理研究員, 碩士, 研究方向為電磁場理論．E-mail: 109884915@qq.com

O413.1

A

1671-6876(2014)02-0121-05