顧曉輝， 楊紹普， 劉永強， 廖英英

(石家莊鐵道大學 機械工程學院， 石家莊 050043)

表面波紋度對滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性振動的影響

顧曉輝， 楊紹普， 劉永強， 廖英英

(石家莊鐵道大學 機械工程學院， 石家莊 050043)

分析了考慮滾動軸承內(nèi)外圈波紋度、徑向間隙和非線性赫茲力作用下的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學響應(yīng)。根據(jù)不同參數(shù)下的分岔圖、功率譜圖和龐加萊截面圖，研究了軸承表面波紋度最大幅值和轉(zhuǎn)速對系統(tǒng)的非線性振動的影響，找到了不同故障類型的特征頻率。根據(jù)分形理論應(yīng)用G-P算法計算了相同轉(zhuǎn)速下不同最大幅值時的關(guān)聯(lián)維數(shù)。分析結(jié)果表明，當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時隨著波紋度最大幅值的增加，其關(guān)聯(lián)維數(shù)也會相應(yīng)增大。因此關(guān)聯(lián)維數(shù)可以應(yīng)用于軸承故障的特征提取與定量診斷中。

滾動軸承；非線性動力學；波紋度；關(guān)聯(lián)維數(shù)；混沌

作為旋轉(zhuǎn)機械的核心部件，軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的研究一直深受科研工作者的關(guān)注[1-4]。滾動軸承的內(nèi)、外圈滾道和滾動體表面波紋度是在生產(chǎn)過程中產(chǎn)生的一種加工誤差，已有研究表明波紋度是滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)產(chǎn)生振動和噪聲的主要原因之一，另外在滾動軸承的使用過程中由于疲勞或潤滑不良等因素也會加大波紋度的最大幅值，對系統(tǒng)產(chǎn)生不利的影響。因此，對于高速、重載化的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)來說，波紋度的影響不容小覷。文獻[5]建立了滾動軸承在外圈滾道波紋度激勵下的非線性接觸噪聲模型，研究了波紋度參數(shù)與噪聲的關(guān)系。文獻[6-7]建立了考慮滾動軸承表面波紋度的軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學模型，分別研究了系統(tǒng)中含有不同滾動體個數(shù)和表面波紋個數(shù)時系統(tǒng)的非線性動力學響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)當滾動體個數(shù)等于波紋個數(shù)時，系統(tǒng)會產(chǎn)生強烈的振動。本文在前人研究的基礎(chǔ)上分析了內(nèi)、外圈滾道波紋度最大幅值對系統(tǒng)的非線性振動的影響，并用分形理論計算了不同波紋度幅值時的關(guān)聯(lián)維數(shù)，為系統(tǒng)的故障識別與定量診斷提供了理論依據(jù)。

1 系統(tǒng)模型

1.1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)模型

本文的研究對象是兩端用滾動軸承支承的單盤轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，圓盤的等效質(zhì)量為2m，偏心距為e，并受一個恒定的徑向力2W，如圖1所示。

圖1 滾動軸承及滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)示意圖Fig.1 Schematic diagram of a rolling bearing-rotor system and a rolling bearing

1.2 表面波紋度模型

本文忽略滾珠的波紋度影響，只考慮內(nèi)、外圈滾道上的波紋度。假設(shè)外圈波紋度最大幅值為A0，初始相位角為φ0，則有:

(1)

假設(shè)滾動軸承外圈固定，內(nèi)圈固結(jié)于轉(zhuǎn)軸，外圈轉(zhuǎn)速ωo=0，線速度vo=0，內(nèi)圈轉(zhuǎn)速ωi=ω，線速度vi=ωRi。ω為轉(zhuǎn)軸角速度，Ri為內(nèi)圈滾道半徑。則保持架的線速度

(2)

角速度為

(3)

則在t時刻接觸點角位置為

(4)

其中,Nb為滾動體個數(shù)。

因此外圈波紋度可表示為

(5)

同理，可得內(nèi)圈波紋度表達式為:

(6)

1.3 滾動軸承的非線性赫茲力

在轉(zhuǎn)子運轉(zhuǎn)過程中，軸承中的滾珠與內(nèi)、外圈滾道相接觸，假定其彈性接觸滿足赫茲理論，忽略潤滑油的影響，則第i個滾珠處的恢復力可表示為

(7)

γθi=xcosθi+ysinθi-(γ0+A)

(8)

其中，x和y為圖1所示坐標系x和y方向內(nèi)圈幾何中心偏移量,γ0為滾動軸承徑向間隙。

因此，第i個滾珠處的恢復力為

(9)

則滾動軸承總恢復力在x和y方向的分力可以表示為

(10)

(11)

1.4 系統(tǒng)動力學方程

假設(shè)系統(tǒng)為對稱支承的水平剛性轉(zhuǎn)子，由牛頓定律可得系統(tǒng)的非線性振動方程：

(12)

(13)

式中，c為軸承阻尼，由文獻[3]得c=33.75～337.5 N·s/m，本文取c=300 N·s/m。由于本文主要研究滾動軸承表面波紋度，所以忽略轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的偏心影響，認為e=0。

2 系統(tǒng)的非線性動力學響應(yīng)分析

本文研究的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)包含滾動軸承徑向間隙、非線性恢復力等強非線性因素，采用龍格—庫塔法求解，并用小步長計算1 100個周期，并去掉前1 000個周期，取后100個周期的穩(wěn)定的結(jié)果。采用相同的系統(tǒng)參數(shù)，分別研究了不同最大幅值和轉(zhuǎn)速下系統(tǒng)的非線性運動特性。

滾動軸承參數(shù)如下表:

表1 滾動軸承參數(shù)

2.1 不考慮波紋度時系統(tǒng)的響應(yīng)

圖2為不考慮波紋度的影響時內(nèi)圈幾何中心偏移位移x方向的分岔圖，可以看出系統(tǒng)在小于3 600 r/min區(qū)間內(nèi)運動較為復雜，以周期運動和混沌運動為主，因此系統(tǒng)在啟動時應(yīng)快速通過，盡量減少在此階段的時間。圖3(a)為n=3 230 r/min時的x方向功率譜圖和龐加萊截面圖，此時系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)，功率譜圖中的峰值對應(yīng)著VC頻率(即變?nèi)岫日駝宇l率)的基頻和倍頻。系統(tǒng)在4 000 ～10 000 r/min和15 000 ～100 000 r/min區(qū)間工作時處于穩(wěn)定的周期運動，系統(tǒng)的工作轉(zhuǎn)速應(yīng)該選在這兩個區(qū)間中。圖2(b)為圖2(a)的局部放大圖，從圖2(b)中可以看出系統(tǒng)在10 000～15 000 r/min區(qū)間工作時處于擬周期運動和周期運動相互交替的過程。圖3(b)為n=11 800 r/min時的x方向功率譜圖和龐加萊截面圖，從功率譜圖和龐加萊截面圖中可以明顯地看出系統(tǒng)作周期六運動。圖3(c)為n=14 600 r/min時的x方向功率譜圖和龐加萊截面圖，功率譜圖中有兩個不可相約的頻率分量和龐加萊截面圖中的封閉圓環(huán)說明系統(tǒng)作擬周期運動。

圖2 不考慮波紋度時x方向分岔圖Fig.2 x displacement bifurcation diagram without waviness

圖3 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.3 The power spectra and Poincaré map

2.2 僅考慮外圈波紋度時系統(tǒng)的響應(yīng)

圖4 Ao=0.5 μm時x方向分岔圖Fig.4 x displacement bifurcation diagram at Ao=0.5 μm

圖4為外圈波紋度最大幅值為0.5μm時x方向的分岔圖，在小于5 000 r/min時其運動與無波紋度時基本保持一致，并且在6 400 ～12 700 r/min區(qū)間作穩(wěn)定的周期一運動，在17 000～23 500 r/min區(qū)間作穩(wěn)定的周期二運動。不同的是在12 700 ～15 000 r/min區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)先是作混沌運動然后作周期九運動最后作擬周期運動。圖5為n=10 000 r/min、13 180 r/min和14 600 r/min時的x方向功率譜圖和龐加萊截面圖，可以看出其主要頻率成分為fbpo(即滾動體通過外圈頻率)。

圖5 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.5 The power spectra and Poincaré map

當最大幅值擴展到1 μm時，系統(tǒng)作穩(wěn)定周期運動的區(qū)間明顯減少。從圖7中的功率譜圖中亦可以找到特征頻率fbpo或1/2fbpo，因此此頻率成分可以作為外圈滾道波紋度故障識別的依據(jù)。

圖6 A0=1 μm時x方向分岔圖Fig.6 x displacement bifurcation diagram at A0=1μm

圖7 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.7 The power spectra and Poincaré map

2.3 僅考慮內(nèi)圈波紋度時系統(tǒng)的響應(yīng)

在只考慮內(nèi)圈滾道波紋度時，與前文不同的是系統(tǒng)的運動以擬周期運動和混沌運動為主，并出現(xiàn)相互交替的現(xiàn)象，沒有較大的周期運動區(qū)間。圖8為Ai=0.5 μm時n=1 000 r/min、7 500 r/min和20 000 r/min時x方向的功率譜圖和龐加萊截面圖，從功率譜圖中可以看出，其主要的頻率成分為fbpo和fbpi-f(即滾動體通過內(nèi)圈頻率與內(nèi)圈旋轉(zhuǎn)頻率的差)。圖9為內(nèi)圈波紋度擴展到1 μm時三種相同轉(zhuǎn)速下的功率譜圖和龐加萊截面圖，可以看出系統(tǒng)的運動形式基本沒有改變，并且有相同的故障特征頻率。

圖8 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.8 The power spectra and Poincaré map

圖9 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.9 The power spectra and Poincaré map

2.4 考慮內(nèi)圈和外圈波紋度時系統(tǒng)的響應(yīng)

內(nèi)外圈滾道波紋度最大幅值皆為0.5 μm時，系統(tǒng)在低速和高速區(qū)間內(nèi)表現(xiàn)為擬周期運動，在中間區(qū)域內(nèi)表現(xiàn)為混沌運動和擬周期運動相互交替的形式。圖10為n=1 000 r/min、7 500 r/min和20 000 r/min時的x方向功率譜圖和龐加萊截面圖，從中可以前文所述的兩種故障特征頻率fbpo和fbpi-f。

圖10 x方向功率譜圖和龐加萊截面圖Fig.10 The power spectra and Poincaré map

3 用關(guān)聯(lián)維數(shù)判別系統(tǒng)波紋度故障程度

在波紋度慢變擴展過程中可發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)在某一轉(zhuǎn)速下，不同的波紋度類型可以依靠特征頻率進行區(qū)分，但是波紋度故障程度通過普通的頻譜分析方法很難診斷，其響應(yīng)在時域和頻域上并沒有明顯的特征信息，缺乏定量分析的依據(jù)。圖11為當轉(zhuǎn)速為15 000 r/min時A0為2.5 μm、3.5 μm、4 μm和4.5 μm時x方向位移響應(yīng)的頻譜圖。

圖11 n=15 000 r/min時x方向位移響應(yīng)的頻譜圖Fig.11 The spectrogram in x displacement at n=15 000 r/min

為解決以上問題，本文應(yīng)用分形理論，計算系統(tǒng)的非線性時間序列的關(guān)聯(lián)維數(shù)，用于波紋度程度的定量識別。由于在生產(chǎn)實踐中外圈出現(xiàn)故障的概率大于內(nèi)圈和滾動體等部件，所以下文的研究只考慮了外圈滾道的波紋度。

對于時間序列x1，x2，…，xn-1，xn，選定嵌入維數(shù)m和時間延遲τ重構(gòu)相空間X(i)

Xi=[x(i),x(i+τ),x(i+2τ),…,

x(i+(m-1)τ]

i=1,2,…

(14)

其中，M=N-(m-1)τ。按照Takens定理，重構(gòu)的相空間可以在拓撲等價的意義下恢復吸引子的相空間。本文選用文獻[9]中提出的G-P算法在重構(gòu)的相空間基礎(chǔ)上，計算關(guān)聯(lián)積分

(15)

對于無噪聲的、無限長的時間序列，時間延遲τ可以任意選取，但對本文中的有限長序列，時間延遲τ對重構(gòu)的相空間至關(guān)重要。目前采用的方法一般有自相關(guān)法、復相關(guān)法、互信息量法和C-C方法等，本文選用方法簡單、易于計算的自相關(guān)法求時間延遲τ。計算結(jié)果見表2。

表2 不同最大幅值下的關(guān)聯(lián)維數(shù)

當Ao為0 μm和0.5 μm時，在15 000 r/min時系統(tǒng)作周期一運動，計算的關(guān)聯(lián)維數(shù)為1.002 9和1.007 1，非常接近于理論值1。當Ap逐漸增大時，相應(yīng)的關(guān)聯(lián)維數(shù)也逐步增大，這表明關(guān)聯(lián)維數(shù)可以很好地應(yīng)用于這種非線性故障的特征提取與定量診斷。

4 結(jié) 論

本文建立了考慮滾動軸承內(nèi)外圈波紋度、徑向間隙和非線性赫茲力作用下的滾動軸承-轉(zhuǎn)子系統(tǒng)非線性動力學模型，分析了軸承表面波紋度最大幅值對系統(tǒng)的非線性振動的影響。結(jié)果表明不同的波紋度類型對應(yīng)著不同的故障特征頻率，而在相同的故障類型下，在系統(tǒng)處于混沌時，從頻譜圖上找不到明顯的特征信息以識別表面波紋度的嚴重程度的情況時，本文采用G-P算法計算了系統(tǒng)在不同最大波紋度幅值時的關(guān)聯(lián)維數(shù)，研究發(fā)現(xiàn)隨著故障程度的增加，關(guān)聯(lián)維數(shù)逐漸增大。

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Effect of surface waviness on nonlinear vibration of a rotor with ball bearings

GU Xiao-hui，YANG Shao-pu， LIU Yong-qiang，LIAO Ying-ying

(School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Railway University, Shijiazhuang 050043, China)

The nonlinear dynamic response of a rotor with ball bearings considering nonlinearities of surface waviness, internal radial clearance and Hertzian contact force was analyzed and the results were presented in the forms of bifurcation diagram, power spectrum and Poincaré map. The effects of maximum amplitude of waviness and rotating speed on the nonlinear vibration of the rotor system were studied and characteristic frequencies of different faults were found. G-P method was used to calculate the correlation dimension number for different maximum amplitudes under the same rotating speed. The results showed that the correlation dimension number increases with increase in the maximum amplitude of the waviness when the system is in a chaos; the correlation dimension number can be applied in extraction and quantitative diagnosis of faults.

rolling bearing; nonlinear dynamics; surface waviness; correlation dimension number; chaos

國家自然科學基金項目(11172182,11227201,11202141);鐵道部重點項目 (2011J013-A);河北省教育廳項目 (Z2011228)

2013-01-17 修改稿收到日期：2013-05-29

顧曉輝 男，碩士生，1988年11月生

TH133.33;O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2014.08.019