馬 玲，張玉成

(海南師范大學初等教育學院，海南?？?71158)

2001年出版的《全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《實驗稿》)第一次提出“數(shù)感”這一概念，隨后引起了學者廣泛關注與探討。2012年，《義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)》(以下簡稱《標準》)明確給出了數(shù)感的確切含義。本文對《標準》中數(shù)感的內(nèi)涵進行了解讀，并對數(shù)感的特點及其教學進行探討。

一 數(shù)感的內(nèi)涵

(一)《實驗稿》和《標準》對數(shù)感的闡述

2001年7月，我國新一輪基礎教育數(shù)學課程改革頒布的《實驗稿》，在總體目標中提出要使學生“經(jīng)歷運用數(shù)學符號和圖形描述現(xiàn)實世界的過程，建立初步的數(shù)感和符號感，發(fā)展抽象思維”①中華人民共和國教育部，全日制義務教育數(shù)學課程標準(實驗稿)，北京:北京師范大學出版社，2001.7。。在內(nèi)容標準三個學段都分別闡述了培養(yǎng)和發(fā)展學生數(shù)感的問題。但是，《實驗稿》中對“數(shù)感”這一概念并未給出確切定義。

經(jīng)過10年課程改革與實踐，關于數(shù)感，研究者們在理論和實踐上都進行了一定探索和有益嘗試。在認真聽取各方意見，吸納前期實驗研究成果基礎上，2012年1月出版發(fā)行的《標準》不僅將數(shù)感作為核心概念提出，而且對數(shù)感內(nèi)涵及功能作了表述?！稑藴省分赋?“數(shù)感主要是指關于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系、運算結果估計等方面的感悟。建立數(shù)感有助于學生理解現(xiàn)實生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關系。”②中華人民共和國教育部，義務教育數(shù)學課程標準(2011版)，北京:北京師范大學出版社，2012，5。

(二)數(shù)感內(nèi)涵解讀

《標準》將數(shù)感定義為一種感悟，感悟一詞出自《后漢書·丁鴻傳》:“鴻感悟，垂涕嘆息?！睆墓ぞ邥胁樵儯饕袔追N解釋:《現(xiàn)代漢語詞典》(新版410頁):“有所感觸而領悟”;《辭源》(縮印新版622頁):“有所感而覺悟”。這幾種解釋都側(cè)重于有感有悟，由感而悟。因此，將數(shù)感表述為感悟，也使得數(shù)感具有兩重屬性:既有“感”，如感受、感覺、感知，又有“悟”，如悟性、領悟，即既有感性認識又有理性思維。

數(shù)感將感悟主要集中于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計這三方面，不僅將數(shù)感“細致化”，而且有利于教師在教學中更好地把握數(shù)感培養(yǎng)的幾條內(nèi)容主線。史寧中教授在《數(shù)學思想概論——數(shù)與數(shù)量關系的抽象》一書中系統(tǒng)全面闡述了數(shù)的表示，他認為:數(shù)來源于對數(shù)量本質(zhì)的抽象。數(shù)與數(shù)量，實際上就是建立起抽象的數(shù)和現(xiàn)實中的數(shù)量之間的關系，包括數(shù)的認識、數(shù)的意義、數(shù)的表示。數(shù)量之間關系包括數(shù)的大小關系及其所對應的數(shù)量之間的多少關系，也包括變化的量之間函數(shù)關系等。對運算結果估計的感悟也是數(shù)感的重要方面。

二 數(shù)感的特點

(一)基礎性

《標準》將數(shù)感放在數(shù)學課程10個核心概念首位，一方面突出了數(shù)感培養(yǎng)的重要性，另一方面也說明了數(shù)感的基礎性。從認知心理學角度來講，不可否認，數(shù)感的產(chǎn)生首先依賴于數(shù)學知識的內(nèi)化。數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系等數(shù)學知識是數(shù)學知識體系的基礎。在小學階段學習的整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)的認識、加減乘除的計算都是最基礎知識，它們不僅是進一步學習所必備，而且在小學階段學習其他領域內(nèi)容時也要經(jīng)常用到。因此，數(shù)感具有基礎性。

(二)直覺性

數(shù)感能憑借感知對象、語言、動作等經(jīng)驗直接地對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計作出敏銳判定，表現(xiàn)為瞬時性理解和記憶。美藉匈牙利數(shù)學家喬治·波利亞在論述直覺時說過，“它是任性的、固執(zhí)的，它們可能出乎意料地閃在我們的面前”。數(shù)學史上有一個非常有名的故事:印度數(shù)學奇才拉馬努金在聽到英國數(shù)學家哈代提到1729這個數(shù)字時，立刻就知道這個數(shù)字能用兩種不同方式表示為兩個正立方數(shù)之和的最小的數(shù)，1729=13+123=93+103。拉馬努金在學術上的成就一定程度上和數(shù)感有關，但不能否認，數(shù)感的獲得并不是完全依靠天賦，而是需要后天的訓練和積累。對數(shù)字或數(shù)學的敏感反應，很大程度上依賴于人們經(jīng)過長期積累而形成的數(shù)字或數(shù)學網(wǎng)絡結構。

(三)抽象性

數(shù)感主要是對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計的感悟。感悟?qū)ο蠓矫?，以?shù)與數(shù)量為例，它們并不是對客觀世界量性規(guī)律性的直接反映，而是抽象思維的產(chǎn)物。正如我們不曾見到作為數(shù)學研究對象的真正的“一”，只能見到某一個人、某一棵樹、某一間房等。從感悟本身來講，個體受到客觀事物刺激，由直接感知到理性思維，通過邏輯思維的滲透和數(shù)學語言的鋪墊，再由理性到感性。經(jīng)過不斷實踐檢驗，個體感悟由感性到理性、再由理性到感性，循環(huán)往復、逐步上升，就能抽象出客觀事物本質(zhì)屬性。所以，數(shù)學閱歷豐富的人才能夠從普遍事物中發(fā)現(xiàn)數(shù)學規(guī)律，感悟到數(shù)學思想方法、數(shù)學觀念等抽象概念。

(四)層次性

從心理學角度來講，數(shù)感首先是從感官接觸客觀事物開始，通過神經(jīng)介質(zhì)傳遞到大腦，激活先前儲存在大腦中的相應知識模塊，形成感覺和知覺，進而通過思維邏輯和數(shù)學語言活化，融會貫通，最終形成或重構新的知識模塊。這跟皮亞杰兒童的認知發(fā)展“同化－順應－平衡”是一個道理，是一個由感性到理性、由形象到抽象、由淺入深、由低級到高級，層層遞進的認識過程。史寧中認為學生數(shù)感的發(fā)展是個循序漸進過程，需要經(jīng)歷感悟多少、用數(shù)表示多少、建立數(shù)之間關聯(lián)、對數(shù)進行運算、形成數(shù)系概念等過程。國內(nèi)外研究表明，隨著年級升高，學生的數(shù)感表現(xiàn)呈現(xiàn)上升趨勢。因此，數(shù)感具有層次性。

(五)差異性

每個人對數(shù)學知識的接受能力，對數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計的“悟”因個體生理和心理差異，以及所處語言文化背景不同而表現(xiàn)出差異性。因此，數(shù)感是有個體差異的?！稑藴省返幕纠砟钍?使得人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展。我們沒有必要讓人人都成為數(shù)學家，但至少應當使每一個公民都能獲得良好的數(shù)學教育。因此，在數(shù)感教學中要注意學生數(shù)感發(fā)展的差異性，以使每個學生都能獲得良好發(fā)展。

三 對數(shù)感教學的思考

認識和理解數(shù)感的目的就在于培養(yǎng)學生的數(shù)感，然而，數(shù)感的建立并不是一蹴而就，而是在學習和生活過程中逐步體驗和建立起來的。教學過程應當結合具體學習內(nèi)容，以數(shù)感特點為指導，加強學生數(shù)感培養(yǎng)。

(一)結合具體內(nèi)容，培養(yǎng)學生數(shù)感

《標準》將課程內(nèi)容分為“數(shù)與代數(shù)”、“圖形與幾何”、“概率與統(tǒng)計”和“綜合與實踐”四個部分，而數(shù)感主要體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”部分?！熬C合與實踐”部分設置對于培養(yǎng)學生問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識十分有利，同時還可以積累學生活動經(jīng)驗，提高學生解決實際問題能力。它與其他三個部分緊密聯(lián)系在一起，從一定程度上來說，它是使其他三個部分在數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度這三方面目標上得以實現(xiàn)的有效途徑。因此，數(shù)感教學應體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”和“綜合與實踐”部分。

通過對《標準》中數(shù)感內(nèi)涵的解讀，結合《標準》中“數(shù)與代數(shù)”和“綜合與實踐”部分主要內(nèi)容，可以將數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系和運算結果估計這三個方面感悟細化為數(shù)的意義、數(shù)的表示、數(shù)量關系，數(shù)的運算、數(shù)量的估計和數(shù)的問題解決這六個方面。教師對數(shù)感教學應從這六個方面入手，深入鉆研教材和數(shù)學課程標準，有意識地設計具體目標，提供有助于培養(yǎng)學生數(shù)感的情景，探索與之相適應的教學方法，把數(shù)感培養(yǎng)任務落實到具體教學過程。

(二)數(shù)感培養(yǎng)要從小開始，從基礎開始

數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關系與運算結果估計主要分布在小學第一學段和第二學段。這部分內(nèi)容是日后學習的基礎。史寧中教授就曾指出:“數(shù)感發(fā)展的關鍵期是小學低年級?！币虼耍瑪?shù)感培養(yǎng)要從小開始，從基礎開始。在小學甚至學前時期就要將學生數(shù)感培養(yǎng)滲透到教學中。

(三)數(shù)感培養(yǎng)要聯(lián)系生活實際

數(shù)學家弗賴登塔爾認為:“數(shù)學源于現(xiàn)實，寓于現(xiàn)實，用于現(xiàn)實。”數(shù)感具有抽象性，學生在小學階段要認識數(shù)，學習整數(shù)、分數(shù)、小數(shù)等抽象概念。如果像傳統(tǒng)教學那樣，由教師用“填鴨式”教學方式告訴學生這是什么，應該怎么樣，答案是什么，就完全割裂了知識與生活之間聯(lián)系，這些概念在學生頭腦中就只是一些符號，毫無實際意義。因此，在教學中要注意知識與生活實際聯(lián)系，讓學生接觸現(xiàn)實社會，緊密聯(lián)系日常生活，從而感受到數(shù)學無處不在。比如在認識10以內(nèi)數(shù)時，可以讓學生通過觀察圖片，以及生活中像這些數(shù)字的實物來認識這些數(shù)，可以讓學生來聯(lián)想這些數(shù)還像什么，還可以讓學生用自己喜歡的方式表示這些數(shù)。

(四)在問題解決中培養(yǎng)數(shù)感

學習數(shù)學的最終目的在于應用數(shù)學解決實際問題，而且只有將知識運用于解決現(xiàn)實生活問題，才能真正理解它。因此，在數(shù)感教學中要讓學生更多地接觸和理解實際問題，要使學生學會從復雜的實際情境中發(fā)現(xiàn)問題，提出問題，并嘗試去解決問題。教師要將《標準》認真貫徹落實，設計一些綜合實踐活動幫助學生解決實際生活問題，進而培養(yǎng)學生數(shù)感。

另外，數(shù)感具有層次性和差異性特點。因此，在數(shù)感教學過程中，要遵循學生數(shù)感發(fā)展普遍規(guī)律，循序漸進進行數(shù)感教學，同時，還要遵循學生數(shù)感發(fā)展個體差異，因材施教。

“冰凍三尺非一日之寒，水滴石穿非一日之功”，學生數(shù)感培養(yǎng)不是一蹴而就的。教師在培養(yǎng)學生數(shù)感時既要結合具體教學內(nèi)容，設計教學目標，又要以數(shù)感特點為指導，注重聯(lián)系生活實際。

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