趙顯富，宗 敏，趙 軒，曹 爽，張育鋒

(1. 南京信息工程大學，江蘇 南京 210044； 2. 南京南信大影像技術工程有限公司，江蘇 南京 210061)

一、引 言

大型工業(yè)鋼結構在交付使用前的“試組裝”是鋼結構企業(yè)面臨的重大技術難題，行業(yè)內(nèi)主要依靠人力“試組裝”來完成，周期長，成本高，自動化程度低，手段比較落后。隨著現(xiàn)代制造業(yè)的發(fā)展，傳統(tǒng)的人力“試組裝”已不能滿足需求，為了適應制造業(yè)生產(chǎn)批量大、質(zhì)量要求嚴格、檢測任務繁重，并實現(xiàn)產(chǎn)品“零廢品率”檢測目標的要求，提出運用三維激光掃描技術解決這一技術難題。三維激光掃描技術是近十幾年來快速發(fā)展的一種新型測量技術，是測繪領域繼GPS技術之后的又一次技術革命[1]。它廣泛應用于建筑、土木工程、文化遺產(chǎn)保護、工業(yè)測量等領域，顯示出巨大的應用前景，逐漸成為物體表面數(shù)字化的重要方法。將數(shù)字化的工業(yè)構件通過建模獲得相應的模型，在計算機中模擬組裝過程，使得連接處的螺栓孔一一對應，最終完成組裝。可見構件螺栓孔的空間位置對模擬安裝的結果有巨大的影響，因此，在模擬安裝之前需要對每個構件螺栓孔的空間位置進行單獨檢測。螺栓孔的空間位置檢測是指獲得特征點在點云坐標系中的坐標，通過坐標轉換到模型坐標系中與模型坐標系中對應的特征點計算點位誤差，從而實現(xiàn)螺栓孔的空間位置檢測。

二、螺栓孔的空間位置檢測

通過CAD建立工業(yè)構件設計圖的三維標準模型[2]如圖1所示，標準模型上的特征可用一組點表示,直接由CAD 軟件自動生成[3]，并且以矩陣的形式存儲在計算機中，提取螺栓孔的表面點，通過擬合獲得特征點坐標，并作為檢測的基準。設計圖經(jīng)過生產(chǎn)加工得到的工業(yè)構件如圖2所示，本文研究在生產(chǎn)加工過程中構件鋼板上分布的16個螺栓孔中心(如圖2所示待檢測點)的空間位置變化。將構件通過三維激光掃描獲得構件表面的三維坐標信息如圖3所示，將法蘭兩端連接處且不在同一平面的8個螺栓孔中心作為公共點，用于解算坐標系間的變換矩陣，提取鋼板表面分布的16個螺栓孔的中心坐標，并與標準模型一一進行比對，從而達到檢測的目的。

圖1

圖2

圖3

三、檢測的數(shù)學方法

1. 點云擬合圓柱

對于螺栓孔的空間位置檢測，困難在于如何在激光點云中找到特征點，螺栓孔的點云近似圓柱，本文利用圓柱螺栓孔中心作為特征點，因此通過圓柱擬合的方法獲得螺栓孔中心坐標。圓柱擬合的過程就是確定圓柱位置、方向和大小等幾何參數(shù)，文獻[4—6]分別介紹了利用高斯、遺傳算法、特征值來確定圓柱幾何參數(shù)的方法。但是這3種方法理論都比較復雜，計算過程也比較麻煩,本文采用非線性的最小二乘法來擬合圓柱面。圓柱面可描述為

(1)

式中，x0、y0、z0、m、n、l、R為圓柱參數(shù)；o(x0,y0,z0)表示圓柱面軸線上任意一點；a=(mnl)表示圓柱面軸線方向的單位向量；R表示圓柱面半徑。

首先對圓柱面重新進行參數(shù)化，如圖4所示，坐標原點到圓柱面的最近距離為ρ|n|，其中n為圓柱面的法向量，圓柱軸線的方向向量為a，a和n均為單位向量，則a·n=0，圓柱的半徑為1/k，n用球面坐標表示為

n=(cosφsinθsinφsinθcosθ)

(2)

圖4

式中，θ是向量n和Z軸的夾角(0°≤θ≤180°)；φ是向量n在平面Z=0上的投影向量和X軸的夾角(0°≤φ≤360°)。n對φ、θ的偏導數(shù)為

nφ=(-sinφsinθcosφsinθ0)

(3)

nθ=(cosφcosθsinφcosθ-sinθ)

(4)

式中，nθ為單位向量。將nφ單位化，得

(5)

(6)

這樣，圓柱面就可參數(shù)化為S=(ρ,φ,θ,k,α)，可見，經(jīng)過重新參數(shù)化后，圓柱面的參數(shù)由相互關聯(lián)的7個參數(shù)轉變?yōu)橄嗷オ毩⒌?個參數(shù)。然后得到數(shù)據(jù)點pi到圓柱面的距離函數(shù)

(7)

(8)

確定滿足最小值的解S時非常復雜和困難，因此需要對距離函數(shù)d(S,pi)進行近似修改。文獻[7]中，Gabor Lukács 等提出了這樣一種形式的近似函數(shù)

(9)

用近似距離函數(shù)來表示真實距離

ρ-pi·n

(10)

最小二乘目標函數(shù)變?yōu)?/p>

(11)

(12)

各數(shù)據(jù)點到旋轉軸上的投影參數(shù)為

ti=a·(pi-O′)=a·pi

(13)

然后將得到的參數(shù)ti(i=1，2,…,n)排序，最大的與最小的分別為兩端點，即圓柱面兩端圓心C1、C2對應的投影參數(shù)，還原可得到C1、C2兩點

(14)

這樣就可以得到圓柱的中心

(15)

2. 坐標系變換

{(xi,yi,zi,1),i=1,2,…,n}

(16)

(17)

設點云坐標系中的點集X和模型坐標系中的點集Y轉換為齊次坐標后表示為

對于坐標系轉換，就是解算出點云坐標系相對于模型坐標系的平移矩陣和旋轉矩陣，如果本文求出這兩個矩陣的積R，就可以將點云坐標系轉換到模型坐標系下。坐標系轉換的過程實際上是點云坐標系與模型坐標系完全重合的過程，首先將點云坐標系的原點平移到模型坐標系的原點上，然后通過基本旋轉變換將點云坐標系的坐標軸與模型坐標系的坐標軸重合，則矩陣變換過程如下

(18)

R=(XTX)-1XTY

(19)

四、試驗與精度分析

1. 試 驗

通過Matlab編程實現(xiàn)了相關檢測方法，首先擬合24個螺栓孔中心，包括8個用于坐標系變換的公共點和16個待檢測點。單個螺栓孔的擬合結果如圖5所示，擬合誤差如圖6所示。然后利用8個公共點計算點云坐標系向模型坐標系轉換的變換矩陣R。

圖5

圖6

解算后得到變換矩陣R為

對鋼板表面分布的16個螺栓孔的空間位置進行檢測,結果見表1。首先擬合得到16個螺栓孔中心在點云坐標系中的坐標(見表中數(shù)據(jù)列2)；將坐標乘以變換矩陣R，得到坐標系轉換后的坐標(見表中數(shù)據(jù)列3)；數(shù)據(jù)列4表示螺栓孔中心在模型坐標系中的坐標；最后一列數(shù)據(jù)表示待檢測構件與標準模型的點位誤差， 即判斷螺栓孔的空間位置是否精確的主要依據(jù)。從表1中可以看出，點位的最大誤差小于2 mm，且分布均勻、波動不大，在誤差允許的范圍內(nèi)，因此待檢測構件螺栓孔的空間位置符合設計要求。

2. 精度分析

在實現(xiàn)坐標系轉換時，通常利用n個公共點在兩個坐標系中的坐標求出坐標系轉換參數(shù)R的最小二乘解。為討論不同數(shù)量的公共點對坐標系轉換參數(shù)求解的影響，進行了多次試驗，得到的結果如圖7所示，在公共點從5個增加到8個的過程中，平均誤差從1.9 mm逐漸減小到1.4 mm(見表2)，點位誤差的波動減小，趨向平緩。誤差來源于多個方面：在加工鑄造過程中有一定的誤差，那么檢測結果中也帶有這部分誤差；同時數(shù)據(jù)采集所使用的手持式三維激光掃描儀點位精度最高可達0.05 mm左右，會帶來一定的數(shù)據(jù)采集誤差；此外用于計算坐標系轉換參數(shù)的公共點本身也存在一定的誤差，因此檢測結果中會帶有一定的誤差。隨著公共點數(shù)目的增加，坐標系轉換參數(shù)的最小二乘解趨向優(yōu)化，點位誤差的標準差從0.8 mm左右降到0.3 mm左右，誤差波動減小，有助于判斷螺栓孔的空間位置跳動情況，因此采用8個公共點進行坐標系轉換參數(shù)的求解。

表1 螺栓孔空間位置檢測結果 mm

表2 坐標轉換后的點位誤差 mm

五、結束語

通過試驗可知，工業(yè)構件螺栓孔的空間位置檢測方法是可行的，但是在檢測過程中影響檢測結果的因素比較多，其中包括激光掃描儀本身的測量誤差、數(shù)據(jù)處理過程中的擬合誤差、坐標系轉換誤差等。因此，數(shù)據(jù)采集時應當選擇適當精度的儀器，采集足夠的數(shù)據(jù)，從而使得檢測結果能夠更好地反映出構件加工制造過程中產(chǎn)生的誤差。與傳統(tǒng)方法相比，本文所提出的方法具有通用性強、效率高、檢測精度高、成本低等優(yōu)勢，這些因素使得利用三維激光掃描技術檢測工業(yè)構件螺栓孔的空間位置具有較強的可行性，可在工業(yè)構件低成本連續(xù)檢測方面發(fā)揮較大作用。

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