鄒廣玉

(長春工程學院理學院， 長春130012)

隨機函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理

鄒廣玉

(長春工程學院理學院， 長春130012)

利用ρ-混合序列部分和乘積的幾乎處處中心極限定理，給出了一類隨機函數(shù)(統(tǒng)計量)乘積的幾乎處處中心極限定理，推廣了獨立情形的結(jié)論。

隨機函數(shù)；ρ-混合序列；幾乎處處中心極限定理

引言

針對此類隨機函數(shù)，眾多學者對其極限性質(zhì)進行了研究。文獻[1]得到了隨機函數(shù)的幾乎處處中心極限定理，文獻[2]得到了隨機函數(shù)大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì)，文獻[3-4]分別討論了{Xn,n≥1}為獨立同分布和NA序列時隨機函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理，本文討論{Xn,n≥1}為ρ-混合序列時隨機函數(shù)乘積的幾乎處處中心極限定理。

則稱隨機變量序列{Xn,n≥1}是ρ-混合的。

ρ-混合序列的概念由Kolmogrov和Rozanov在文獻[5]中引入。本文的主要結(jié)論如下：

(H1)對某個ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么對任意的x，有

F(x),a.s.

(1)

1 主要引理

引理1設(shè){Xn,n≥1}是正的嚴平穩(wěn)的ρ-混合隨機變量列，滿足EX1=μ>0和VarX1=σ2<∞，假設(shè)

(H1)對某個ε>2，ρ(n)=O(n-1(logn)-ε)

那么對任意的x，有

(2)

其中，Φ(x)表示服從標準正態(tài)分布隨機變量的分布函數(shù)。下同。

證明見文獻[6]引理2.5。

引理2在定理1的條件下，對任意的x，有

Φ(x)，a.s.

(3)

證明

注意到

由(2)式，有

(4)

故

于是，對任意小的ε>0和幾乎所有的樣本點ω，存在正整數(shù)N1=N1(ω，ε，x)，使得當k>N1時有

I(A1≤x+ε)

由(4)式可知(3)式成立，于是證明了引理2。

證明見文獻[6]引理2.2。

2 定理1的證明

易知(1)式等價于

Φ(x),a.s.

(5)

又由定理1條件(H3)知，

于是，對于充分大的i，有

注意到當|x|<1時，log(1+x)=x-Q(x)，且

于是，對任意小的ε>0和幾乎所有的樣本點ω，存在正整數(shù)N2=N2(ω，ε，x)，使得當k>N2時有

由(3)式即知(5)式成立，即證明了定理1。

[1] 陸傳榮,邱 瑾,徐建軍.隨機函數(shù)的幾乎處處中心極限定理[J].中國科學:A輯,2006,36(9):1045-1056.

[2] 周君興,楊輝煌,陸傳榮.一類統(tǒng)計量的強大數(shù)定律和重對數(shù)律的精確漸近性質(zhì)[J].數(shù)學年刊,2006,27A(6):807-814.

[3] 邱 瑾,陸傳榮.一類統(tǒng)計量的乘積的漸近性質(zhì)和幾乎處處中心極限定理[J].數(shù)學物理學報,2013,33(3):475-482.

[4] 鄒廣玉.一類統(tǒng)計量乘積的幾乎處處中心極限定理[J].長春工程學院學報:自然科學版,2014,15(1):126-128.

[5] Kolmogrov A N,Rozanov U A.On the strong mixing conditions of a stationary Gaussian process[J].Probab.Theory Appl.,1960(2):222-227.

[6] 金敬森,王建峰,張立新.ρ-混合序列部分和乘積的幾乎處處中心極限定理[J].數(shù)學學報,2007,50(4):729-736.

An Almost Sure Central Limit Theorem for the Product of Random Functions

ZOUGuangyu

(School of Science, Changchun Institute of Technology, Changchun 130012, China)

Applying the almost sure central limit theorem for the product of partial sums ofρ-mixing sequences, an almost sure central limit theorem for the product of a class of random functions(or statistics) was obtained, which extended the result of the i.i.d case.

random functions;ρ-mixing sequences; almost sure central limit theorem

2014-08-01

國家自然科學基金項目(11401090)；吉林省教育廳重點項目(120120113);長春工程學院青年基金項目(320130019)

鄒廣玉(1982-)，男，吉林通化人，講師，博士，主要從事概率極限理論方面的研究，(E-mail)jingyang999@126.com

1673-1549(2014)06-0072-03

10.11863/j.suse.2014.06.18

O211.4

A