Poisson方程三類(lèi)問(wèn)題的通解

郭時(shí)光

(1.四川理工學(xué)院理學(xué)院， 四川自貢643000；2.人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川自貢643000)

Poisson方程三類(lèi)問(wèn)題的通解

郭時(shí)光1,2

(1.四川理工學(xué)院理學(xué)院， 四川自貢643000；2.人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 四川自貢643000)

研究二維到四維空間上Poisson方程。采用求出其通解的方法，分別給出了該方程Cauchy問(wèn)題、Direchlet問(wèn)題和Neunmann問(wèn)題的通解的解析表達(dá)式，從而得出其后面兩類(lèi)問(wèn)題均存在無(wú)限多個(gè)解的結(jié)論。

Poisson方程；Direchlet問(wèn)題；Neunmann問(wèn)題；推遲勢(shì)；正規(guī)解；降維法

對(duì)于半空間上Poisson方程Direchlet問(wèn)題[1-2]，如果應(yīng)用Poisson公式[3-4]求解，一方面，很難判斷所得解[5-11]是否正規(guī)，另一方面，當(dāng)定解區(qū)域是半空間時(shí)，就缺乏合理性，并且導(dǎo)致所得解不全等謬誤。作為改善，需要重新分析這個(gè)問(wèn)題。

1 二維Poisson方程Cauchy問(wèn)題

1.1二維Poisson方程的通解

考察二維空間Poisson方程：

uxx+uyy=f(x,y)(-∞

(1)

做變換ξ=x-jy,η=x+jy，得

uξη=F(ξ,η)

(2)

其中，F(xiàn)(ξ,η)=f(x,y)。將η視為常數(shù)，方程(2)關(guān)于ξ從ξ到η積分，得

(3)

將ξ視為常數(shù)，方程(3)關(guān)于η從ξ到η積分，得

其中，g1是可積函數(shù)，h1是可微函數(shù)，而

將原自變數(shù)代回上式，得解

(4)

式(4)即是二維Poisson方程(1)的通解公式。

1.2二維推遲勢(shì)公式

設(shè)一維齊次Cauchy條件

u|y=0=0，uy|y=0=0(-∞

(5)

考察由方程(1)與條件(5)組成的Cauchy問(wèn)題。將通解式(4)用條件(5)計(jì)算，分別得

g(x)+h(x)=0

g′(x)-h′(x)=0?g(x)-h(x)=c

(6)

其中，積分路徑為直線(xiàn)段。解的這個(gè)表達(dá)式稱(chēng)為二維推遲勢(shì)公式。

定理1對(duì)于由方程(1)與條件(5)組成的Cauchy問(wèn)題，如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)(6)是該問(wèn)題的正規(guī)解。

證將式(6)的函數(shù)u=u(x,y)分別代入該問(wèn)題中的各個(gè)項(xiàng)計(jì)算，得

f1[x-j(y-τ),τ]}dτ+f(x,y)-

dτ=f(x,y)

由此可知，式(6)中的函數(shù)u=u(x,y)是所述問(wèn)題的正規(guī)解。證畢。

二維Laplace方程非齊次條件Cauchy問(wèn)題的一般形式為：

(7)

為了求解，采用將Cauchy條件齊次化法。在問(wèn)題(7)中，令

u=v+μ(x)+yψ(x)

(8)

則

(9)

用二維推遲勢(shì)公式可求得問(wèn)題(9)的解。將這個(gè)解代入式(8)，化簡(jiǎn)得

(10)

驗(yàn)證即知，有：

定理2在問(wèn)題(7)中，如果函數(shù)μ(x)與ψ(x)均具有二階導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式為式(10)的解是該問(wèn)題的正規(guī)解。

1.3非齊次Cauchy問(wèn)題

設(shè)非齊次條件Cauchy問(wèn)題

(11)

用疊加原理，由定理1與定理2，可得：

定理3如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，則該問(wèn)題存在正規(guī)解，其表達(dá)式為：

w=w(x,y)=

(12)

例1求二維Laplace方程vxx+vyy=0在全平面上的所有解。

解用式(4)，得方程vxx+vyy=0的復(fù)數(shù)通解

v=g(x+jy)+h(x-jy)

(13)

由此可見(jiàn)，該方程的實(shí)通解可以表示為：

(14)

其中，g,h均為可連續(xù)微分二次的任意函數(shù)。

例2求解上半平面Poisson方程Direchlet問(wèn)題

uxx+uyy=f(x,y);u|y=0=μ(x)

(15)

解 用公式(12)，得問(wèn)題的一個(gè)解為：

(16)

設(shè)v的是問(wèn)題(15)對(duì)應(yīng)齊次定解問(wèn)題的解，即

vxx+vyy=0;v|y =0=0

用泛定方程的通解式(14)代入，得

(17)

其中，h為可連續(xù)微分二次的任意函數(shù)。根據(jù)疊加原理，得問(wèn)題(15)的通解為：

u=u0(x,y)+v(x,y)

其中，u0(x,y),v(x,y)分別為式(16)與(17)所示。

例3求解上半平面Poisson方程N(yùn)eumann問(wèn)題

uxx+uyy=f(x,y);uy|y=0=ψ(x)

(18)

解用公式(12)，得問(wèn)題的一個(gè)解為：

(19)

設(shè)v是問(wèn)題(18)所對(duì)應(yīng)全齊次定解問(wèn)題的解，即

vxx+vyy=0;vy|y=0=0

用式(14)代入，得

(20)

其中，g為可連續(xù)微分二次的任意函數(shù)。根據(jù)疊加原理，得問(wèn)題(18)的通解為：

u=u0(x,y)+v(x,y)

其中，u0(x,y),v(x,y)分別為式(19)與(20)所示。

2 四維Poisson方程Cauchy問(wèn)題

2.1四維推遲勢(shì)公式

設(shè)四維無(wú)限區(qū)域Poisson方程

uxx+uyy+uzz+uww=f(x,y,z,w)

(21)

(22)

易知，如果u=u(x,y,z,w)連續(xù)，則有

(23)

球半徑還可以擴(kuò)展到負(fù)數(shù)，且有

(24)

將球面平均值中的積分用球面坐標(biāo)表示，得

(25)

其中，

xr=x+rcosθsinφ

yr=y+rsinθsinφ

zr=z+rcosφ

設(shè)函數(shù)u=u(x,y,z,w)是方程(21)的解。用函數(shù)u(xr,yr,zr,w)關(guān)于θ的周期性，得

u(xr,yr,zr,w)dθdφ=

u(xr,yr,zr,w)sinφdθ}dφ=

將上式兩邊同乘以r，得

(26)

引入三維齊次Cauchy條件

u|w=0=0,uw|w=0=0(-∞

(27)

則其球面平均值滿(mǎn)足

[ru(x,y,z,w;r)]|w =0=0

[ru(x,y,z,w;r)]w|w =0=0

(28)

考察由方程(25)與條件(27)組成的Cauchy問(wèn)題。用二維推遲勢(shì)公式，得其解

(29)

令r→0，式(28)左邊用式(22)，右邊用L/Hospital法則，交換極限與積分次序，得

將f的球面平均值積分表達(dá)式代入，并使用球面坐標(biāo)，化為重積分，即可得

(x+jτcosθsinφ,y+jτsinθsinφ,z+jτcosφ,w-τ)dθ

(30)

式(29)就是方程(21)與條件(26)所組成Cauchy問(wèn)題解的表達(dá)式，稱(chēng)為四維推遲勢(shì)公式。驗(yàn)證即知，有：

定理4方程(21)與條件(26)組成的Cauchy問(wèn)題中，如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)(29)是該問(wèn)題的正規(guī)解。

2.2四維Kirchhoff公式

設(shè)有四維空間Laplace方程的Cauchy問(wèn)題

(31)

采用將Cauchy條件齊次化法，然后利用四維推遲勢(shì)公式計(jì)算，得其解

u=u(x,y,z,w)=

jwsinθsinφ,z+jwcosφ)]+

wψ(x+jwcosθsinφ,y+jwsinθsinφ,z+

jwcosφ)}dθ

(32)

驗(yàn)證即知，有：

定理5在問(wèn)題(30)中，如果函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)三階偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)(31)是該問(wèn)題的正規(guī)解。

2.3四維Cauchy問(wèn)題

設(shè)四維Cauchy條件

u|w=0=μ(x,y,z),uw|w=0=ψ(x,y,z)

(33)

根據(jù)定理4和定理5，用疊加原理，得

定理6方程(21)與條件(32)組成的Cauchy問(wèn)題中，如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)二偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)三階偏導(dǎo)數(shù)，則該問(wèn)題存在正規(guī)解，其表達(dá)式為式(29)與式(32)的兩個(gè)函數(shù)之和。

3 三維Poisson方程Cauchy問(wèn)題

3.1三維推遲勢(shì)公式

考察三維空間Poisson方程

uxx+uyy+uzz=f(x,y,z)(-∞

(34)

設(shè)三維齊次Cauchy條件為：

u|z=0=0,uz|z=0=0(-∞

(35)

用Hadamard降維法。去掉四維推遲勢(shì)公式中關(guān)于變量z的因素，然后換w→z，并將積分作代換sinφ=ρ，這樣就能得到方程(33)與條件(34)組成的Cauchy問(wèn)題解的表達(dá)式

(x+jτρcosθ,y+jτρsinθ,z-τ)dθ

(36)

表達(dá)式(35)稱(chēng)為三維推遲勢(shì)公式。驗(yàn)證即知，有：

定理7方程(33)與條件(34)組成的Cauchy問(wèn)題中，如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)(35)是該問(wèn)題的正規(guī)解。

3.2三維Poisson公式

設(shè)三維空間Laplace方程Cauchy問(wèn)題

(37)

采用將Cauchy條件齊次化方法，用推遲式公式，得其解

zψ(x+jzρcosθ,y+jzρsinθ)}dθ

(38)

驗(yàn)證即知，有：

定理8在問(wèn)題(36)中，如果函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)三階偏導(dǎo)數(shù)，則表達(dá)式為式(37)的解是該問(wèn)題的正規(guī)解。

3.3三維Cauchy問(wèn)題

設(shè)三維非齊次Cauchy條件

u|z=0=μ(x,y)，uz|z=0=ψ(x,y)

(39)

根據(jù)定理7和定理8，用疊加原理，可得：

定理9方程(33)與條件(38)組成的Cauchy問(wèn)題中，如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)二偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)三階偏導(dǎo)數(shù)，則該問(wèn)題存在正規(guī)解，其表達(dá)式為式(35)與式(37)的兩個(gè)函數(shù)之和。

由方程(33)與條件(38)組成的Cauchy問(wèn)題中，如果去掉條件項(xiàng)uz|z=0=ψ(x,y)，則問(wèn)題變?yōu)镈irechlet問(wèn)題，其通解仍然如定理3所述，但是其中ψ則為任意函數(shù)；如果去掉條件項(xiàng)u|z=0=μ(x,y)，則問(wèn)題變?yōu)镹eumann問(wèn)題，其通解仍然如定理3所述，但是其中μ則為任意函數(shù)。

4 結(jié)束語(yǔ)

如果函數(shù)f具有連續(xù)的各個(gè)二偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)μ與ψ均具有連續(xù)的各個(gè)三階偏導(dǎo)數(shù)，則驗(yàn)證可知，這樣所得的解是正規(guī)解。

由此可見(jiàn)，Poisson方程Direchlet問(wèn)題和Neumann問(wèn)題若存在解，則其解均為無(wú)窮多。

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General Solution of Three Problems for Poisson Equation

GUOShiguang1,2

(1.School of Science, Sichuan University of Science & Engineering, Zigong 643000, China; 2. Artificial Intelligence of Key Laboratory of Sichuan Province, Zigong 643000, China)

Researching the Poisson equations on 2 d to 4 d spaces. Through the method of finding out their general solutions, the analytic expressions of the general solutions of Cauchy problem, Direchlet problem and Neunmann problem for the equation are given respectively. Thus the conclusion that there are an unlimited number of solutions for the two behind types of problems is obtained.

Poisson equation;Direchlet problem; Neunmann problem; Retarded potential; Formal solution; Dimension reduction method

2014-05-27

人工智能四川省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放基金項(xiàng)目(2012RYY04)

郭時(shí)光(1955-)，男，重慶榮昌人，副教授，主要從事數(shù)學(xué)物理方程方面的研究，(E-mail)youare20002000@qq.com

1673-1549(2014)06-0075-05

10.11863/j.suse.2014.06.19

O175.13

A