李 志

（淮北工業(yè)學(xué)校，安徽 淮北 235000）

1 什么是有效數(shù)字

誤差是客觀存在的。在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中總是避免不掉誤差，而且實(shí)驗(yàn)器材的分辨能力也是有一定限度的，這就使得到的結(jié)果不完全準(zhǔn)確。同時(shí)，在計(jì)算過(guò)程中，也會(huì)遇到無(wú)理數(shù)情況，使得到的數(shù)據(jù)一般只是近似值。我們?yōu)榱烁鼫?zhǔn)確用這個(gè)近似值去表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果時(shí)，就必須規(guī)定誤差不得超過(guò)最后一位單位數(shù)字的1／2。如最后一位是個(gè)數(shù)，那它包含的誤差絕對(duì)值只能小于或等于0．5。要是最后一位是十位數(shù)，那它包含的誤差絕對(duì)值只能小于或等于5。那么這種誤差小于或等于最后一位單位數(shù)字一半的數(shù)，從它起始的首個(gè)不是0的數(shù)字起，至最終一個(gè)數(shù)字，就稱(chēng)為有效數(shù)字。例如486，234．19，4．20等，只要其中誤差不大于末位單位數(shù)字之半，它們就都是有效數(shù)字。值得注意的是，在數(shù)字左邊的零不是有效數(shù)字，而數(shù)字中間和右面的零都是有效數(shù)字。例如0．0049Ω，左面的三個(gè)零就不是有效數(shù)字，因?yàn)樗鼈兛梢酝ㄟ^(guò)單位變換變?yōu)?．9Ω，可見(jiàn)只有兩位有效數(shù)字。如407v這樣的數(shù)字，處于中間位置的零自然是有效數(shù)字，因?yàn)樗硎臼粩?shù)字是零。特別值得注意的是如4．970v這樣的數(shù)字，最右邊的一個(gè)零也是有效數(shù)字，它對(duì)應(yīng)著測(cè)量的準(zhǔn)確程度，我們不能任意把它改寫(xiě)成4．97v，因?yàn)檫@意味著測(cè)量準(zhǔn)確程度的變化。如前所述，有效數(shù)字中除末位上前面各位數(shù)字都應(yīng)該是準(zhǔn)確的，只有末位欠準(zhǔn)，但包含的誤差不應(yīng)大于末位單位數(shù)字的一半。這里討論的4．970v，表明誤差絕對(duì)值不應(yīng)超過(guò)0．0005v，而若改寫(xiě)成4．97v或4．970v，則表明誤差絕對(duì)值不超過(guò)0．005v或0．00005v，這顯然是不合適的，因?yàn)樗环嫌行?shù)字的位數(shù)與誤差大小相適應(yīng)的原則。此外，對(duì)于如412000Hz這樣的數(shù)字，實(shí)際上在百位數(shù)上就包含了誤差，即只有四位有效數(shù)字。這時(shí)百位數(shù)字上的零是有效數(shù)字不能去掉，但十位和個(gè)位數(shù)上的零雖然不再是有效數(shù)字。可是它們要用來(lái)表示數(shù)字的位數(shù)，也不能任意去掉，這時(shí)為了區(qū)別右面三個(gè)零的不同，通常采用有效數(shù)字乘上十的乘冪的形式，例如上述412000Hz若寫(xiě)成有效數(shù)字就應(yīng)寫(xiě)為4．120×105，它清楚地表明有效數(shù)字只有四位，誤差絕對(duì)值不大于50Hz。

2 怎樣正確取舍數(shù)據(jù)

假設(shè)當(dāng)人們需要N位有效數(shù)字的時(shí)候，對(duì)超過(guò)N位的數(shù)字就要去掉，但是這個(gè)過(guò)程要遵循一定的規(guī)則進(jìn)行處理。例如，對(duì)某電壓進(jìn)行了四次測(cè)量，每次測(cè)量值均可用四位有效數(shù)字表示。如四次測(cè)量值分別為V1＝49．81v，V2＝49．68v，V3＝49．70v，V4＝49．72v，它們的平均值為

由于對(duì)每個(gè)測(cè)量值來(lái)說(shuō)，小數(shù)點(diǎn)后面第二位都含有誤差，那么它們的平均值在小數(shù)點(diǎn)后面第二位當(dāng)然也會(huì)包含誤差，則在小數(shù)點(diǎn)后第三、四位就沒(méi)有什么意義了，那么人們就要把第三、四位兩個(gè)數(shù)字去掉，或者說(shuō)舍去。數(shù)學(xué)當(dāng)中的“四舍五入”法則用在這里是有缺陷的，比如人們只取N位有效數(shù)字，那么就得從N＋1位起后面的數(shù)字都應(yīng)該去掉。第N＋1位數(shù)字可能是0到9共十個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字任一個(gè)，它們都有可能出現(xiàn)，而且機(jī)率是相等的。根據(jù)數(shù)學(xué)當(dāng)中的“四舍五入”法則，舍掉第N＋1位的零不會(huì)引起舍入誤差，第N＋1位為1和9的舍入誤差分別是－1和＋1，多次舍入引起的誤差可以抵消。同樣第n＋1位為2與8、3與7、4與6的舍入誤差在舍入次數(shù)足夠多時(shí)也能抵消?，F(xiàn)在人們?yōu)楸苊獬霈F(xiàn)上面的錯(cuò)誤解采用以下舍入法則：需要保留N位有效數(shù)字時(shí)（1）如果后面的數(shù)字比第N位單位數(shù)字一半還小時(shí)就要舍掉；（2）如果后面的數(shù)字比第N位單位數(shù)字一半還大時(shí)，那么第N位數(shù)字就要進(jìn)1；（3）如果后面的數(shù)字恰等于第N位單位數(shù)字的一半，就要看第N位的數(shù)字是偶數(shù)還是奇數(shù)了。如第N位數(shù)字為偶數(shù)或零時(shí)就去掉后面的數(shù)字；如第N位數(shù)字為奇數(shù)，則第N位數(shù)字就要加1。當(dāng)然第N位數(shù)字為偶數(shù)為奇數(shù)，它們出現(xiàn)的幾率是相等的。因此是舍去還是進(jìn)1，它們的幾率也是相等的。如果進(jìn)行取舍的次數(shù)多到一定程度時(shí)，誤差也就消失殆盡了。而且由于人們規(guī)定第N位為奇數(shù)時(shí)要加1，這樣使得第N位由于加1也變成偶數(shù)了，所以通過(guò)這種方法使得有效數(shù)字的尾數(shù)基本上都成為偶數(shù)。尾數(shù)為偶數(shù)使得有效數(shù)字在計(jì)算過(guò)程中，尤其是在當(dāng)作被除數(shù)時(shí)，被除盡的機(jī)會(huì)多一些，使得計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生的誤差大為減少。（4）上面的舍入規(guī)則可簡(jiǎn)單地概括為：小于5舍，大于5入，等于5時(shí)取偶數(shù)。

3 正確表示測(cè)量的結(jié)果

現(xiàn)在人們還沒(méi)有形成用統(tǒng)一的方法表示測(cè)量結(jié)果。但是總的說(shuō)來(lái)，所表示的測(cè)量結(jié)果要正確反映被測(cè)量的真實(shí)大小和它的可信程度，同時(shí)數(shù)據(jù)的表達(dá)亦不應(yīng)過(guò)于冗長(zhǎng)和累贅。

在實(shí)驗(yàn)測(cè)量過(guò)程中，難免會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的誤差，如示值誤差、基值誤差、零值誤差、不確定度等；人們一般只需要一位到二位數(shù)字，過(guò)多的位數(shù)通常沒(méi)有什么意義。

在得到測(cè)量結(jié)果之前，人們一般要修正確定性系統(tǒng)誤差。所以測(cè)量結(jié)果包括兩部分：一是被測(cè)量的量值，二是不確定度。被測(cè)量的量值最低位要與誤差最低位保持一致。例如，說(shuō)某電壓為5．43±0．05v，某頻率是5000．684±0．079KHz等。如果被測(cè)量的量值本身低位數(shù)字的位比誤差低位數(shù)還低，特別是這個(gè)量值是經(jīng)過(guò)某些計(jì)算包含了較多數(shù)的情況下，這時(shí)應(yīng)把多余的位數(shù)按舍入規(guī)則處理掉，即從與不確定度對(duì)齊處截?cái)唷?/p>

在有些情況下希望把測(cè)量結(jié)果用一個(gè)數(shù)表達(dá)而不要帶著不確定度。例如，一個(gè)測(cè)量數(shù)據(jù)作為中間結(jié)果還要參加其它運(yùn)算，就不希望帶著它的不確定度。這時(shí)如果只取它的有效數(shù)字，則由于舍入誤差等影響常會(huì)感到把一些值得參考的信息處理掉了，而且當(dāng)運(yùn)算量大時(shí)誤差還會(huì)迅速積累，反而影響測(cè)量結(jié)果的準(zhǔn)確程度。因此，在用一個(gè)數(shù)值表示測(cè)量結(jié)果時(shí)，常在有效數(shù)字后面多給出1～2位數(shù)字，這樣表示的測(cè)量結(jié)果的數(shù)值稱(chēng)為有效安全數(shù)字 。測(cè)量結(jié)果用一個(gè)數(shù)值表示一般要有以下三個(gè)步驟：（1）測(cè)量值有效數(shù)字最低位的位置要依據(jù)誤差或不確定度的大小來(lái)確定；（2）在有效數(shù)字的后面再多取1到2位安全數(shù)字；（3）對(duì)于其余數(shù)字要依據(jù)取舍法則進(jìn)行取舍。

當(dāng)一個(gè)數(shù)據(jù)是多個(gè)數(shù)據(jù)的運(yùn)算結(jié)果時(shí)，如何根據(jù)這多個(gè)數(shù)據(jù)的誤差情況定出它們運(yùn)算結(jié)果的誤差，是一個(gè)比較復(fù)雜的問(wèn)題。嚴(yán)格說(shuō)來(lái)應(yīng)按照誤差合成公式進(jìn)行誤差的合成。但是對(duì)于比較簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算，也可以通過(guò)分析誤差所在的最高位的位置，考慮運(yùn)算結(jié)果的誤差情況。此外，在常見(jiàn)的運(yùn)算中，下述兩種情況需要特別注意：（1）當(dāng)指數(shù)的底遠(yuǎn)大于1或遠(yuǎn)小于1時(shí)，指數(shù)的誤差對(duì)結(jié)果影響較大。對(duì)于這種情況，指數(shù)應(yīng)盡可能多保留幾位有效數(shù)字。

（2）當(dāng)兩數(shù)相減時(shí)，若二數(shù)相差不多，則可能對(duì)結(jié)果產(chǎn)生很大的影響?？梢?jiàn)當(dāng)二差數(shù)相近時(shí)，有效數(shù)字的位數(shù)對(duì)結(jié)果的影響可能十分嚴(yán)重，在測(cè)量的計(jì)算中應(yīng)盡力避免這種情況，盡力多取幾位有效數(shù)字。

［1］張大彪．電子測(cè)量與儀器［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2010．

［2］林占江．電子測(cè)量技術(shù)［M］．北京：電子工業(yè)出版社，2012．

［3］顧小玲．量具與量?jī)x與測(cè)量技術(shù)［M］．北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2008．