羅紹華，王家序，李俊陽，石珍

(1.重慶大學(xué) 機(jī)械傳動國家重點實驗室，重慶400044;2.湖南文理學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，湖南 常德415000)

柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)［1-2］將具有可控界面彈性變形的濾波減速器組件、伺服電機(jī)與傳感器集成一體，具有參數(shù)未知、非線性、強耦合和多變量等特征，其機(jī)械結(jié)構(gòu)上的彈性體產(chǎn)生彈性預(yù)緊來補償齒側(cè)間隙與回差。柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)工作時，受到柔性變形、摩擦及傳動誤差等非線性因素的影響，這些因素將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的控制精度、穩(wěn)定性以及動態(tài)響應(yīng)。國內(nèi)外對考慮諸多非線性項的柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)的控制研究較少，因此，研究其先進(jìn)的控制策略進(jìn)而改善動靜態(tài)性能具有重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價值。

LuGre模型［3-4］能全面描述摩擦力的動靜態(tài)特性，但該模型參數(shù)會隨著外界條件諸如機(jī)械磨損、溫度和潤滑條件等因素而變化。由于時變特性，其摩擦補償控制已成為理論和應(yīng)用研究的熱點。有些學(xué)者應(yīng)用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)［5］與模糊控制方法［6-7］辨識未知摩擦力。Seyfferth等［8］提出了柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人的非線性諧波傳動模型，然而模型中更多考慮磁滯的可塑性。MingChih等［9］針對時變不確定性柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人提出魯棒自適應(yīng)控制器解決跟蹤問題。Yong-ming等［10］研究了基于反步法的直流電機(jī)驅(qū)動單關(guān)節(jié)柔性機(jī)器人自適應(yīng)模糊輸出反饋控制問題，但未考慮非線性因素。劉金琨［11］針對單連桿柔性關(guān)節(jié)機(jī)器人控制系統(tǒng)設(shè)計了反步控制技術(shù)，但虛擬項多次微分產(chǎn)生所謂“系數(shù)膨脹”問題。動態(tài)面［12-13］設(shè)計過程中增加n-1個低通濾波器，克服反步法的不足。文獻(xiàn)［14］將動態(tài)面與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制相結(jié)合，針對具有任意不確定性的嚴(yán)格反饋三角形SISO系統(tǒng)，提出了一種新的控制方法。本文針對柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)的控制問題，考慮非線性項的影響，設(shè)計了自適應(yīng)動態(tài)面模糊控制器，驗證了系統(tǒng)的有效性和優(yōu)越性。

1 柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)

1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

如圖1所示，柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)包括濾波減速器組件、伺服電機(jī)及傳感器。與傳統(tǒng)剛性齒輪相對，柔性濾波齒輪具有可控界面彈性變形，即采用多層材料復(fù)合設(shè)計齒輪本體，在設(shè)計的傳動精度范圍內(nèi)在外齒輪本體鑲嵌一層彈性材料，彈性體產(chǎn)生變形量進(jìn)行彈性預(yù)緊，從而自動補償齒側(cè)間隙與回差，有效防止極端工況與特殊環(huán)境的影響而產(chǎn)生的非線性耦合振動，避免發(fā)生“卡澀”甚至“卡死”等可靠性問題，保證傳動件在所設(shè)計的傳動精度和承載能力范圍內(nèi)工作。

圖1 柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)Fig.1 The flexible filter driving mechanism

1.2 非線性摩擦特性

LuGre全面定義Stribeck特性、摩擦滯遲現(xiàn)象、stick-slip運動、靜摩擦力變化等各種摩擦特性。其模型表達(dá)式為

式中:σ0表示等效剛毛剛度，z表示剛毛變形量，σ1表示剛毛阻尼系數(shù)，σ2表示粘滯摩擦系數(shù)，表示接觸面相對速度，φ()表示速度函數(shù):

式中:Fc表示Coulomb摩擦力，F(xiàn)s表示靜摩擦力，表示Stribeck速度。

1.3 動力學(xué)模型

對于柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)，考慮柔性變形、摩擦及傳動誤差等非線性因素的影響，建立二階非線性動力學(xué)模型如下

式中:Ff表示摩擦力矩，F(xiàn)L表示負(fù)載，K表示柔性剛度，JL、Jm表示驅(qū)動機(jī)構(gòu)與電機(jī)轉(zhuǎn)動慣量，N表示減速器組件減速比，γ表示傳動誤差，u表示電機(jī)輸出力矩，η表示傳動系統(tǒng)效率，qL、和分別表示驅(qū)動機(jī)構(gòu)位移、速度和加速度，qm、和分別表示電機(jī)位移、角速度、角加速度。

定義系統(tǒng)狀態(tài)變量x1=qL、x2、x3=qm、x4以及a=ηK/JmN和b=γ，則動態(tài)方程重寫如下

2 自適應(yīng)動態(tài)面模糊控制器

2.1 模糊邏輯系統(tǒng)

模糊邏輯系統(tǒng)采用單點模糊化、乘積運算的模糊蘊涵關(guān)系、重心法解模糊和高斯函數(shù)的隸屬函數(shù)時，可以表示為

式中:f〈x|θ〉:Ωx?Rn→R表示模糊系統(tǒng)的輸出，表示未知參數(shù)向量，

選擇模糊基函數(shù):

式中:μFi(xi)表示高斯型的隸屬函數(shù)。

對于緊集Ωy∈R中的連續(xù)非線性函數(shù)H(y)，存在模糊邏輯系統(tǒng)f和ε＞0，使得

式中:ε(y)表示模糊逼近器的逼近誤差，并且滿足

2.2 控制器設(shè)計

控制器設(shè)計分為以下4個步驟:

1)定義面函數(shù)e1=x1-xd，則其導(dǎo)數(shù)為

取穩(wěn)定化函數(shù)為

式中:k1為控制增益。為了消除對微分產(chǎn)生的大量導(dǎo)數(shù)項，引入另一個狀態(tài)變量x2f，并讓穩(wěn)定化函數(shù)通過一階濾波器得到x2f，則

式中:τ2表示濾波器的時間常數(shù)。

2)定義面函數(shù)e2=x2-x2f，其動態(tài)方程為

式中:δ1表示逼近誤差，并滿足不等式ε1＞0且任意小。

依據(jù)步驟1)的思想，取穩(wěn)定化函數(shù)為

式中:k2表示控制增益，是W1的估計值。讓穩(wěn)定化函數(shù)通過一階濾波器得到x3f，則

式中:τ3表示濾波器的時間常數(shù)。

3)定義面函數(shù)e3=x3-x3f，則它的導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)步驟1)的思想，取穩(wěn)定化函數(shù)為

式中:k3表示控制增益。讓穩(wěn)定化函數(shù)通過一階濾波器得到x4f，則

4)基于x4f定義面函數(shù)e4=x4-x4f，對其微分得

f2中既含有的導(dǎo)數(shù)，又含有未知量a、b和N，使得傳統(tǒng)方法設(shè)計控制器非常困難。利用模糊邏輯系統(tǒng)在一個緊集上以任意精度逼近任意連續(xù)函數(shù)的優(yōu)點，即存在2(z)使得:

式中:δ2表示逼近誤差，并滿足不等式ε2＞0且任意小。

控制律設(shè)計為

式中:k4表示控制增益，是W2的估計值。uf=G(s)u一階濾波器避開了代數(shù)循環(huán)問題，同時實際中執(zhí)行器具有低頻特性，即uf≈u。

設(shè)計自適應(yīng)律如下

式中:n1、n2、Γ1和Γ2為正實數(shù)。

2.3 穩(wěn)定性分析

濾波器誤差:

邊界層微分方程:

式中:

定義集合:

定理1 針對系統(tǒng)式(4)，給定一個正數(shù)p，對所有滿足初始條件V(0)≤p的情況，控制器式(21)和自適應(yīng)律式(22)、(23)使得閉環(huán)系統(tǒng)信號半全局一致有界，跟蹤誤差收斂。

證明定義Lyapunov函數(shù):

式中:tr(·)表示矩陣的跡。

對式(27)求導(dǎo):

根據(jù)Young’s不等式，式(28)可得

將自適應(yīng)率代入可得

由式(30)可得

若，則≤0。如果V(0)≤p，?t≥0，系統(tǒng)誤差會在緊集內(nèi)一致最終有界，且不大于

將式(31)求微分方程可得

3 系統(tǒng)仿真實驗分析

本節(jié)將驗證柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)的自適應(yīng)動態(tài)面模糊控制器的有效性和優(yōu)越性。

選擇以下隸屬函數(shù)對系統(tǒng)輸入進(jìn)行模糊化:

LuGre摩擦模型的參數(shù)值為

控制器參數(shù)為

仿真實驗結(jié)果如圖2～5所示。圖2、3是系統(tǒng)對于正弦輸入的軌跡跟蹤效果，可以看出，由于摩擦等非線性項的作用，PID位置跟蹤存在“平頂”現(xiàn)象，速度跟蹤存在“死區(qū)”現(xiàn)象，控制魯棒性差，無法實現(xiàn)高精度控制。圖4中所提方案較PID實現(xiàn)高品質(zhì)的軌跡跟蹤，其誤差迅速收斂在有界小區(qū)域內(nèi)，體現(xiàn)了控制的有效性和優(yōu)越性。

圖2 正弦位置跟蹤Fig.2 Sine position tracking

圖3 正弦速度跟蹤Fig.3 Sine velocity tracking

圖4 位移跟蹤誤差Fig.4 Position tracking error

圖5 傳遞力矩Fig.5 Transmitted torque

從圖5狀態(tài)響應(yīng)曲線可知，為加快系統(tǒng)的收斂速度，雖然控制輸入在初期需要的能量較大，但迅速趨于平衡狀態(tài)，抖動減小，所提方案較PID更能有效地抑制參數(shù)未知、擾動等，實現(xiàn)控制連續(xù)平穩(wěn)。

4 結(jié)論

針對柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)的控制問題，本文利用模糊邏輯的萬能逼近特性，建立了柔性濾波驅(qū)動機(jī)構(gòu)的自適應(yīng)動態(tài)面模糊控制，并得出以下結(jié)論:

1)考慮非線性因素的影響，建立了合理的數(shù)學(xué)模型，所提控制器抑制了諸如摩擦等非線性項的影響，后續(xù)研究需要考慮體現(xiàn)溫度影響的摩擦模型和熱變形等影響因素。

2)將反步法控制的思想延伸到自適應(yīng)動態(tài)面控制，克服相關(guān)文獻(xiàn)中“計算膨脹”的問題，同時利用Lyapunov理論證明了所提控制器的穩(wěn)定性。

3)與傳統(tǒng)的PID對比，仿真實驗結(jié)果表明了所提控制器具有很好的跟蹤效果，使系統(tǒng)具有較強的魯棒性，從而使自適應(yīng)動態(tài)面模糊控制技術(shù)具有一定地工程應(yīng)用價值。

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