張婷婷，王小平

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

CAD曲面的測地線計算方法

張婷婷，王小平

(南京航空航天大學(xué) 機電學(xué)院，江蘇 南京 210016)

針對自動鋪絲路徑規(guī)劃芯模面測地等距網(wǎng)計算的核心問題，即簡便、高精度的測地線計算方法存在的缺陷，給出了一種改進的在CAD曲面上計算測地線的方法，給出了理論推導(dǎo)、算法的實現(xiàn)步驟以及流程圖，并以實例驗證了該算法的有效性。對新算法與已有算法在計算精度方面所做的分析比較證明該算法操作簡單，具有較高的計算精度，適合路徑規(guī)劃所涉及的大規(guī)模測地線計算的精度要求。

測地線;CAD曲面;測地等距網(wǎng);自動鋪絲

復(fù)合材料自動鋪絲技術(shù)又叫做纖維鋪放技術(shù)，是近年發(fā)展起來的一種高效率、低成本先進復(fù)合材料自動化成型技術(shù)，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于航空宇航等高性能復(fù)合材料結(jié)構(gòu)的制造當(dāng)中。自動鋪絲技術(shù)的軌跡有多種規(guī)劃模式，一般通過自然路徑軌跡規(guī)劃的方法可使得鋪放更加簡便。自然路徑求解其實是物理概念至幾何概念的一個推廣。從平面與可展曲面來說，自然路徑就是一條平面上的直線或是一條可展曲面上的測地線[1]，曲面上的自然路徑構(gòu)造方法有很多，但大多數(shù)是通過迭代來得到一系列的點以近似地表示出自然路徑[2-3]。此外，由于沿回轉(zhuǎn)體的測地纏繞是纖維穩(wěn)定纏繞的一個條件，故另一種較為廣泛應(yīng)用的纖維連續(xù)纏繞法的路徑規(guī)劃中也有測地線的應(yīng)用。

曲面上測地線的求解方法可劃分成兩大類：一類為用分析法推導(dǎo)出生成測地線的具體公式，即經(jīng)典測地線公式[4]。該方法利用了其實際上為平面上的直線推廣這一基本性質(zhì)。另一類是由各種測地線的性質(zhì)推導(dǎo)出離散公式。如Zantout等提出的于數(shù)字采樣所得到的曲面上對測地線進行求解的一種方法，Kumar等則提出在三角化曲面上對測地線進行求解的兩個離散公式和測地線的一個微分解[5]。

本文將結(jié)合自動鋪絲技術(shù)特點對曲面上的測地線進行研究與分析，對胡淼、楊勛年[6]的論文中提出的測地線計算方法做出改進，從而給出一種新的曲面測地線問題的數(shù)值解法及算例，用以解決鋪放路徑規(guī)劃當(dāng)中測地線的求解問題。

1 曲面曲線的一些基本知識

由u，v兩個參數(shù)可以定義一個參數(shù)曲面：

S(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))

(u,v)∈D?R2

(1)

假設(shè)曲面S正則，則Su×Sv≠0 。以t為自變量將其帶入曲面參數(shù)表達式，則可得到正則曲面S上的一條曲線的參數(shù)方程：

P(t)=S(u(t),v(t))t∈[a,b]

(2)

將P(t)進行微分，即將式(2)兩邊同時對自變量t求導(dǎo)，得到曲面S上的曲線P(t)的切向量：

(3)

曲面S上的點沿著P(t)曲線的法矢n，n(t)=n(u(t),v(t))，根據(jù)經(jīng)典微分幾何理論可以知道：

(4)

(5)

2 改進后的曲面測地線生成算法

自動鋪放技術(shù)最初源于航空工業(yè)，其構(gòu)建的外形都是自由曲面，所以鋪放路徑規(guī)劃一般都在自由形曲面上來進行，不過自由形曲面上測地線的精確求解較為復(fù)雜。本節(jié)主要針對曲面上的測地線進行分析研究，將文獻[6]里提到的算法進行改進。文獻[6]提出的算法迭代估算測地線上的切向量，除第一步已知切向量外，其估算的切向量嚴格來講并沒有切于已知曲面，因而不是測地線在對應(yīng)點處的切向量，這樣在大量的迭代計算之后累積誤差會越來越大。本文針對該誤差做出了一個改進，即將估算求得的切矢沿曲面在一點處的法空間和切空間分解，選擇切分量作為新的切向量，再進行下一步迭代，從而減少了誤差的積累。與此同時將其中法曲率的求解過程進行簡化，減少了計算量。根據(jù)改進后的算法，將測地曲率取為零則可以得到曲面上的一條測地線。

設(shè)光滑曲面為二階可導(dǎo)，并且曲面上曲線的任意一點處均能計算出切向、法向和副法向等，則可以求解得到法曲率等值。在目標曲面、法曲率給定條件下，取測地曲率為零，曲面上的測地線即可唯一確定。根據(jù)以上思想,在給定了曲線的初始點與初始切向量的情形下，通過曲線法曲率的計算就可以得到測地線的法向量和曲率值，以此跟蹤即得出整條測地線，進而可得到唯一一條曲面上的測地線。

2.1曲率向量和二階逼近曲線

給定曲面上的一點p以及過點p的一個曲面切向量T來求解一條測地線。這正是求解測地線初值問題的幾何意義，這樣求得的測地線在一定范圍內(nèi)是唯一的。鋪放路徑規(guī)劃當(dāng)中反復(fù)用到了測地線的初值問題求解。

假設(shè)C為曲面S上的一條過點p的空間曲線，關(guān)于弧長參數(shù)的表示是r=r(s)，曲線C的曲率向量在曲面的法向量n上的正交投影是

(6)

(7)

由Frenet公式得到曲線C的曲率向量如下：

(8)

式中：k為曲線C在p點的曲率；nC為曲線C在點p主法線方向的單位向量；T表示點p處的切向量；n表示點p的單位法向量；kg表示測地曲率；kn為法曲率。這里取kg為零，則曲線C為正則曲面上的測地線。

取點p對應(yīng)參數(shù)s=0，在s=0附近將r(s)按照二階Taylor形式展開得到

(9)

(10)

2.2二階逼近曲線的逐步延展

給定一個參數(shù)曲面S=S(u,v)，曲面S上的一點p0以及該點處切向量T0。現(xiàn)欲于曲面S上生成一條測地線r(t′)，且r(t′)在初始值的位置向量和切向量取p0和T0。

(11)

由式(9)，得到測地線微小鄰域內(nèi)的位置逼近如下：

r1(s+ds)=r1(s)+ds·T+ds2·k(s)nC(s)

(12)

最后由式(6)～(12)能夠推導(dǎo)出如下的測地線公式：

(13)

由于式(12)所求切向并不是嚴格與目標曲面相切，因此需要對它進行修正，使得其真正與曲面相切，故有了式(13)中的第2式。

2.3點到曲面的投影

隨著中國社會開放程度的加深，各種各樣的社會思潮不斷涌入?！敖陙?，新自由主義、民主社會主義、歷史虛無主義、新民族主義、消費主義、后現(xiàn)代主義等思潮在我國的影響不斷擴大，這些非馬克思主義甚至反馬克思主義思潮通過一些學(xué)者的闡述和發(fā)揮，通過媒體傳播等途徑廣泛影響著我國各個群體?！保?］面對各種社會思潮不同的思想觀點、價值取向，身處其中的大學(xué)生常常感到茫然甚至不知所措，這在一定程度上降低了其對思想政治教育內(nèi)容的認同感，也增加了輔導(dǎo)員開展思想政治教育工作的難度，弱化了輔導(dǎo)員在思想政治教育中的話語權(quán)。

由上述測地線跟蹤所得的點雖然很接近曲面，不過通常情況下并沒有嚴格地落在曲面之上，因此還需要計算出曲面上初始跟蹤點的投影點，以便得到最終的跟蹤點。曲面外的一點至曲面投影定義為：假設(shè)有參數(shù)曲面S=S(u,v)，q為曲面外的一點，若可以在曲面上得到一個點p=S(up,vp)，使p滿足|p-q|=min|S(u,v)-q|，則p點就是q點在曲面S上的投影點，由此可知投影點位于曲面內(nèi)部或曲面邊界上。在本節(jié)中，點q距離曲面S較為接近，所以p點通常為q點在曲面S上的投影點，則有(p-q)×n=0，其中n表示曲面S上點p處法向量。

以pi=S(ui,vi)表示已經(jīng)求出的一個跟蹤點(p0表示曲面上一個給定的初始點)，ni表示pi處曲面的單位法向。為了求得下一個跟蹤點pi+1，記q為由式(12)所得的pi+1的初始跟蹤點，記qpi為q在pi切平面上投影，那么向量piq在pi切平面投影表示為qv=qpi-pi=q-pi-((q-pi)·ni)ni,曲面在pi點處以一階Taylor形式展開得S(ui+du,vi+dv)=S(ui,vi)+Su(ui,vi)du+Sv(ui,vi)·dv，則近似地有qv=Su(ui,vi)du+Sv(ui,vi)dv，從而可求得du和dv。然后將S(ui+du,vi+dv)當(dāng)作初始點再進行迭代。重復(fù)此過程直到給定的一個迭代上限N或‖S(ui+du,vi+dv)-S(ui,vi)‖小于某個常量e0，繼而得到下一個跟蹤點pi+1=S(ui+1,vi+1)( 其中(ui+1，vi+1)是以上迭代終止曲面位置參數(shù))。

2.4算法步驟詳述

在點的位置和切向量給定以及測地曲率取為零的情形下，由式(8)計算可得到曲率向量。由式(12)、(13)可知，通過上一個點的位置和切向量、曲率向量可以估計得到下一個點的位置與切向量，將估計得到的點投影到曲面可得最終的跟蹤點及其位置參數(shù)。如此往復(fù)，則可得到曲面測地線的計算方法。

Step1，給定初始值。將初始點p0=S(u0,v0)加入到描述測地線路徑的點數(shù)組(pseq)當(dāng)中，使點p0處的測地曲率為零，其對應(yīng)的弧長為s=0，步長ds取為較小的一個常量。

Step2，計算出第2個點p1的位置。由式(8)計算得到測地線在曲面上p0點處的曲率向量knC，由式(12)，得p1=p0+ds·T0+ds2·knC/2，計算得到p1點在目標曲面S的投影p1點，并將其加入(pseq)。

Step3，計算第2個點處的切向量與曲率向量。再取p1點處的測地曲率為零。由式(13)的前兩式可得到p1點處的切向T(ds)，進一步由式(8)計算得到測地線在曲面上p1點處的曲率向量k(ds)nC(ds)。

Step5，逐點進行跟蹤。其他跟蹤點根據(jù)Step3，Step4步驟可類似得到，直到測地線已經(jīng)到達曲面邊界為止。

Step6，獲得近似測地線。由點數(shù)組(pseq)當(dāng)中的各個跟蹤點按照先后的順序連接而成的折線， 即為近似測地線的數(shù)值解。

求解參數(shù)曲面上測地線的設(shè)計算法流程如圖1所示。

圖1 改進后測地線求解算法流程圖

3 測地線的求解實例

取圓柱面為例，經(jīng)過算法改進后，取測地曲率為零，得到圓柱面上的一條測地線如圖2所示。本文提出的新的曲面測地線數(shù)值求解方法所求圓柱面上的測地線如圖3所示。而圓柱面上的測地線實際是與圓柱底面圓平行的圓柱面上的一個圓周。圖4所示為由上述兩種算法所得測地線與圓柱面實際測地線的比較，十字線為改進前算法所得測地線，點狀線為新算法所得測地線，而細實線為圓柱面本身測地線。

圖2 原算法所得圓柱測地線

圖3 新算法所得圓柱測地線

圖4 與實際測地線比較

再取球面為例，球面上的測地線實際上就是它的一條經(jīng)線或緯線。圖5所示為改進前算法所求球面上的測地線與實際測地線的比較，圖6所示為改進后的新算法得到的球面測地線與實際測地線比較。圖中長細實線為球面實際測地線。

圖5 改進前算法得到的球面測地線

圖6 新算法得到的球面測地線

由圖6可知，新算法所得測地線與實際測地線近似重合，幾乎沒有誤差，而通過文獻[8]未改進算法所得測地線明顯與實際測地線出入較大。由此可驗證本文新算法的準確性與優(yōu)越性。

表1中給出了改進前后兩種計算測地線方法步長取0.1和0.01時的計算時間及誤差，由于每次運行時間都會有微小變化，這里取10次運行時間的平均值。誤差取球面為例時的最大值?？梢钥闯?由于改進后的算法計算量大大減少，程序的運行時間明顯減少。

表1 取不同步長時兩種算法計算時間比較

4 結(jié)束語

本文給出的改進后的保測地曲率算法求解曲面測地線的新方法，將其中法曲率的求解過程進行了簡化，減少了計算量。實例證明，對于光滑曲面來說，改進后的新算法可以很容易地求得它的測地線，不但減少了計算量，而且操作簡單，自動化程度得到提高，能夠更好地達到精確性要求，減少誤差。本文進一步的研究工作是，將結(jié)果推廣到復(fù)合材料自動鋪絲路徑規(guī)劃中，應(yīng)用于曲面上測地線等距算法，尤其是在大型構(gòu)件上面的應(yīng)用能更為明顯地突出這種算法的優(yōu)越性，進而提高復(fù)材自動鋪絲效率。

[1] 王升，肖軍，吳海嬌. 自動鋪帶軌跡規(guī)劃中測地線算法研究[J]. 玻璃鋼/復(fù)合材料，2007(2)：15-18.

[2] Henry W Lewis，Jorge E，Romero. Composite tape placement apparatus with natural path generation means：US Patent，4696707[P]. 1987-09-29.

[3] Nobuo Shinno，Toshikazu Shigematsu. Method for controlling tape affixing direction of automatic tape affixing apparatus：US Patent，5041179[P]. 1991-08-20.

[4] 杜卡莫(巴西). 曲線與曲面的微分幾何[M]. 田疇，忻元龍，姜國英,等 譯. 北京：機械工業(yè)出版社，2009.

[5] Ravi Kumar GVV，Prabha S. Geodesic curve computations on surfaces [J]. Computer-Aided Geometric Design，2003，20(2)：119-133.

[6] 胡淼，楊勛年. 保測地曲率的曲面曲線設(shè)計[J]. 計算機輔助設(shè)計與圖形學(xué)學(xué)報，2005，17(5)：981-985.

AMethodofComputingGeodesicsonCADSurface

ZHANG Tingting, WANG Xiaoping

(Nanjing University of Aeronautics and Astronautics, Jiangsu Nanjing, 210016, China)

In robotic fiber placement, the key is to compute geodesic offset net. This includes calculating geodesics simply and high-precisely. Aiming at the drawbacks of existing methods, it presents an improved method of computing geodesics on CAD surface. Besides it also gives the theoretical deduction, implementation steps,flowchart of the new algorithm and some examples. Comparing this method with the existing ones, it shows that the method is easy to operate and has higher precision, is suitable for large-scale computation of geodesics in robotic fiber placement.

Geodesics; CAD Surface; Geodesic Offset Net; Fiber Placement

10.3969/j.issn.2095-509X.2014.05.005

2014-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項目(51075206)

張婷婷(1988—)，女，陜西榆林人，南京航空航天大學(xué)碩士研究生，主要從事CAD/CAM、復(fù)合材料自動鋪絲技術(shù)等方面的研究工作。

TP391.72

A

2095-509X(2014)05-0016-05