柳錦春，于潤(rùn)清，唐德利

(1.解放軍理工大學(xué) 國(guó)防工程學(xué)院，南京 210007;2.爆炸沖擊防災(zāi)減災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210007)

裂紋的開(kāi)裂直接導(dǎo)致玻璃的破碎，文獻(xiàn)[1]采用蒙特卡洛法并結(jié)合有限元分析，建立一種修正的單層玻璃板動(dòng)態(tài)裂紋破壞模型。本文結(jié)合試驗(yàn)確定該修正模型中的未知量，即裂紋分布密度、最大裂紋長(zhǎng)度和裂紋長(zhǎng)度的分布，最后用此模型計(jì)算了爆炸荷載下玻璃板的破壞時(shí)間。

1 確定改進(jìn)模型中的未知量

1.1 網(wǎng)格和材料參數(shù)的確定

選用ABAQUS進(jìn)行玻璃板的動(dòng)力分析，在模擬前有必要確定網(wǎng)格尺寸和材料參數(shù)。取彈性模量E=73 GPa，泊松比v=0.25，密度ρ=2 450 kg/m3，板的尺寸為1 m×1 m×0.004 m，邊界條件為四邊簡(jiǎn)支，荷載為均布荷載2.2 kPa，為準(zhǔn)確模擬準(zhǔn)靜態(tài)加載[2]，荷載步選用光滑緩慢加載步，加載時(shí)間設(shè)為2 s，經(jīng)過(guò)網(wǎng)格尺寸分析取網(wǎng)格為50 mm，分別用幾何線(xiàn)性和幾何非線(xiàn)性進(jìn)行計(jì)算，并將計(jì)算結(jié)果與其他文獻(xiàn)[3,4]的計(jì)算結(jié)果作對(duì)比，見(jiàn)表1。

表1 應(yīng)力和撓度的對(duì)比

由表1可以看出，運(yùn)用ABAQUS軟件及上述參數(shù)可以很好地模擬玻璃的變形(本文如無(wú)特殊說(shuō)明玻璃板的材料參數(shù)均為1.1節(jié)確定的參數(shù))。此外，從表中還可以看出，運(yùn)用幾何非線(xiàn)性計(jì)算的結(jié)果要小于用幾何線(xiàn)性計(jì)算的結(jié)果，由于玻璃薄板在動(dòng)荷載作用下幾何非線(xiàn)性特征明顯[5]，因此本文選用幾何非線(xiàn)性進(jìn)行計(jì)算。

1.2 時(shí)間增量步Δt的確定

裂紋長(zhǎng)度隨時(shí)間變化而增大，可表示為[1]

(1)

式中:aj、aj-1分別是第j時(shí)刻、j-1時(shí)刻的裂紋長(zhǎng)度，σj、σj-1分別是j時(shí)刻、j-1時(shí)刻的裂紋法向拉應(yīng)力，Δt為時(shí)間增量，v0和n均為材料參數(shù)，KIC是應(yīng)力強(qiáng)度因子，Y是裂紋的形狀參數(shù)。

由式(1)可知，Δt的值直接影響計(jì)算結(jié)果。取Δt分別為0.02 s，0.05 s，0.1 s，板的尺寸、材料參數(shù)、荷載形式和邊界條件與1.1節(jié)相同，玻璃板內(nèi)的裂紋分布取對(duì)數(shù)正態(tài)分布(參數(shù)見(jiàn)表2)，裂紋密度與裂紋最大長(zhǎng)度見(jiàn)表3，樣本取100，計(jì)算破壞時(shí)間t的累計(jì)概率(CPD)，如圖1所示。觀(guān)察圖1，比較三組數(shù)據(jù)，綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率，可取Δt=0.05 s。

圖1 不同增量步破壞時(shí)間的對(duì)比

1.3 裂紋長(zhǎng)度分布函數(shù)的參數(shù)取值

設(shè)定最大裂紋長(zhǎng)度amax，將任意裂紋長(zhǎng)度aj除以最大裂紋長(zhǎng)度，得長(zhǎng)度歸一化系數(shù)rj。對(duì)rj取不同的分布即可代表裂紋不同的長(zhǎng)度分布。Nurhuda采用的概率密度函數(shù)[6]使rj在某一區(qū)間過(guò)于集中，如圖2所示，在取對(duì)數(shù)正態(tài)分布時(shí)長(zhǎng)度在較小值區(qū)間過(guò)于集中。為更好的覆蓋整個(gè)取值范圍，本文采用圖3所示的概率密度函數(shù)，詳細(xì)參數(shù)見(jiàn)表2。

圖2 Nurhuda 采用的概率密度函數(shù)

圖3 本文采用的概率密度函數(shù)

表2 不同分布參數(shù)取值

1.4 確定裂紋長(zhǎng)度分布、裂紋密度和裂紋最大長(zhǎng)度

Gavanski等[4]研究了浮法玻璃板的破壞時(shí)間，通過(guò)試驗(yàn)統(tǒng)計(jì)了破壞時(shí)間的累計(jì)概率，Nurhuda等[6]對(duì)浮法玻璃板的破壞應(yīng)力做了試驗(yàn)研究，統(tǒng)計(jì)了破壞應(yīng)力的累計(jì)率，本節(jié)參照這兩個(gè)試驗(yàn)進(jìn)行參數(shù)確定和模型的驗(yàn)證。具體做法如下：

(1) 確定每種裂紋長(zhǎng)度分布對(duì)應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長(zhǎng)度。Gavanski等[4]統(tǒng)計(jì)了三種加載形式(如圖4所示)下玻璃板破壞時(shí)間的累計(jì)概率，選用其中一個(gè)加載速率的試驗(yàn)結(jié)果，用四種不同的裂紋長(zhǎng)度分布進(jìn)行模擬，得到四種裂紋長(zhǎng)度分布對(duì)應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長(zhǎng)度。

(2) 對(duì)比破壞應(yīng)力。仍用(1)中具體確定四組參數(shù)，對(duì)Nurhuda的一組試驗(yàn)中的其中一個(gè)進(jìn)行模擬，對(duì)比模擬結(jié)果與試驗(yàn)值，判斷參數(shù)的優(yōu)劣。

圖4 不同的荷載形式

1.4.1 確定四種裂紋長(zhǎng)度分布對(duì)應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長(zhǎng)度

取加載速率為6.5 kPa/s(圖4中的荷載3)，玻璃板尺寸為1 m×1 m×0.006 m，對(duì)四種長(zhǎng)度分布函數(shù)，確定出對(duì)應(yīng)的最佳裂紋密度和裂紋最大長(zhǎng)度。

由于Gavanski等[4]對(duì)不同的荷載形式只取了20個(gè)試件，因此在模擬計(jì)算時(shí)每組的試件數(shù)取為20，共模擬15組。選取不同的裂紋密度值和最大長(zhǎng)度值，取模擬結(jié)果的平均值與實(shí)驗(yàn)結(jié)果最近似的參數(shù)為最佳參數(shù)。

以對(duì)數(shù)正態(tài)分布為例，對(duì)每組玻璃板進(jìn)行模擬，統(tǒng)計(jì)出累計(jì)概率，如圖5。然后計(jì)算出15組玻璃板的模擬結(jié)果，如圖6所示。最后求出15組模擬結(jié)果的平均值，見(jiàn)圖7。

由式(2)計(jì)算平均值與實(shí)驗(yàn)值的距離[8]，取距離最小的參數(shù)為最優(yōu)參數(shù)。

(2)

其中:t1k為破壞時(shí)間的試驗(yàn)值，t2k為破壞時(shí)間的模擬值。

圖5 對(duì)數(shù)正態(tài)分布1組模擬結(jié)果(荷載3)

用同樣的方法確定出其他長(zhǎng)度分布所對(duì)應(yīng)的最佳裂紋分布密度和最大長(zhǎng)度，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 裂紋尺寸分布的統(tǒng)計(jì)參數(shù)

1.4.2 對(duì)比破壞應(yīng)力，確定參數(shù)

取Nurhuda的一組試驗(yàn)[6]中的一個(gè)工況計(jì)算玻璃板破壞應(yīng)力的累計(jì)概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸分別為2 m×0.67 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡(jiǎn)支，計(jì)算結(jié)果如圖8。

圖8 模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比

圖8表明，采用對(duì)數(shù)正態(tài)分布計(jì)算的破壞應(yīng)力與試驗(yàn)結(jié)果更加接近。

由此確定玻璃板內(nèi)裂紋長(zhǎng)度大致符合對(duì)數(shù)正態(tài)分布。

2 與其他模型的對(duì)比

在確定參數(shù)后，將該改進(jìn)模型與其他模型相比較，并與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，以確定模型的優(yōu)劣性。由于同時(shí)給出破壞時(shí)間和破壞應(yīng)力的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，因此在計(jì)算破壞時(shí)間時(shí)與Evans的模型[4]和Simu&Reed的模型[4]進(jìn)行對(duì)比，在計(jì)算破壞應(yīng)力時(shí)與Nurhuda模型[6]和Beason的玻璃破壞模型[7]進(jìn)行對(duì)比。

取Gavanski等[4]的試驗(yàn)，針對(duì)荷載1、荷載2(圖4)計(jì)算玻璃板的破壞時(shí)間，并與Evans的模型和Simu&Reed的模型進(jìn)行對(duì)比，如圖9、圖10。由圖9可知，在6.5 kPa/s的鋸齒形荷載下，改進(jìn)模型結(jié)果與試驗(yàn)值吻合較好，Simu&Reed模型結(jié)果偏差小一點(diǎn)，但當(dāng)累計(jì)概率(CPD)越來(lái)越大時(shí)偏差也越來(lái)越大，而Evans模型結(jié)果始終與試驗(yàn)值偏差均較大。由圖10可知，在0.25 kPa/s的直線(xiàn)型荷載下，當(dāng)累計(jì)概率(CPD)小于0.7時(shí)，改進(jìn)模型與Simu&Reed的模型結(jié)果與試驗(yàn)值吻合均較好，而Evans的模型與試驗(yàn)值偏差較大，當(dāng)累計(jì)概率(CPD)大于0.7時(shí)，只有改進(jìn)模型與試驗(yàn)值吻合較好，而其他兩種模型與試驗(yàn)值吻合都較差，尤其是Evans模型偏差較大。

圖9 模型對(duì)比(荷載1)

取Nurhuda的試驗(yàn)[6]計(jì)算玻璃板破壞應(yīng)力的累計(jì)概率。加載速率取為10 kPa/s，玻璃尺寸為2 m×0.4 m×0.008 m，玻璃板為四邊簡(jiǎn)支，運(yùn)用改進(jìn)模型和Nurhuda模型[6]以及Beason模型計(jì)算破壞應(yīng)力并與試驗(yàn)值進(jìn)行對(duì)比，如圖11。由圖11可以看出，Beason模型預(yù)測(cè)的破壞應(yīng)力過(guò)大，而改進(jìn)模型與Nurhuda模型值與試驗(yàn)值誤差較小。但相對(duì)于Nurhuda模型，改進(jìn)模型不僅可以分析預(yù)測(cè)玻璃板的破壞應(yīng)力，還可以分析預(yù)測(cè)玻璃板的破壞時(shí)間，且不受玻璃板形狀和邊界條件的限制。

3 爆炸荷載條件下破壞模型的適用性驗(yàn)證

葛杰[9]對(duì)不同爆炸荷載作用下玻璃板的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，如表4，本節(jié)根據(jù)前文確定的裂紋密度、裂紋長(zhǎng)度分布和最大裂紋長(zhǎng)度，對(duì)表4中的三種工況進(jìn)行模擬。

爆炸荷載的時(shí)程曲線(xiàn)可由修正的Friedlander方程確定，

(3)

其中:pmax是沖擊波超壓峰值，td是正壓作用時(shí)間，b是波形參數(shù)，均可由Conwep[10]計(jì)算得出。

表4 不同工況 [9]

圖12 模擬的破壞時(shí)間分布

玻璃材料參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[9]取值，玻璃的彈性模量E=67 GPa，泊松比v=0.25，選取5組樣本，每組900個(gè)，根據(jù)改進(jìn)模型，采用前文確定的最優(yōu)的裂紋長(zhǎng)度分布和相應(yīng)的裂紋密度、最大裂紋長(zhǎng)度，計(jì)算爆炸荷載作

用下玻璃板的破壞時(shí)間，結(jié)果如圖12所示。對(duì)比三種工況可知，隨著比例爆距的減少，破壞時(shí)間的主要分布區(qū)間前移，工況1和工況2玻璃板的破壞時(shí)間集中在2～4 ms，工況3集中在0～2 ms，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果是基本相符的，說(shuō)明該破壞模型可以用于單層玻璃板的抗爆分析。

4 結(jié) 論

本文以浮法玻璃為例確定了文獻(xiàn)[1]中修正模型的未知量。首先假定四種不同的裂紋長(zhǎng)度分布，分別對(duì)其中某一種長(zhǎng)度分布選用不同裂紋密度值和裂紋最大長(zhǎng)度值，基于所選的裂紋密度和裂紋最大長(zhǎng)度對(duì)玻璃的破壞時(shí)間進(jìn)行模擬，通過(guò)計(jì)算模擬結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比確定出四種裂紋長(zhǎng)度分布對(duì)應(yīng)的最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長(zhǎng)度。根據(jù)確定的四種長(zhǎng)度分布及最優(yōu)裂紋密度和裂紋最大長(zhǎng)度，計(jì)算玻璃板的破壞應(yīng)力，將計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果對(duì)比，確定出最優(yōu)的裂紋長(zhǎng)度分布，由此，最優(yōu)裂紋長(zhǎng)度分布對(duì)應(yīng)的一組參數(shù)即為該改進(jìn)模型的參數(shù)。運(yùn)用確定參數(shù)后的改進(jìn)模型計(jì)算了玻璃板的破壞時(shí)間和破壞應(yīng)力，分別與Evans的模型、Simu&Reed的模型、Nurhuda模型和Beason模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比表明，該改進(jìn)模型可以同時(shí)較準(zhǔn)確地計(jì)算出玻璃板的破壞應(yīng)力和破壞時(shí)間。最后應(yīng)用改進(jìn)模型，采用最優(yōu)的裂紋長(zhǎng)度分布和相應(yīng)的裂紋密度和最大裂紋長(zhǎng)度對(duì)不同爆炸荷載下玻璃板的破壞時(shí)間進(jìn)行了模擬，模擬結(jié)果與試驗(yàn)值吻合較好。

[1] 柳錦春, 于潤(rùn)清, 唐德利. 動(dòng)荷載作用下預(yù)測(cè)玻璃板破壞強(qiáng)度和破壞時(shí)間的一種改進(jìn)模型——Ⅰ.理論[J]. 振動(dòng)與沖擊, 2014,33(13):77-81.

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