葉文強(qiáng)，薛春霞

(中北大學(xué) 理學(xué)院，太原 030051)

壓電陶瓷的逆壓電效應(yīng)可以將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能，利用這一原理設(shè)計(jì)的壓電驅(qū)動器具有結(jié)構(gòu)緊湊、響應(yīng)快、輸出力大、無電磁干擾等特點(diǎn)。以壓電陶瓷-金屬-壓電陶瓷層合結(jié)構(gòu)組成的雙晶彎曲驅(qū)動器具有輸出位移量大、承載力高，且斷裂韌性高，不易損壞等優(yōu)點(diǎn)，因此其得到了廣泛的應(yīng)用。目前國內(nèi)外對壓電驅(qū)動器進(jìn)行了大量的研究，在考慮壓電驅(qū)動器的非線性方面，Richter等[1]研究了強(qiáng)電作用下的非線性壓電效應(yīng)，李鳳明等[2]分析了非線性阻尼對參數(shù)激勵壓電梁的振動穩(wěn)定性的影響。更多的學(xué)者是對壓電驅(qū)動器的振動控制的研究，Gaudenzi等[3]建立表面雙側(cè)對稱布置壓電陶瓷驅(qū)動器與傳感器的懸臂梁有限元模型，采用模態(tài)控制法對梁的前兩階振動進(jìn)行主動控制研究；董興建等[4]由Hamilton變分原理建立壓電層合梁的有限元模型，基于魯棒極點(diǎn)配置算法對降階后的低階系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋，實(shí)現(xiàn)對原系統(tǒng)的主動控制；Kapuria等[5]基于電勢的二次變分的layerwise理論建立梁的有限元模型實(shí)現(xiàn)對智能梁的主動控制；Kumar等[6]由Euler-Bernoulli 梁理論建立壓電梁的有限元模型，使用LQR控制模型對柔性梁上的壓電陶瓷驅(qū)動器與傳感器進(jìn)行優(yōu)化配置。此外有學(xué)者對壓電驅(qū)動元件的驅(qū)動性能及局部應(yīng)變機(jī)理進(jìn)行了研究，丁根芳等[7]借助Hamilton原理建立了壓電層合結(jié)構(gòu)的有限元方程，分析了在三種邊界條件下不同幾何參數(shù)和載荷參數(shù)對梁驅(qū)動和傳感性能的影響；杜立群等[8]提出了考慮粘貼層影響的智能結(jié)構(gòu)梁分布力模型，得到了應(yīng)變分布假設(shè)對壓電驅(qū)動器驅(qū)動性能影響的規(guī)律；吳義鵬等[9]研究了壓電驅(qū)動元件局部應(yīng)變的機(jī)理,驗(yàn)證了局部應(yīng)變效應(yīng)的存在。

鑒于目前尚未有文獻(xiàn)涉及由電壓激勵的雙晶驅(qū)動器的橫向振動響應(yīng)，本文通過假設(shè)等截面對稱層合懸臂梁的振動位移函數(shù)，運(yùn)用能量法寫出了該結(jié)構(gòu)在電場激勵下的動力學(xué)振動方程，然后進(jìn)行了振動響應(yīng)分析，與ANSYS軟件仿真結(jié)果的對比，說明了本文結(jié)論的可行性與有效性，在此基礎(chǔ)上分析了阻尼比對振動響應(yīng)的影響及振動時系統(tǒng)最大應(yīng)力的變化規(guī)律。所得結(jié)論對工程實(shí)際有一定的理論參考意義。

1 建立壓電層疊懸臂梁的橫向振動微分方程

本文研究的對象是基體材料上下表面均粘有壓電層的等截面彈性懸臂梁( 如圖1所示)?；w材料45#鋼的幾何參數(shù)：長l寬w厚hm；壓電層幾何參數(shù)：壓電陶瓷長l寬w厚hp，即壓電層鋪滿鋼梁表面。梁的上層壓電片沿z軸正向垂直極化, 下層壓電片沿z軸反向垂直極化。假設(shè)沿z軸負(fù)方向施加變化的激振電場E3，則由于壓電效應(yīng)壓電層疊懸臂梁做橫向強(qiáng)迫振動。

上層壓電層的壓電方程[10]為：

(1)

下層壓電層的壓電方程為：

(2)

圖1 壓電層合懸臂梁模型

用z(x,t)表示坐標(biāo)為x的截面中性軸在t時刻的橫向位移，假設(shè)：

(3)

(4)

將式(3)代入到式(4)，化簡后得到動能：

(5)

式中:

i,j=1,2,…,n

(6)

上下兩層壓電片總的應(yīng)變能(包括彈性勢能和電場能)為Up(t)，其表達(dá)式為：

Up(t)=Up1(t)+Up2(t)

(7)

(8)

(9)

式中:Up1(t)、Up2(t)分別表示上下兩層壓電片的應(yīng)變能，V1、V2分別表示上下兩層壓電片的體積。為求Up1(t)，在上層壓電片取一微小體積dV為研究對象。結(jié)合式(1)則在該微小體積上有

(10)

在壓電層合懸臂梁橫向彎曲時有：

(11)

其中：z為到中性層的z向距離，R為橫向彎曲時的曲率半徑，曲率k為：

(12)

將式(11)代入式(1)第二個方程并變形得到：

(13)

由式(8)～(13)可得到：

(14)

同理可以求得Up2(t)

(15)

可知Up1(t)=Up2(t)，將式(14)、式(15)代入式(7)，得到：

(16)

由式(6)、式(16)得到壓電層合懸臂梁總的應(yīng)變能U(t)為

U(t)=Up(t)+Um(t)=

(17)

將式(3)代入式(17)，得到：

(18)

其中:

當(dāng)在壓電層極化表面施加交變電壓V(t)=hpE3時，則壓電層合懸臂梁上形成變化的電場E3，由于壓電效應(yīng)，梁會發(fā)生彎曲變形產(chǎn)生彎矩Me(t)[11]：

Me(t)=c·V(t)

(19)

其中Ep為壓電陶瓷的楊氏模量，

(20)

根據(jù)拉格朗日方程：

(21)

由式(5)、(18)得到拉格朗日函數(shù)L=T-U，得到：

(22)

(23)

求解微分方程組，在得到qi(t),i=1,2,…,n后，由式(3)即可得到壓電梁上任一點(diǎn)在t時刻的橫向位移z(x,t)，橫向速度zt(x,t)，橫向加速度ztt(x,t)。

2 算例仿真及分析

取滿足懸臂梁邊界條件的振型函數(shù)為：

φi(x)=-cosβix+coshβix-

i=1,2,…,n

取方程的cosβlcoshβl=-1前三個根為β1l=1.875,β2l=4.694,β3l=7.855。本文的壓電陶瓷用PZT-5H ,基體材料選用45#鋼，它們參數(shù)[10]如表1。

2.1 模態(tài)分析

為研究壓電懸臂梁的橫向固有頻率與長度的關(guān)系，探討本文理論的適用范圍，現(xiàn)對不同長度下的梁進(jìn)行模態(tài)分析。當(dāng)進(jìn)行模態(tài)分析時，壓電層合懸臂梁的自由振動微分方程為：

(24)

表1 PZT-5H 與基體材料參數(shù)

本文采用ANSYS 12.0對壓電層合懸臂梁進(jìn)行建模與仿真，由模態(tài)分析得出梁橫向彎曲振動下的固有頻率及振型。壓電分析是一種結(jié)構(gòu)-電場耦合分析，而ANSYS有限元軟件具有強(qiáng)大的耦合場分析功能。壓電分析中可使用的耦合單元有SOLID5、PLANE13和SOLID98單元。 本文選用SOLID5單元進(jìn)行壓電耦合場分析，SOLID5是八節(jié)點(diǎn)六面體單元，每個節(jié)點(diǎn)有六個自由度，在分析時忽略溫度和磁場自由度。基體材料選用SOLID45單元，壓電陶瓷與基體之間采用粘接處理，用映射方法劃分網(wǎng)格，在施加約束后，用Block Lanczos法進(jìn)行模態(tài)分析,該模態(tài)方法計(jì)算精度高，而且在有限元模型中允許有質(zhì)量較差的實(shí)體單元，因此在工程中常用來提取具有對稱特征的大模型的多階模態(tài)。

誤差原因分析：ANSYS軟件基于有限元理論考慮了表層面外剪切及內(nèi)應(yīng)力對結(jié)果的影響，而本文理論計(jì)算進(jìn)行了相應(yīng)簡化。前3階橫向彎曲固有頻率計(jì)算值fr和仿真值fa的最大誤差只有2.7%，橫向彎曲固有頻率計(jì)算值與通過有限元分析值基本吻合，初步說明了本文理論的可靠性。

表2 前3階橫向彎曲固有頻率對比結(jié)果

從表2知，當(dāng)長度l取某一定值時，激發(fā)高階振動的能量減弱，且高階振動的節(jié)點(diǎn)數(shù)多，振動不容易被激發(fā)，所以基頻值最小。當(dāng)長度l逐漸增加時，各階固有頻率相應(yīng)的減小。當(dāng)長度增加時，基頻相對誤差也逐漸減小，而且第二、三階橫向固有頻率的相對誤差不超過1 %，表明本文理論對細(xì)長梁更精確。

2.2 響應(yīng)分析

2.2.1 諧響應(yīng)分析

在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上對hm=0.2 mm、hp=1 mm、w=5 mm、l=98 mm的壓電層合懸臂梁采用完全法進(jìn)行ANSYS諧響應(yīng)仿真分析。取材料阻尼比ζ=0.01，相應(yīng)的比例阻尼系數(shù)α0=10、α1=4.7×10-6，在壓電材料表面施加220 V的正弦電壓作為激勵載荷，在70 Hz到120 Hz激勵頻率范圍內(nèi)取50個子載荷步，采用Sparse solver求解器進(jìn)行求解，得到壓電層合懸臂梁關(guān)于基頻的幅頻曲線和相頻曲線，將其與本文理論得到的幅頻曲線和相頻曲線進(jìn)行對比，結(jié)果分別如圖2(a)、2(b)所示。

圖2 幅頻曲線和相頻曲線

通過圖2知，由ANSYS仿真得到的幅頻曲線和相頻曲線與本文得到的的曲線幾乎完全重合，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文得到的由電壓激勵的強(qiáng)迫振動微分方程是可靠與有效的。當(dāng)電壓頻率為遠(yuǎn)小于基頻91 Hz時，壓電懸臂梁橫向振幅很小，橫向位移與激振電壓在相位上幾乎相同；當(dāng)電壓頻率即將等于基頻時，梁的橫向振幅急劇增加，橫向位移比激振電壓在相位上滯后90°，即達(dá)到共振狀態(tài)；隨著激勵電壓的頻率繼續(xù)增大，離開共振區(qū)的梁的橫向振幅迅速減小，此時橫向位移比激振電壓在相位上滯后180°。當(dāng)達(dá)到共振狀態(tài)時，結(jié)構(gòu)的位移響應(yīng)幅值急劇增加，但并未出現(xiàn)無限放大現(xiàn)象，因?yàn)榭紤]了阻尼耗能性能，對響應(yīng)峰值具有抑制作用。故阻尼設(shè)置能較好地抑制結(jié)構(gòu)的振動響應(yīng)。

2.2.2 阻尼對橫向位移的響應(yīng)分析

為了分析阻尼對橫向振動位移的影響，在壓電材料表面施加220 V的不同頻率的激勵電壓，得到了不同阻尼比下的壓電懸臂梁自由端橫向位移的時程曲線，如圖3所示。

圖3(a)表示激勵電壓的頻率遠(yuǎn)小于共振頻率時，雖然有阻尼的橫向位移比無阻尼時小些，此時梁的橫向位移很小，阻尼的大小對位移的抑制作用并不明顯；圖3(b)表示激勵電壓的頻率接近共振頻率時，無阻尼時梁的橫向位移時程曲線出現(xiàn)拍的現(xiàn)象，且持續(xù)存在，ζ=0.01時，在初始時間段，也出現(xiàn)了拍的現(xiàn)象，但拍的振幅逐漸減小并消失，過渡到穩(wěn)定振動狀態(tài)，ζ=0.1時，壓電梁并未出現(xiàn)拍的現(xiàn)象，其橫向位移逐漸增加，一直到位移振幅不變，振動頻率等于激勵頻率的穩(wěn)定振動狀態(tài)。表明阻尼的大小對拍的形成及持續(xù)時間有一定的影響；圖3(c)表示共振時，無阻尼的橫向位移隨時間無限增加，有阻尼時壓電梁的橫向位移也是逐漸增加，最后到穩(wěn)態(tài)振動狀態(tài)。表明阻尼大小對橫向位移的抑制作用非常明顯，阻尼越大，穩(wěn)態(tài)時的響應(yīng)幅值越小。

2.2.3 速度、加速度及應(yīng)力的響應(yīng)分析

用ANSYS對壓電層合懸臂梁進(jìn)行瞬態(tài)響應(yīng)分析，采用完全法，仍取材料阻尼比ζ=0.01，壓電層表面施加220 V頻率為30 Hz的正弦激勵電壓，載荷按照躍階方式施加，每個載荷步0.001 67 s,共300個載荷步，得到壓電層合懸臂梁自由端橫向速度、橫向加速度及梁內(nèi)最大應(yīng)力在0.5 s內(nèi)的時程曲線如圖4(a)～(c)，圖4(d)表示壓電梁振動時最大應(yīng)力出現(xiàn)的位置。

圖3 阻尼對梁橫向振動的影響

由圖4(a)、4(b)可知，橫向速度與橫向加速度的時程曲線在前0.4 s內(nèi)很不規(guī)則，但總體上其振幅是逐漸減小并趨于平穩(wěn)。因?yàn)樵摃r間段為強(qiáng)迫振動的過渡階段，在該階段梁的振動比較復(fù)雜，是無激勵時的自由振動、有激勵的自由伴隨振動和穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動三種振動形式的疊加，由于阻尼的存在，自由振動及自由伴隨振動的振幅都要隨時間進(jìn)行衰減，直至完全消失，最后只剩下穩(wěn)態(tài)振動。在0.4 s到0.5s的穩(wěn)態(tài)振動階段，速度和加速度的時程曲線為振幅不變的簡諧曲線，其振動頻率為電壓的激勵頻率。

壓電懸臂梁在做強(qiáng)迫振動時，其最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在靠近固定端的壓電陶瓷與基體材料的粘接處，如圖4(d)所示，由于截面的變化及材料的屬性不同，靠近根部的粘接層往往會出現(xiàn)應(yīng)力集中。圖4(c)為最大應(yīng)力處節(jié)點(diǎn)10 747的von misers應(yīng)力時程曲線，一個振動周期內(nèi)，最大應(yīng)力出現(xiàn)2次，最大應(yīng)力接近20 MPa，最小應(yīng)力接近0.4 MPa。梁橫向位移越大，內(nèi)部應(yīng)力值越大，梁在平衡位置時，應(yīng)力最小。因此在進(jìn)行壓電振子的設(shè)計(jì)時應(yīng)重點(diǎn)考慮減小根部粘接位置處的應(yīng)力集中，及共振時的應(yīng)力值，以防止內(nèi)應(yīng)力過大造成壓電振子的損壞。

圖4 速度、加速度、最大von misers應(yīng)力曲線及最大應(yīng)力位置圖

3 結(jié) 論

本文對簡諧電壓激勵下壓電層合懸臂梁的橫向振動進(jìn)行了分析，結(jié)論如下：

(1) 由能量法得到了等截面壓電層合懸臂梁在激振電壓下的橫向強(qiáng)迫振動微分方程，經(jīng)模態(tài)分析及諧響應(yīng)分析，將本文方法所得結(jié)果與ANSYS仿真結(jié)果對比，說明了本文得到的動力學(xué)方程的有效性。

(2) 當(dāng)激勵電壓的頻率等于壓電梁的固有頻率時，達(dá)到共振狀態(tài)，梁的橫向振幅急劇增加，橫向位移比激振電壓在相位上滯后90°。

(3) 阻尼的大小對拍的形成及持續(xù)時間有一定的影響；且阻尼對橫向位移的抑制作用非常明顯，阻尼越大，穩(wěn)態(tài)時的響應(yīng)幅值越小。

(4) 振動時最大應(yīng)力位置出現(xiàn)在靠近固定端的壓電陶瓷與基體材料的粘接處，梁橫向位移越大，應(yīng)力值越大，共振時應(yīng)力值最大。

本文所得結(jié)論為研究周期電壓激勵及隨機(jī)電壓激勵下的壓電懸臂梁的響應(yīng)問題及研究壓電振子的優(yōu)化、安全設(shè)計(jì)提供一定的理論參考。

[1] Richter H, Misawa E A, Lucca D A,et al. Modeling nonlinear behavior in a piezoelectric actuator[J]. Precision Engineering ,2001,25(2):128-137.

[2] 李鳳明，孫春春，王毅澤，等.參數(shù)激勵非線性壓電梁的振動穩(wěn)定性[J].振動工程學(xué)報，2008,21(5):441-445.

LI Feng-ming,SUN Chun-chun,WANG Yi-ze,et al. Vibration stability of the parametrically excited nonlinear piezoelectric beams[J].Journal of Vibration Engineering,2008,21(5):441-445.

[3] Gaudenzi P,Carbonaro R, Benzi E. Control of beam vibration by means of piezoelectric devices：theory and experiments[J].Composite structures,2000,50(4):373-379.

[4] 董興建，孟光.壓電懸臂梁的動力學(xué)建模與主動控制[J].振動與沖擊，2005,24(6):54-64.

DONG Xing-jian,MENG Guang. The dynamics modeling and active control of piezoelectric cantilever beam[J].Journal of Vibration and Shock,2005,24(6):54-64.

[5] Kapuria S,Yasin Y M. Active vibration control of piezoelectric laminated beams with electroded actuators and sensors using an efficient finite element involving an electric node[J].Smart Materials and Structures,2010,19(4):045019.

[6] Kumar R K,Narayanan S. Active vibration control of beams with optimal placement of piezoelectric sensor/actuator pairs[J].Smart Materials and Structures,2010,17(5):055008.

[7] 丁根芳，王建國，覃艷.自感知壓電層合梁的數(shù)值分析與數(shù)值模擬[J].工程力學(xué)，2006,23(2):131-136.

DING Gen-fang,WANG Jiang-guo,QIN Yan. Numerical analysis and simulation of piezoelectric multilayered smart beams[J].Engineering Mechanics,2006,23(2):131-136.

[8] 杜立群，顏云輝，王德俊.智能結(jié)構(gòu)梁傳遞驅(qū)動模型[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報，2000,17(2):114-116.

DU Li-qun,YAN Yun-hui,WANG De-jun. The sense-actuate model of intelligent beam structures[J].Chinese Journal of Applied Mechanics,2000,17(2):114-116.

[9] 吳義鵬，裘進(jìn)浩，季宏麗，等.智能結(jié)構(gòu)中壓電驅(qū)動器產(chǎn)生的局部應(yīng)變場分析[J].振動、測試與診斷,2011,31(6): 733-737.

WU Yi-peng,QIU Jin-hao,JI Hong-li.et al. The local strain analysis of piezoelectric actuators in Smart structures[J].Journal of Vibration,Measurement & Diagnosis,2011,31(6): 733-737.

[10] 王矜奉，蘇文斌，王春明，等.壓電振動理論及應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[11] Choi S B,Kim H K,Lim S C,et al. Position tracking control of an optical pick-up device useing piezoceramic actuator[J].Mechatronics,2001,11(6):691-705.