陳海龍，汪 偉

(軍械工程學(xué)院 一系，石家莊 050003)

振動測試對產(chǎn)品的可靠性、工作環(huán)境及機械故障診斷等均具重要參考意義，車輛、艦船、飛機等運動體的振動狀態(tài)測試備受關(guān)注。但測量任意振動下六自由度運動參數(shù)時絕對式位移傳感器存在體積大、質(zhì)量大、安裝困難、動態(tài)范圍小等缺陷難以實際應(yīng)用。普通單自由度多點測量存在安裝繁瑣、布線復(fù)雜、多傳感器間相對位置測量及同步測試?yán)щy等問題[1]。借鑒無陀螺捷聯(lián)慣性導(dǎo)航技術(shù)，將傳感器陣列測試技術(shù)用于振動環(huán)境可有效對高頻率多自由度線振動與角振動耦合效果進(jìn)行絕對測量，且成本低、反應(yīng)快、可靠性高等在工程上發(fā)展前景廣闊[2]。振動信號處理時，為獲得振動速度、位移信號需對加速度信號積分，而數(shù)值積分存在積分誤差隨時間增長迅速增大問題。減小數(shù)值積分中積分誤差途徑有兩種，即提高傳感器精度、改進(jìn)數(shù)值積分算法及分離積分信號中積分誤差。分離誤差方法常用有最小二乘回歸法、傅里葉級數(shù)逼近法、小波及小波包分解法等；但均存在模型階數(shù)、基函數(shù)不易選取或誤差分離精度難提高等問題。為此，本文分析積分誤差來源，提出基于經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(EMD)的誤差分離方法消除積分誤差。該方法為自適應(yīng)分解，無需選定模型階數(shù)、基函數(shù)，且信噪比較高[3]。

1 三軸加速度傳感器陣列方案

1.1 陣列構(gòu)型

本文所用四個三軸加速度傳感器組成陣列方案[4]見圖1。建立載體坐標(biāo)系O-XbYbZb，安裝四個三軸加速度傳感器時分別使傳感器一個敏感軸重合于坐標(biāo)軸，另兩軸垂直于該坐標(biāo)軸。傳感器A1，A2，A3，A4安裝位置至坐標(biāo)系原點O的距離分別為L1，L2，L3，L4。

1.2 振動參數(shù)求解

設(shè)A為加速度傳感器12個敏感軸所測加速度信號，R為載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸方向線加速度，ω為繞載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸角速度，θ為傳感器敏感方向；L1=L2=L3=L4=l，由運動學(xué)知，任意加速度計輸出為

(1)

圖1 三軸加速度傳感器陣列方案

表1為傳感器安裝位置及傳感器敏感方向。

表1 加速度計安裝位置及方向

運動載體六自由度運動參數(shù)可由繞載體坐標(biāo)系3坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動及沿3軸方向平動描述。將L,θ代入式(1)并完全展開可得關(guān)于載體坐標(biāo)系角速度、角加速度及線加速度等變量與12個傳感器敏感方向輸出加速度關(guān)系。

線加速度項為

(3)

式中：gx,gy,gz為3軸加速度傳感器3方向所受重力加速度。

角加速度項為

(4)

角速度平方項為

(5)

角速度乘積項為

(6)

由式(3)看出，據(jù)加速度傳感器加速度輸出可得傳感器陣列繞載體坐標(biāo)系角加速度項、線加速度項；由角加速度積分所得角速度代入姿態(tài)更新方程可得傳感器任意時刻姿態(tài)。再由姿態(tài)信息及線加速度計算獲得位置信息，進(jìn)而獲得每時刻陣列位置及姿態(tài)信息，即可獲得被測物振動信息。計算流程見圖2。

圖2 載體位置姿態(tài)計算流程

2 數(shù)值積分分析及EMD積分誤差分離方法

2.1 數(shù)值積分分析

振動測試中所得加速度為按采樣間隔Δt的一組離散值，(a(n-1),a(n))之間加速度值無法獲知。工程中一般采用平均加速度法，即取兩點間速度平均值作為t時刻加速度值，稱梯形加速度積分法。將時間函數(shù)f(t)作泰勒級數(shù)展開時f(k)(t)為k階微分系數(shù)，即

(8)

將速度v(t)按泰勒級數(shù)展開為

v(n)=v(n-1)+(Δt)a(n-1)+

(9)

(n-1)Δt～(n)Δt時刻加速度為

(10)

四階以上微分系數(shù)為0，代入式(9)得速度積分式為

(11)

同樣積分方法得位移積分式為

(12)

用加速度傳感器所得加速度信號ac包含加速度真值az(n)及測試誤差值aw(n)，即

ac(n)=az(n)+aw(n)

(13)

數(shù)值積分所得速度信號vc(n)可寫為

vc(n)=vz(n)+vw(n)

(14)

式中：vz(n)為速度真值；vw(n)為誤差值。

將式(13)、(14)代入式(11)得：

(15)

由式(12)看出，(n-1)Δt時刻積分速度計算誤差會帶入下一時刻積分速度中不斷累積增大。

2.2 數(shù)值積分所致誤差分析

測試加速度及解算所得角加速度信息中一般含隨機噪聲及儀器本身漂移誤差。零均值隨機噪聲對積分結(jié)果影響較小，信號中含常值偏移量，即

∫(a+C1)dt=v+C1t+C2

(16)

∫(v+C1t+C2)dt=S+C1at2+C2t+C3

(17)

式中：C1t+C2為速度曲線中引入的斜直線誤差信號；C1at2+C2t+C3為位移曲線中引入的二次曲線誤差信號。

2.3 經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解

作為信號處理的經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解(Empirical Mode Decomposition，EMD)方法由黃鍔博士提出，為據(jù)數(shù)據(jù)自身時間尺度特征進(jìn)行信號分解，無須預(yù)先設(shè)定任何基函數(shù)。此與建立在先驗性諧波基函數(shù)及小波基函數(shù)的傅里葉分解與小波分解具有本質(zhì)差別。EMD方法理論上可用于任何類型信號分解[5]。由經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解的固有模態(tài)分量(IMF)滿足的約束條件為：① 整個數(shù)據(jù)序列中極值點數(shù)量與過零點數(shù)量相等或至多相差1個；② 信號上任一點由局部極大值點確定的包絡(luò)線及由局部極小值點確定的包絡(luò)線均值為0，即信號關(guān)于時間軸局部對稱。

利用兩連續(xù)處理結(jié)果間標(biāo)準(zhǔn)差SD判斷②是否滿足，SD值取0.2～0.3為宜，既可保證IMF線性及穩(wěn)定性，亦可使IMF具有相應(yīng)的物理意義[6]。分解流程見圖3。

圖3 EMD分解流程

2.4 積分誤差分離

a(t)=Aejωt

(18)

式中：a(t)為加速度信號在頻率ω的傅里葉分量；A為對應(yīng)a(t)的系數(shù)。

初速度、初位移分量均為0時，對加速度分量分別進(jìn)行一、二次積分，得速度、位移信號分量為

(19)

式中：v(t)，y(t)為速度、位移信號在頻率ω的傅里葉分量。

式(19)表明，積分所得速度、位移信號頻率成分與加速度信號頻率成分一致。振動信號加速度頻率成分決定振動速度、位移信號頻率。因經(jīng)積分的加速度信號混入低頻誤差信號，通過對積分的速度、位移數(shù)據(jù)進(jìn)行EMD分解獲得各頻率段IMF分量，并對其進(jìn)行頻譜分析，判斷IMF分量是否為誤差信號分量，并分離積分誤差信號。

3 仿真分析

仿真信號采樣頻率1 Hz，采集時間10 s，加速度信號由10 Hz，17 Hz正弦信號疊加，并含有0.005 g的常值漂移量及均方差0.001的隨機誤差。仿真加速度信號及積分所得速度、位移曲線見圖4。由圖4看出，在含有較小常值漂移情況下隨時間增大積分誤差迅速增大，嚴(yán)重偏離實際結(jié)果。

對積分速度信號進(jìn)行EMD分解后所得IMF分量及殘余量res見圖5。

圖4 加速度、速度、位移曲線

圖5 積分速度及其EMD分解結(jié)果

對加速度信號及積分速度EMD分解所得IMF分量做頻譜分析，見圖6。

圖6 積分速度及IMF分量頻譜

IMF2，IMF3的主要頻率成分與加速度頻率成分一致，將除IMF2，IMF3以外的IMF分量作為速度積分誤差及分離混入的高頻隨機誤差,分離結(jié)果見圖7。分離積分誤差后的速度誤差除端點外均在10-4數(shù)量級，滿足精度要求。

圖7 處理后速度及其誤差曲線

4 實驗分析

將傳感器陣列水平置于線振動臺上進(jìn)行試驗，安裝位置見圖8。信號采集頻率1 kHz,采集時間20 s,振動臺角振動幅值1 cm，振動頻率0～25 Hz。

圖8 傳感器陣列實驗圖片及安裝示意圖

圖9為傳感器陣列測試的加速度、積分速度及位移曲線。由圖9看出，積分速度、位移曲線誤差增大較快，嚴(yán)重偏離實際結(jié)果。

圖9 測試加速度、速度、位移曲線

對積分速度進(jìn)行EMD分解，獲得9個IMF分量。進(jìn)行EMD分解時，為克服EMD端點效應(yīng)所致兩端誤差較大影響，可對速度數(shù)據(jù)進(jìn)行鏡像延拓[8]處理。分別對加速度信號及9個IMF分量作頻譜分析，頻譜見圖10。由圖10看出，加速度信號主要頻率集中在5～23 Hz，IMF分量頻譜主要頻率成分逐漸變小。

圖10 加速度及IMF分量頻譜圖

將相關(guān)系數(shù)較小、不在加速度主要頻率范圍內(nèi)的IMF4～I(xiàn)MF8及殘余量res作為新引入的積分誤差，信號分離后所得速度、位移曲線見圖11，利用EMD分解后分離低頻率段的IMF分量后可得真實的速度、位移曲線。由圖11看出，經(jīng)積分誤差分離后所得中心點線振動速度曲線符合實際振動情況。若已知被測物振動頻率范圍，可將EMD分解所得高于測試頻率范圍的IMF分量作為高頻誤差信號分離。因此將EMD分離積分誤差方法用于傳感器陣列測試可有效提高傳感器陣列測試精度，解決傳感器陣列長時間測試精度無法保證問題。

圖11 EMD分離積分誤差后速度、位移曲線

5 結(jié) 論

(1) 傳感器陣列技術(shù)較適合多維線振動、角振動同時存在的復(fù)雜振動進(jìn)行測試。利用4個三軸加速度傳感器組成的傳感器陣列可減少安裝誤差及難度?；贓MD理論提出的數(shù)據(jù)處理方法通過理論分析與實例仿真均表明可解決因積分產(chǎn)生的誤差累積問題。

(2) 本文所提基于EMD分離積分誤差的傳感器陣列振動位移測試可完成一定復(fù)雜振動測試。所提數(shù)據(jù)處理方法對測試對象在原點往復(fù)振動效果較理想，對移動目標(biāo)位移及姿態(tài)的測試情況，如何判別分離實際有效運動與積分誤差尚需研究。

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