李雨田，張宇文

(1.中船重工第七一○研究所，湖北 宜昌 443003；2．西北工業(yè)大學(xué) 航海學(xué)院，西安 710072)

常規(guī)水下航行體的流體介質(zhì)完全是水，航行體表面為全沾濕，流體介質(zhì)作用于整個(gè)航行體表面。超空泡航行體表面大部分由空泡包圍，流體介質(zhì)由水變?yōu)槠?氣體。汽/氣體密度較水密度小兩個(gè)量級(jí)，而據(jù)空泡生成機(jī)理，空泡內(nèi)壓力為常數(shù)，航行體表面所受汽/氣體壓力處處相等。超空泡航行體的力學(xué)特征使超空泡航行體流體動(dòng)力設(shè)計(jì)原理及方法完全不同于常規(guī)水下航行體。常規(guī)水下航行體流體動(dòng)力依賴于航行體外形，流體動(dòng)力設(shè)計(jì)主要為航行體外形設(shè)計(jì)。超空泡航行體流體動(dòng)力則決定于空泡生成后航行體的沾濕表面，外形設(shè)計(jì)主要為航行體沾濕表面設(shè)計(jì)。沾濕表面不僅決定于航行體外形，亦決定于空泡外形。

為此提出“超空泡航行體空泡流型”概念，將超空泡航行體流體動(dòng)力所涉航行體外形、空泡外形、航行體外形與空泡外形匹配關(guān)系統(tǒng)一為一體，用超空泡航行體空泡流型描述，以航行體空泡流型為主導(dǎo)進(jìn)行超空泡航行體流體動(dòng)力設(shè)計(jì)。由空泡自身特性出發(fā)研究與確定航行體可生成空泡流型尤其可穩(wěn)定的航行體空泡流型；再由航行體運(yùn)動(dòng)力學(xué)原理出發(fā)研究與確定航行體空泡流型可滿足航行體實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)的要求；研究航行體空泡流型與航行體外形及空泡生成系統(tǒng)的關(guān)聯(lián)性尤其定量關(guān)系，提出所需空泡流型。

因超空泡航行體作直航運(yùn)動(dòng)，需設(shè)計(jì)直航空泡流型，保證此空泡流型下超空泡與航行體沾濕面積，使空泡、航行體與周?chē)黧w維持力系平衡，以實(shí)現(xiàn)超空泡航行體穩(wěn)定直航運(yùn)動(dòng)。超空泡航行體作機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，操縱控制面提供航行體機(jī)動(dòng)法向過(guò)載，航行體機(jī)動(dòng)變向，空泡外形隨之變化，當(dāng)空泡外形與航行體外形動(dòng)態(tài)匹配到一定量值，滿足穩(wěn)態(tài)機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)所需沾濕面時(shí)動(dòng)態(tài)過(guò)程結(jié)束，轉(zhuǎn)入穩(wěn)定機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。欲實(shí)現(xiàn)超空泡航行體由直航過(guò)渡到機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)及穩(wěn)定機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，需研究過(guò)渡、機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空泡外形變化及影響變化因素，研究空泡外形與航行體外形的匹配關(guān)系。

1 超空泡機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)建模

1.1 超空泡體坐標(biāo)系

設(shè)超空泡航行體以角速度ω、回轉(zhuǎn)半徑R作機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，考慮空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)韀1-2]及空泡延遲效應(yīng)[3-5]，最終穩(wěn)態(tài)超空泡呈近似圓弧狀的“月牙形”[6-7]。建立地面坐標(biāo)系O0x0y0z0見(jiàn)圖1，坐標(biāo)原點(diǎn)O0位于回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中心，O0x0z0平面為水平面；建立航行體坐標(biāo)系Obxbybzb，坐標(biāo)原點(diǎn)Ob位于航行體浮心，Obxb軸沿航行體縱軸并指向航行體頭部；Obyb垂直于Obxb并指向上方，Obzb垂直于Obxbyb平面，正方向由右手法則確定；建立超空泡體坐標(biāo)系Orl，坐標(biāo)原點(diǎn)O位于空泡截面中心，l軸沿空泡軸向，指向空泡尾部，表征空泡軸線(中弧線)長(zhǎng)，r軸沿空泡截面徑向，表征l處空泡半徑。在超空泡體坐標(biāo)系中，基于空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)斫⒌某张萃庑喂饺赃m用，但超空泡軸線非直線，為曲線。

圖1 超空泡體坐標(biāo)系

1.2 超空泡外形數(shù)學(xué)表達(dá)式

據(jù)空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)?，空泡在超空泡體坐標(biāo)系中的截面擴(kuò)張方程為

(1)

式中：S0為起始空泡面積；t為空泡軸向擴(kuò)張時(shí)間；Δp為空泡內(nèi)外壓差；ρ為周?chē)黧w密度。

超空泡半徑為

(2)

式中：Rm為空泡最大半徑；Rn為空化器半徑；tm為空泡擴(kuò)張至最大半徑時(shí)間；η為經(jīng)驗(yàn)系數(shù)。

超空泡徑向截面外點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)在超空泡體坐標(biāo)系Orl中坐標(biāo)為

(3)

超空泡體坐標(biāo)系至地面坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣為

(4)

超空泡徑向截面外點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)在地面坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為

(5)

(6)

式(5)、(6)已完全定義出以角速度ω、半徑R作機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的超空泡在地面坐標(biāo)系中的幾何外形。

2 直航運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程超空泡外形變化

研究超空泡航行體由直航運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)入機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中空泡外形變化。在航行體轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中航行體頭部空化器隨之轉(zhuǎn)動(dòng)，迎流方向不斷改變。據(jù)空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張?jiān)砑翱张菅舆t效應(yīng)知，航行體超空泡截面擴(kuò)張規(guī)律僅依賴于所論時(shí)刻條件，空泡截面后續(xù)發(fā)展僅與該截面初生時(shí)刻條件有關(guān)，與此時(shí)刻之前或之后條件幾乎無(wú)關(guān)。因此，航行體頭部空化器在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中每時(shí)刻產(chǎn)生的新空泡截面方向不斷改變，與迎流垂直，其余空泡截面擴(kuò)張、收縮規(guī)律均僅依賴于此前的直航狀態(tài)條件。航行體由直航狀態(tài)轉(zhuǎn)入機(jī)動(dòng)后空泡由頭部起不斷變形彎曲，并向后不斷延伸，直至完全替代直航狀態(tài)的超空泡。超空泡航行體由直航運(yùn)動(dòng)過(guò)渡到機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程示意圖見(jiàn)圖2。

圖2 直航轉(zhuǎn)入機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)

超空泡外形變化過(guò)程仿真見(jiàn)圖3。圖中第一幅實(shí)線表示直航狀態(tài)空泡外形；中間各幅虛線部分表示回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中不斷形成的新空泡截面，實(shí)線部分為原直航狀態(tài)空泡；最后一幅中虛線為定常機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)穩(wěn)態(tài)超空泡。由圖3看出，隨超空泡航行體回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)開(kāi)始，回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下新空泡截面不斷產(chǎn)生并獨(dú)立擴(kuò)張，逐漸替代直航狀態(tài)部分空泡，直到直航超空泡被完全替代，回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)超空泡完全生成，形成穩(wěn)態(tài)超空泡。若超空泡航行體機(jī)動(dòng)過(guò)程中回轉(zhuǎn)角速度不斷變化，則航行體超空泡外形亦不斷變化。若以定常角速度回轉(zhuǎn)，則超空泡外形在完成由直航到機(jī)動(dòng)的過(guò)渡后空泡外形不再改變，形成回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定超空泡外形。

圖3 直航轉(zhuǎn)入機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中超空泡外形變化

3 影響機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)超空泡外形變化因素

影響超空泡外形變化因素較多，重力[8-9]、空化器攻角[10-12]影響空泡軸線上翹或下偏，空泡內(nèi)外壓擾動(dòng)[13]影響空泡外形周期性變化。針對(duì)機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，角速度及離心力為衡量機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的重要技術(shù)指標(biāo)，本文重點(diǎn)研究這其對(duì)超空泡外形變化影響。

3.1 角速度對(duì)超空泡外形影響

由于超空泡航行體跟蹤目標(biāo)主要在水平面內(nèi)進(jìn)行，常以水平面回轉(zhuǎn)角速度衡量超空泡航行體的機(jī)動(dòng)性。當(dāng)超空泡航行體航速v一定時(shí)，角速度與回轉(zhuǎn)半徑關(guān)系為ωy=-v/R。

為對(duì)航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)超空泡外形變化有直觀、量級(jí)概念，航行體空化器直徑為100 mm、空化數(shù)σ=0.023 8、航速v=100 m/s、角速度分別為ωy=0.5, 1, 1.5, 2 rad/s的機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)空泡外形仿真見(jiàn)圖4。由圖4看出，機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中超空泡幾何外形逐步由直線對(duì)稱外形逐步被壓彎呈 “月牙形”，其整體空泡外形關(guān)于空泡中弧線對(duì)稱；空泡長(zhǎng)度(中弧線長(zhǎng)度)及其截面最大半徑基本不隨角速度變化；隨角速度增大(回轉(zhuǎn)半徑減小)空泡軸線沿回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)圓周逐漸由直線變?yōu)榍€，空泡最大彎度及最大相對(duì)彎度逐漸增大。

圖4 不同角速度的超空泡外形

圖5 不同航速的超空泡外形

角速度ωy=2 rad/s，航速分別為v=100, 110, 120 m/s的空泡外形仿真見(jiàn)圖5。由圖5看出，航速對(duì)空泡尺度影響較大，空泡最大直徑、中弧線長(zhǎng)度、弦長(zhǎng)、最大彎度均隨航速的增大而最大。故在研究超空泡航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，為保證空泡外形的穩(wěn)定性通常設(shè)航行體航速不變。

3.2 離心力對(duì)空泡外形影響

超空泡航行體作機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)見(jiàn)圖6。由圖6看出，空泡內(nèi)表面(長(zhǎng)虛線)與外表面(短虛線)的點(diǎn)因回轉(zhuǎn)半徑及線速度不同，內(nèi)表面點(diǎn)速度小，外表面點(diǎn)速度大。據(jù)伯努利方程，空泡內(nèi)表面壓力大，外表面壓力小，內(nèi)外壓力差形成沿回轉(zhuǎn)半徑方向合力(離心力)，從而對(duì)空泡外形產(chǎn)生影響；此外，空泡內(nèi)氣體具有一定質(zhì)量，在回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中會(huì)產(chǎn)生慣性力，方向沿回轉(zhuǎn)半徑方向，對(duì)空泡外形亦產(chǎn)生一定影響。

圖6 離心力對(duì)超空泡變形分析

(7)

(8)

沿l軸積分,即

(9)

式中：rH(l)為空泡中弧線的移量；rk(l)為l處空泡截面半徑。

為積分式(9)，需獲得離心力Fl表達(dá)式。Fl由兩部分組成，即由空泡內(nèi)、外表面壓力差形成的離心力Flp及由空泡質(zhì)量產(chǎn)生的慣性力Flm。先計(jì)算Flp。為此在rk(l)截面建立局部坐標(biāo)系oξη(圖6)，oξ軸垂直于航行體回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)平面，oη軸沿航行體回轉(zhuǎn)半徑方向，指向外側(cè)。將空泡表面分為內(nèi)、外側(cè)，oξ軸之上為外側(cè)。空泡外、內(nèi)側(cè)表面點(diǎn)的oξη坐標(biāo)系中坐標(biāo)為

(10)

空泡外、內(nèi)側(cè)表面點(diǎn)至航行體回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)中心距離LRw，LRn分別為

(11)

空泡外、內(nèi)側(cè)表面點(diǎn)速度vkw，vkn分別為

vkw=ωLRw,vkn=ωLRn

(12)

據(jù)伯努利方程，空泡外表面壓力pkw及內(nèi)表面壓力pkn間關(guān)系為

(13)

內(nèi)外表面壓力差Δpk為

2ρω2Rrk(l)sinθ

(14)

沿ξ，η方向壓力分量為

(15)

離心力可通過(guò)單位長(zhǎng)度空泡表面壓力積分獲得。沿ξ方向壓力左、右側(cè)表面對(duì)應(yīng)點(diǎn)大小相等方向相反，沿表面積分合力為零。沿η方向壓力積分即得空泡內(nèi)、外表面壓力差形成的離心力。

ρω2RVk(l)

(16)

式中：Vk為半徑rk(l)的單位長(zhǎng)度空泡體積。

空泡質(zhì)量形成的單位長(zhǎng)度空泡離心力Frm為單位長(zhǎng)度空泡質(zhì)量的慣性力，即

Flm=ρqVk(l)ω2R

(17)

式中：ρq為空泡內(nèi)氣體密度。

總離心力為式(16)與式(17)之和，即

Frl=ρω2RVk(l)+ρqω2RVk(l)=

(ρ+ρq)ω2RVk(l)

(18)

將式(18)代入式(9)，得回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)離心力所致超空泡中弧線外移量計(jì)算式為

(19)

空化器直徑100 mm、空化數(shù)σ=0.023 8、航速v=100 m/s、角速度分別為ωy=0.5、1、1.5、2 rad/s條件時(shí)離心力對(duì)超空泡外形影響(實(shí)線為原始空泡外形，虛線為考慮離心力影響下空泡外形)見(jiàn)圖7。由圖7看出，超空泡航行體機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)離心力使空泡中弧線沿徑向向外側(cè)偏移，偏移量由頭部至尾部逐漸增大，在尾端達(dá)到最大值，具有使“月牙形”回轉(zhuǎn)超空泡拉直作用。離心力所致中弧線變形量隨回轉(zhuǎn)角速度增大而增大，與回轉(zhuǎn)角速度成正比的線性關(guān)系。

圖7 離心力對(duì)超空泡外形影響

由離心力引發(fā)的空泡軸線偏移量沿空泡軸向變化值見(jiàn)圖8。由圖8看出，由離心力引發(fā)的空泡軸線偏移量沿空化器向航行體尾部逐漸增大，最大值約0.4 m，該偏移量與空泡半徑值為同一數(shù)量級(jí)，故離心力對(duì)空泡外形影響較大，不可忽略。

圖8 離心力引發(fā)的空泡軸線偏移

4 給定空泡流型下超空泡航行體機(jī)動(dòng)能力評(píng)估

4.1 機(jī)動(dòng)能力評(píng)估方法

航行體機(jī)動(dòng)能力為綜合性指標(biāo)，涉及諸多因素。此處針對(duì)超空泡變形，采用對(duì)機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)造成的空泡變形對(duì)給定外形航行體機(jī)動(dòng)能力影響作初步評(píng)估。

(1) 設(shè)超空泡航行體航速為100 m/s。

(2) 分別考察三種直航初始空泡流型：① 尾舵展長(zhǎng)一半穿刺主體空泡的對(duì)稱空泡流型；② 空泡閉合在尾部的對(duì)稱空泡流型；③ 空泡閉合在尾舵根部前緣的對(duì)稱空泡流型。

(3) 設(shè)航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)可能許可的三種空泡流型作為評(píng)判機(jī)動(dòng)能力的空泡變形臨界點(diǎn)：① 空泡閉合在尾部閉合的非對(duì)稱空泡流型(航行體尾部閉合之前殼體無(wú)沾濕面)；② 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對(duì)稱空泡流型(航行體尾舵根部前緣之前殼體無(wú)沾濕面)；③ 空泡閉合在距尾部閉合三分之一圓柱段長(zhǎng)度處非對(duì)稱空泡流型(航行體距尾部閉合三分之一圓柱段長(zhǎng)度之前殼體無(wú)沾濕面)。

(4) 設(shè)超空泡航行體自某時(shí)刻起由水平直航狀態(tài)開(kāi)始做機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，保持100 m/s線速度不變，用仿真計(jì)算獲得航行體不同角速度回轉(zhuǎn)時(shí)的空泡外形。

(5) 對(duì)航行體回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的空泡外形進(jìn)行離心力、重力、空化器攻角等影響因素修正。

(6) 以臨界回轉(zhuǎn)角速度為航行體機(jī)動(dòng)能力指標(biāo)利用航行體回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)修正后空泡外形，據(jù)(3)中空泡變形臨界點(diǎn)評(píng)估航行體機(jī)動(dòng)能力。

4.2 評(píng)估機(jī)動(dòng)能力的三種初始直航狀態(tài)空泡流型

據(jù)仿真計(jì)算結(jié)果，對(duì)給定的航行體外形設(shè)定三種初始直航對(duì)稱空泡流型：尾舵半穿刺空泡流型、尾部閉合空泡流型及尾舵根部前緣閉合空泡流型。三種空泡流型對(duì)應(yīng)的空化數(shù)分別為σ=0.016 5、σ=0.021 17及σ=0.021 65。三種初始直航空泡流型見(jiàn)圖9。

圖9 三種初始直航對(duì)稱空泡流型

4.3 空泡、航行體外形匹配對(duì)航行體機(jī)動(dòng)能力判定

空泡外形對(duì)超空泡航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)能力影響實(shí)質(zhì)為：由機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)所需法向過(guò)載推算出航行體與超空泡間作用力，由作用力推算出航行體與空泡相對(duì)位置關(guān)系，由位置關(guān)系推算出航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)空泡最大變形量，以空泡最大變形量為約束條件衡量航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)能力。故以機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)回轉(zhuǎn)角速度為判定機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)能力大小判據(jù)，通過(guò)仿真計(jì)算獲得三種初始空泡流型下超空泡航行體機(jī)動(dòng)能力的臨界角速度值。

(1) 尾舵半穿刺空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航尾舵半穿刺空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對(duì)航行體空泡外形進(jìn)行仿真計(jì)算見(jiàn)圖10，以許可的三種空泡流型為判據(jù)，獲得對(duì)應(yīng)的三個(gè)臨界回轉(zhuǎn)角速度：① 空泡閉合在圓柱段尾端面對(duì)稱空泡流型：ωj1=1.23 rad/s；② 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對(duì)稱空泡流型：ωj2=1.38 rad/s；③ 空泡閉合在距圓柱段尾端面三分之一圓柱段長(zhǎng)度處的非對(duì)稱空泡流型：ωj3=2.01 rad/s。

(2) 尾部閉合空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航運(yùn)動(dòng)空泡閉合在尾部閉合的空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對(duì)航行體空泡外形進(jìn)行仿真計(jì)算見(jiàn)圖11，以許可的兩種空泡流型為判據(jù)，獲得對(duì)應(yīng)的兩臨界回轉(zhuǎn)角速度及最小回轉(zhuǎn)半徑：① 空泡閉合在尾舵根部前緣的非對(duì)稱空泡流型ωj1=0.38 rad/s；② 空泡閉合在距圓柱段尾端面三分之一圓柱段長(zhǎng)度處的非對(duì)稱空泡流型ωj2=1.14 rad/s。

(3) 尾舵根部前緣空泡流型下臨界回轉(zhuǎn)角速度。以航行體直航空泡閉合在尾舵根部前緣的空泡流型為初始狀態(tài)，在不同回轉(zhuǎn)角速度下對(duì)航行體空泡外形進(jìn)行仿真計(jì)算見(jiàn)圖12，以許可的一種空泡流型為判據(jù)，獲得對(duì)應(yīng)的臨界回轉(zhuǎn)角速度及最小回轉(zhuǎn)半徑：①空泡閉合在距尾部閉合三分之一圓柱段長(zhǎng)度處的非對(duì)稱空泡流型ωj1=0.81 rad/s。

圖10 尾舵半穿刺空泡流型的三個(gè)臨界角速度

5 結(jié) 論

(1) 本文通過(guò)研究空泡外形在超空泡航行體由直航運(yùn)動(dòng)到機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的變化，用仿真方法描述空泡動(dòng)態(tài)變化過(guò)程；考慮空泡外形在機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)中變化影響因素，給出影響穩(wěn)態(tài)機(jī)動(dòng)回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)空泡外形變化關(guān)鍵因素；通過(guò)計(jì)算分析獲得角速度及離心力對(duì)空泡外形變化影響規(guī)律。在給定初始直航空泡流型條件下，通過(guò)給定評(píng)估航行體機(jī)動(dòng)能力方法計(jì)算獲得三種初始直航空泡流型下航行體臨界回轉(zhuǎn)角速度值。

(2) 本文僅通過(guò)理論分析及仿真計(jì)算方法對(duì)空泡外形對(duì)超空泡航行體機(jī)動(dòng)運(yùn)動(dòng)能力影響進(jìn)行的初步研究，所得結(jié)論尚需結(jié)合試驗(yàn)驗(yàn)證。

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