劉煜，張倩茜，呂衛(wèi)東

(1.河南省電力公司電力科學研究院，河南鄭州450052;2.河南科技大學電子信息工程學院，河南洛陽471023)

幾類含5次強非線性項數(shù)理方程的尖峰孤子解

劉煜1，張倩茜2，呂衛(wèi)東2

(1.河南省電力公司電力科學研究院，河南鄭州450052;2.河南科技大學電子信息工程學院，河南洛陽471023)

運用積分法和待定系數(shù)法求出含5次強非線性項的Lienard方程的幾類尖峰孤子解，并據(jù)此求出力學中具5次非線性項的波動方程、導數(shù)非線性Schr?dinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解.該文方法也適用于求Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、廣義PC方程、廣義導數(shù)非線性Schr?dinger方程及含有3次非線性項波動方程的尖峰孤子解.

尖峰孤子解;Lienard方程;非線性波方程;非線性Schr?dinger方程;Kundu方程

許多科學領(lǐng)域內(nèi)的復雜現(xiàn)象都可用非線性數(shù)理方程來描述，求出并研究這些方程各種形式的精確解對于深入認識方程所描述的物理現(xiàn)象、定性分析和定量計算都具有重要的理論意義和應用價值.在眾多的非線性數(shù)理方程中，一大類含有5次強非線性項的數(shù)理方程，如:Lienard方程［1］、力學中具5次非線性項的波動方程［1］、導數(shù)非線性Schr?dinger方程［2］、Kundu方程［3］、Ablowitz方程［4］、Gerdjikov－Ivanov方程［5］和廣義PC方程［1］，因為它們有強烈的物理背景而受研究者的持續(xù)關(guān)注.目前已在這些方程中得到了鐘狀孤波解、扭狀孤波解和三角函數(shù)周期波解［1，6－14］，但是尚未見在這些方程中求得尖峰孤子解的報道.尖峰孤子解是Camassa等［15］在求解一個新的淺水波方程——Camassa－Holm方程時，得到的形如u=c e－|ξ|(ξ=x－ct)的一種新型孤立波解.該解的特點是孤立波曲線不光滑，在波峰處存在一個尖點，尖點的一階導數(shù)不連續(xù)，因此這種解被稱為“尖峰孤子解”或“孤立尖波解”.此種解的發(fā)現(xiàn)豐富了孤立波解的類型，拓展了人們對孤立波的認識.目前，相關(guān)作者已在許多非線性波動方程中得到了多種形式的尖峰孤子解［16－29］.

作者對上述含有5次強非線性項的數(shù)理方程進行研究，求得了這些方程的幾類尖峰孤子解，其中包括一類無理函數(shù)型的尖峰孤子解.該文闡述了這一類方程尖峰孤子解的求解過程，給出了力學中具5次強非線性項的波動方程、導數(shù)非線性Schr?dinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解的具體結(jié)果，并通過數(shù)值模擬給出了解的圖像.

1 求解方法

力學中具5次強非線性項的波動方程、導數(shù)非線性Schr?dinger方程和Kundu方程的一般形式分別為

其中:k，p，q，s，c2，c4，c5及α，β，γ均為非零實常數(shù).

通過適當變換，方程(1)～(3)均可化為含有5次強非線性項的Lienard方程

的形式.因此，作者首先求出Lienard方程(4)的幾類尖峰孤子解，然后由Lienard方程(4)的尖峰孤子解得到方程(1)～(3)的尖峰孤子解.

1.1 積分法求解

將方程(4)改寫為

在式(5)兩邊同乘d u后積分可得

其中:c為積分常數(shù).對式(6)開方，得

取積分常數(shù)c=0，并令y=u2，對式(7)分離變量，得

通過適當變換，式(8)是可積分的，積分求解分以下2種情形:

(1)當3m2－16nl＜0時，對式(8)積分，得

其中:ξ0為積分常數(shù).由式(9)可得Lienard方程(4)的一類尖峰孤子解為

(2)當3m2－16nl=0時，對式(8)積分，得

其中:ξ0為積分常數(shù).由式(11)可得Lienard方程(4)的又一類尖峰孤子解為

圖1、2分別為由式(10)、(12)確定的尖峰孤子解的圖形，在ξ=0時，曲線有一尖點.

圖1 式(10)確定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解圖形(l=－1，m=1，n=3/8，ξ0=0)Fig.1 Graph of peakon solution(l=－1，m=1，n= 3/8，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(10)

圖2 式(12)確定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解圖形(l=－1，m=1/5，ξ0=0)Fig.2 Graph of peakon solution(l=－1，m=1/5，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(12)

1.2 待定系數(shù)法求解

以下利用待定系數(shù)法求Lienard方程(4)的尖峰孤子解.求解的基本步驟為［26］:首先構(gòu)造具有尖峰孤子解特點的擬解

其中:b0，b1，…，bn為待定常數(shù).該擬解在ξ=0時應滿足

其次，分別在ξ≥0和ξ≤0兩種條件下求出擬解u=f(|ξ|，b0，b1，…，bn)的各階導數(shù)，代入方程(4)，整理化簡.最后，解系數(shù)方程組，確定待定常數(shù)b0，b1，…，bn的具體形式.若ξ≥0和ξ≤0兩種條件下能夠得出形式完全相同的待定常數(shù)，則方程(4)存在形如式(13)的尖峰孤子解.

(1)假設Lienard方程(4)有如下形式的尖峰孤子解

其中:b0，b1和b2為待定常數(shù).解式(15)，在ξ=0時有，此解可以滿足式(14).

當ξ≥0時，把式(15)代入Lienard方程(4)，并注意到enb1ξ(n=1，2，3)等項是線性無關(guān)的，化簡后令它們的系數(shù)為零，得系數(shù)方程組

解該方程組，得待定常數(shù)

由式(17)可知，當常數(shù)l，m，n滿足3m2－16nl=0時，b2有非零解，可取不為零的任意常數(shù).

當ξ≤0時，比照ξ≥0時求待定常數(shù)的方法，求出的待定常數(shù)b0，b1，b2與式(17)完全相同.因此，Lienard方程(4)存在形如式(15)的尖峰孤子解.將式(17)中b0和b1(取b1=+2代入式(15)，可得Lienard方程(4)的一類尖峰孤子解

因b2可取不為零的任意常數(shù)，故由式(18)可得任意多組解.取b2=，則式(18)可化為式(12).因此，式(18)包含了式(12)，后者只是前者的一個特例.在式(18)中，取b2=1，利用關(guān)系式，式(18)可化為

式(18)確定的尖峰孤子解的圖形與圖2類似.

(2)設Lienard方程(4)還有如下形式的精確解

將式(20)代入Lienard方程(4)后化簡，并注意到(ξ+ξ0)，(ξ+ξ0)3和(ξ+ξ0)5是線性無關(guān)的，分別令它們的系數(shù)為零，得系數(shù)方程組

解該方程組，當常數(shù)l，m，n滿足m2－4nl=0時，b0和b1分別為

將式(22)代入式(20)，可得Lienard方程(4)的一類無理函數(shù)型精確解

圖3是當l＞0時由式(23)確定的解的圖形.由圖3可見，該解的曲線在波峰處有一個尖點，尖點的一階導數(shù)不連續(xù).因此，式(23)也是Lienard方程(4)的一個尖峰孤子解.以往得到的尖峰孤子解的形式只有u(ξ)=f(e－|ξ|)或雙曲函數(shù)型，而得到有理或無理函數(shù)型(如(23)式)的尖峰孤子解的報道尚未見到.

圖3 式(23)確定的Lienard方程(4)的尖峰孤子解圖形(n=1，m=－2，l=1，ξ0=0)Fig.3 G raph of peakon solution(n=1，m=－2，l=1，ξ0=0)to Lienard Eq.(4)by Eq.(23)

2 幾個數(shù)理方程的尖峰孤子解

利用前面得到的Lienard方程(4)的尖峰孤子解的結(jié)果，具體求出力學中具5次強非線性項的波動方程、導數(shù)非線性Schr?dinger方程和Kundu方程的尖峰孤子解.

2.1 力學中具5次強非線性項的波動方程的尖峰孤子解

考察力學中具5次強非線性項的波動方程(1)，設該方程有行波解u(x，t)=u(x－vt)=u(ξ)，代入方程(1)得

(1)當3q2－16sp＜0時，方程(24)有尖峰孤子解

(2)當3q2－16sp=0時，方程(24)有尖峰孤子解

其中:b2可取不為零的任意常數(shù).

(3)當q2－4sp=0時，方程(24)有無理函數(shù)型尖峰孤子解

以上3個解的圖形與圖1～3類似.

2.2 導數(shù)非線性Schr?dinger方程的尖峰孤子解

考察導數(shù)非線性Schr?dinger方程(2)，設該方程有如下形式的解［9］

將式(28)代入方程(2)，并使虛部和實部分別等于零，可得

其中:A，B為待定非零常數(shù).

將式(31)代入式(29)，化簡后令常數(shù)項和a2(ε)項的系數(shù)為零，得A，B需滿足的系數(shù)方程組

解該方程組得

則

將式(34)代入式(30)，整理得

其中:b2可取不為零的任意常數(shù).

以上3個解中的φ(ξ)由式(34)確定，解的圖形與圖1～3類似.

2.3 Kundu方程的尖峰孤子解

設Kundu方程(3)有解形如

將式(39)代入方程(3)，并使實部和虛部分別等于零，由文獻［8］的結(jié)果可得

其中:b2可取不為零的任意常數(shù).

以上3個解中的φ(ξ)由文獻［8］的式(19)確定，解的圖形與圖1～3類似.

除了以上3個方程之外，利用該文方法，還求出了Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、廣義PC方程和廣義導數(shù)非線性Schr?dinger方程［6］的尖峰孤子解.限于篇幅，該文不一一給出結(jié)果.

3 結(jié)束語

求出了Lienard方程、力學中具5次非線性項的波動方程、導數(shù)非線性Schr?dinger方程和Kundu方程的多個尖峰孤子解，這些解進一步豐富了這幾個方程精確解的結(jié)果，有助于對方程所描述的物理現(xiàn)象的認識和研究.該文方法也適用于求Ablowitz方程、Gerdjikov－Ivanov方程、廣義PC方程和廣義導數(shù)非線性Schr?dinger方程的尖峰孤子解.此外，該文方法還適用于求含有3次非線性項的波動方程utt－kuxx+lu+mu2+nu3=0的尖峰孤子解，有關(guān)結(jié)果將另文給出.

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(責任編輯 鄭小虎)

Peakon solutions for several equations ofmathematical physics w ith fifth－order nonlinear term

LIU Yu1，ZHANG Qian－qian2，LVWei－dong2
(1.Electric Power Research Institute，Henan Electric Power Company，Zhengzhou 450052，China; 2.College of Electronics and Information Engineering，Henan University of Science and Technology，Luoyang 471023，China)

Several kinds of peakon solutions for Lienard equation were obtained by means of the integration and the undetermined coefficientmethod，based on which the peakon solutions for wave equation with fifth－order nonlinear term，derivative nonlinear Schr?dinger equation and Kundu equation were obtained.The method used in this paper could also be used for solving many other nonlinear equations such as Ablowitz equation，Gerdjikov－Ivanov equation，generalized PC equation，generalized derivative nonlinear Schr?dinger equation and wave equation with third－order nonlinear term.

peakon solutions;Lienard equation;nonlinear wave equation;nonlinear Schr?dinger equation;Kundu equation

O411.1

A

1000－2162(2014)04－0037－08

10.3969/j.issn.1000－2162.2014.04.007

2013－10－07

河南省電力公司電力科學研究院科研基金資助項目

劉煜(1957—)，男，山東青島人，河南省電力公司電力科學研究院高級工程師.