“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(xué)(226100)董書生

一、油膜法實(shí)驗(yàn)中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實(shí)驗(yàn)中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標(biāo)紙上，其形狀如圖1所示，坐標(biāo)中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實(shí)驗(yàn)采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計(jì)算油膜面積時(shí)，油膜所占的小方格，小于半個(gè)舍去.最后根據(jù)1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數(shù)量級(jí)為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數(shù)量級(jí)是一致的.除了一些高分子有機(jī)物之外，一般分子直徑的數(shù)量級(jí)約為10-10m.10-10m是一個(gè)極小的數(shù)，

(1)數(shù)輪廓包圍方格約58個(gè).則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學(xué)v-t圖中的“面積”為位移

例2總質(zhì)量為80 kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500 m的直升機(jī)上跳下,經(jīng)過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據(jù)圖象估算14 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)下落的高度：即每格2×2=4 m，共計(jì)40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實(shí)圖象中的“面積”應(yīng)用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中都會(huì)涉及到.下面我們就分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中分別來探究.

三、電學(xué)中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質(zhì)量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個(gè)裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8 T的勻強(qiáng)磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時(shí)間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框?qū)Ь€截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時(shí)間變化的表達(dá)式；(3)已知在這5 s內(nèi)力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據(jù)q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時(shí)間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據(jù)I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應(yīng)電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時(shí)間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時(shí)，線框從磁場中拉出時(shí)的速度v5=at=1 m/s,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現(xiàn)在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內(nèi)通過線框?qū)Ь€截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現(xiàn)在I-t圖中電流隨時(shí)間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學(xué)中解決電學(xué)量非線性變化時(shí)提供了一個(gè)求解的方法.

四、熱學(xué)p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質(zhì)量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經(jīng)過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能

B．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)C時(shí)的內(nèi)能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對(duì)外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對(duì)外界所做的功

圖10解析如圖10在A點(diǎn)pAVA=1.4×1=1.4，在B點(diǎn)pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對(duì)外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對(duì).對(duì)于D選項(xiàng)可以用面積來表示對(duì)外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對(duì)外做功比從C到B做功多，故D錯(cuò).

通過本題的探究，我們發(fā)現(xiàn)在P-V圖中壓強(qiáng)隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對(duì)外做功的多少，這在熱學(xué)中解決壓強(qiáng)非線性變化下物體對(duì)外做功提供了一個(gè)求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中均有體現(xiàn)， 尤其對(duì)題目中涉及某個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量非線性變化時(shí)，可以采用類比的思想使物體的復(fù)雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)

“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(xué)(226100)董書生

一、油膜法實(shí)驗(yàn)中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實(shí)驗(yàn)中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標(biāo)紙上，其形狀如圖1所示，坐標(biāo)中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實(shí)驗(yàn)采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計(jì)算油膜面積時(shí)，油膜所占的小方格，小于半個(gè)舍去.最后根據(jù)1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數(shù)量級(jí)為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數(shù)量級(jí)是一致的.除了一些高分子有機(jī)物之外，一般分子直徑的數(shù)量級(jí)約為10-10m.10-10m是一個(gè)極小的數(shù)，

(1)數(shù)輪廓包圍方格約58個(gè).則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學(xué)v-t圖中的“面積”為位移

例2總質(zhì)量為80 kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500 m的直升機(jī)上跳下,經(jīng)過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據(jù)圖象估算14 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)下落的高度：即每格2×2=4 m，共計(jì)40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實(shí)圖象中的“面積”應(yīng)用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中都會(huì)涉及到.下面我們就分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中分別來探究.

三、電學(xué)中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質(zhì)量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個(gè)裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8 T的勻強(qiáng)磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時(shí)間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框?qū)Ь€截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時(shí)間變化的表達(dá)式；(3)已知在這5 s內(nèi)力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據(jù)q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時(shí)間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據(jù)I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應(yīng)電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時(shí)間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時(shí)，線框從磁場中拉出時(shí)的速度v5=at=1 m/s,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現(xiàn)在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內(nèi)通過線框?qū)Ь€截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現(xiàn)在I-t圖中電流隨時(shí)間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學(xué)中解決電學(xué)量非線性變化時(shí)提供了一個(gè)求解的方法.

四、熱學(xué)p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質(zhì)量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經(jīng)過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能

B．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)C時(shí)的內(nèi)能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對(duì)外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對(duì)外界所做的功

圖10解析如圖10在A點(diǎn)pAVA=1.4×1=1.4，在B點(diǎn)pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對(duì)外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對(duì).對(duì)于D選項(xiàng)可以用面積來表示對(duì)外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對(duì)外做功比從C到B做功多，故D錯(cuò).

通過本題的探究，我們發(fā)現(xiàn)在P-V圖中壓強(qiáng)隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對(duì)外做功的多少，這在熱學(xué)中解決壓強(qiáng)非線性變化下物體對(duì)外做功提供了一個(gè)求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中均有體現(xiàn)， 尤其對(duì)題目中涉及某個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量非線性變化時(shí)，可以采用類比的思想使物體的復(fù)雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)

“面積”不一定是面積

江蘇省海門市冠今中學(xué)(226100)董書生

一、油膜法實(shí)驗(yàn)中的“面積”就是面積

圖1例1在做“用油膜法估測分子的大小”實(shí)驗(yàn)中，油酸酒精溶液的濃度為每104 mL溶液中有純油酸6 mL.用注射器測得1 mL上述溶液中有液滴50滴.把1滴該溶液滴入盛水的淺盤里，待水面穩(wěn)定后，將玻璃板放在淺盤上，在玻璃板上描出油膜的輪廓，隨后把玻璃板放在坐標(biāo)紙上，其形狀如圖1所示，坐標(biāo)中正方形小方格的邊長為20 mm.求：(1)油酸膜的面積是多少?(2)每一滴油酸酒精溶液中含有純油酸的體積是多少?(3)根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估測出油酸分子的直徑是多少?

解析本實(shí)驗(yàn)采用使油酸在水面上形成一層單分子油膜的方法，估測分子的大小.如果油酸分子可以大致看做球形，油膜的厚度就是分子的直徑.在計(jì)算油膜面積時(shí)，油膜所占的小方格，小于半個(gè)舍去.最后根據(jù)1滴油酸的體積V和油膜面積S就可以算出油膜的厚度(D=VS)，即油酸分子的尺寸.其線度的數(shù)量級(jí)為10-10m.我們可以用不同的方法估測分子的大小.用不同的方法測出的分子大小并不完全相同，但是數(shù)量級(jí)是一致的.除了一些高分子有機(jī)物之外，一般分子直徑的數(shù)量級(jí)約為10-10m.10-10m是一個(gè)極小的數(shù)，

(1)數(shù)輪廓包圍方格約58個(gè).則油酸膜的面積S＝58×(2×10-2)2m2＝2.32×10-2 m2.(2)每滴溶液中含純油酸的體積V＝150×6104mL＝1.2×10-5 mL.(3)油酸分子直徑d＝VS=1.2×10-5×10-62.32×10-2m＝5×10-10 m.

二、力學(xué)v-t圖中的“面積”為位移

例2總質(zhì)量為80 kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500 m的直升機(jī)上跳下,經(jīng)過2 s拉開繩索開啟降落傘,如圖2所示是跳傘過程中的v-t圖象,試根據(jù)圖象估算14 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度 (g取10 m/s2)

圖2圖3解析由v-t圖中可知，運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)速度是非線性變化，我們只能通過由面積估算得出運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)下落的高度：即每格2×2=4 m，共計(jì)40×4=160 m.（如圖3）

通過該題，我們知道了在v-t圖象中，速度圖象與t軸所夾的面積表示位移大小.其實(shí)圖象中的“面積”應(yīng)用很廣泛，不僅限于v-t圖中，在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中都會(huì)涉及到.下面我們就分別從運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中分別來探究.

三、電學(xué)中I-t圖中“面積”為電量

例3如圖4甲所示，一邊長L=2.5 m、質(zhì)量m=0.5 kg的正方形金屬線框，放在光滑絕緣的水平面上，整個(gè)裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.8 T的勻強(qiáng)磁場中，它的一邊與磁場的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開始向左運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過5 s線框被拉出磁場.測得金屬線框中的電流隨時(shí)間變化的圖象如圖4乙所示，在金屬線框被拉出的過程中.(1)求通過線框?qū)Ь€截面的電量及線框的電阻；(2)寫出水平力F隨時(shí)間變化的表達(dá)式；(3)已知在這5 s內(nèi)力F做功1.92 J，那么在此過程中，線框產(chǎn)生的焦耳熱是多少？

圖4圖5解析(1)法一：根據(jù)q=It，由I-t圖象得：q=1.25 C.法二：由I-t圖象中電流與時(shí)間所夾面積得：q=(0.5×5)/2=1.25(C)（如圖5）.又根據(jù)I＝ER＝ΔφRt=BL2Rt,得R=4Ω.(2)由電流圖象可知，感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的規(guī)律：I＝0.1t.由感應(yīng)電流I=BLvR，可得金屬框的速度隨時(shí)間也是線性變化的，v=RIBL=0.2t.線框做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度a=0.2 m/s2.線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)， F-FA=ma,得力F＝（0.2 t＋0.1）N.⑶ t＝5 s時(shí)，線框從磁場中拉出時(shí)的速度v5=at=1 m/s,線框中產(chǎn)生的焦耳熱Q=W-12mv25=1.67J.

我們發(fā)現(xiàn)在線性變化下，平均值法和面積法都很適用，如果非線性變化下怎么辦？如圖6所示，該如何求5 s內(nèi)通過線框?qū)Ь€截面的電量？

圖6圖7解析只能用面積法，q=77×0.05×0.5=1.925C.（如圖中陰影部分）

通過本題探究，我們發(fā)現(xiàn)在I-t圖中電流隨時(shí)間的變化圖象與 t軸所夾的面積表示電量的增加.這在電學(xué)中解決電學(xué)量非線性變化時(shí)提供了一個(gè)求解的方法.

四、熱學(xué)p-V圖中“面積”為做功

例4如圖8所示為一定質(zhì)量的某種理想氣體由狀態(tài) A 經(jīng)過狀態(tài) C 變?yōu)闋顟B(tài) B 的圖象，下列說法正確的是 （ ）.

圖8圖9A．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能

B．該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)C時(shí)的內(nèi)能

C．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程

D．該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對(duì)外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對(duì)外界所做的功

圖10解析如圖10在A點(diǎn)pAVA=1.4×1=1.4，在B點(diǎn)pBVB=0.4×3.5=1.4, pV/T=恒量，故TA=TB ，UA=UB，選A排除B.從A到B，一直對(duì)外做功，由ΔU=W+Q, 可知，狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過程.故C對(duì).對(duì)于D選項(xiàng)可以用面積來表示對(duì)外做功的多少，從A到C面積約占5格（如圖9）.從C到B面積約占10格（如圖10）,不難看出從A到C對(duì)外做功比從C到B做功多，故D錯(cuò).

通過本題的探究，我們發(fā)現(xiàn)在P-V圖中壓強(qiáng)隨體積的變化圖象與體積所夾的面積表示對(duì)外做功的多少，這在熱學(xué)中解決壓強(qiáng)非線性變化下物體對(duì)外做功提供了一個(gè)求解的方法.

綜上所述，圖象中的“面積”在運(yùn)動(dòng)學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中均有體現(xiàn)， 尤其對(duì)題目中涉及某個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量非線性變化時(shí)，可以采用類比的思想使物體的復(fù)雜過程變得簡單明了.這種思維方法在物理解題過程中非常重要的.(收稿日期：2014-01-01)