電場中有關(guān)電勢重要結(jié)論的推導(dǎo)及其應(yīng)用

河南省鞏義市鞏義中學(xué)(451200)寧鵬程

在高考物理試題中電學(xué)內(nèi)容和力學(xué)內(nèi)容大約各占50分，電場知識在電學(xué)中的地位也非常重要，下面我們圍繞電場中有關(guān)電勢的問題進行深入探討，并總結(jié)了四個重要結(jié)論，以期對同學(xué)們有所啟發(fā)和幫助.

圖1重要結(jié)論1：如圖1所示，在勻強電場中，A、B和C在同一條直線上，C為AB的中點（即：AC=CB）,那么C點的電勢等于A點的電勢和B點的電勢的和的一半.即：若A、B和C三點的電勢分別為φA、φB和φC，則：φC=φA+φB2.

證明如圖1所示，設(shè)AB和電場強度的方向的夾角為θ，把一個帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到B.設(shè)AC=CB=L.

則：從A移到C,電場力做功：

WAC=qELcosθ=qUAC=q(φA-φC)①

從C移到B,電場力做功：

WCB=qELcosθ=qUCB=q(φC-φB)②

由①②得：φA-φC=φC-φB

所以：φC=φA+φB2

圖2重要結(jié)論2：如圖2所示，在勻強電場中，A、B、C、D和M在同一條直線上，AB=BC=CD=DM,A、B、C、D和M的電勢分別為φA、φB、φC、φD和φM.

則：φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM.

也可證明： φB=3φA+φM4

拓展：若AM=nAB，則： φB=(n-1)φA+φMn

證明如圖2所示，設(shè)AM和電場強度的方向的夾角為θ，把一個帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到M.設(shè)AB=BC=CD=DM=L.

則：從A移到B,電場力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

從B移到C,電場力做功：

WBC=qELcosθ=qUBC=q(φB-φC)

從C移到D,電場力做功：

WCD=qELcosθ=qUCD=q(φC-φD)

從D移到M,電場力做功：

WDM=qELcosθ=qUDM=q(φD-φM)

由以上各式得：

φA-φB=φB-φC=φC-φD=φD-φM

又由： φA-φM=φA-φB+φB-φC+φC-φD+φD-φM=4(φA-φB)

所以： φA-φM=4φA-4φB

進一步得： φB=3φA+φM4

同理可證明：若AM=nAB，

則： φB=(n-1)φA+φMn

圖3重要結(jié)論3：如圖3所示，在勻強電場中，四邊形ABCD為平行四邊形,A、B、C和D的電勢分別為φA、φB、φC和φD.

則： φA-φB=φD-φC

證明如圖3所示，設(shè)AB和電場強度的方向的夾角為θ，把一個帶電量為q的正電荷沿著AB方向從A移到B.設(shè)AB=DC=L.

則：從A移到B,電場力做功：WAB=qELcosθ=qUAB=q(φA-φB)

同理：把該正電荷從D移到C,電場力做功：

WDC=qELcosθ=qUDC=q(φD-φC)

由以上各式得： φA-φB=φD-φC

本結(jié)論也可以總結(jié)為：若在勻強電場中，兩條線段AB和DC平行且相等，則： φA-φB=φD-φC.

例1如圖4所示，在勻強電場中，四邊形ABCD為矩形,A、B、C和D的電勢分別為φA、φB、φC和φD.

圖4圖5已知：φA=8 V、φB=16 V和φC=20 V,求：D的電勢φD.

解法一如圖5所示，連接AD和CB，它們相交于O點，則O既是AD的中點，又是CB的中點.

由重要結(jié)論1得：φO=φA+φD2=φB+φC2

即： φA+φD=φB+φC=8 V+φD

=16 V+20 V

解得： φD=28 V

解法二在勻強電場中，兩條線段AB和DC平行且相等，則：

由重要結(jié)論3得： φA-φB=φC-φD

=8 V-16 V=20 V-φD

解得： φD=28 V

重要結(jié)論4：等勢面（或等勢線）和電場線垂直，沿著電場線方向電勢越來越低.

例2如圖6所示，A、B和C為勻強電場中的三點，A、B和C的電勢分別為φA、φB和φC，已知：φA=6 V、φB=4 V、φC=5 V，請畫出該勻強電場中的一條電場線.

圖6圖7分析與解如圖7所示，連接AB，設(shè)AB的中點為D,由結(jié)論1得：φD=φA+φB2=5 V，由于φC=5 V，C和D在一條等勢線上，連接DC（DC為等勢線），過A點向直線DC作垂線交DC于F，由重要結(jié)論4得：AF就是該勻強電場中的一條電場線.

例3空間有一均勻強電場，在電場中建立如圖8所示的直角坐標系O-xyz，M、N、P為電場中的三個點，M點的坐標（0,a,0)，N點的坐標為(a,0,0)，P點的坐標為(a,a2,a2).已知電場方向平行于直線MN，M點電勢為零，N點電勢為1 V，求P點的電勢？

圖8圖9分析與解如圖9所示，本題首先把立體問題轉(zhuǎn)化成平面問題，

設(shè)P點在平面MDNO的射影為P1，P1點的坐標為(a,a2,0)，P1是DN的中點.PP1垂直于平面MDNO，由于電場方向平行于直線MN，MN在平面MDNO中.由立體幾何知識可知：PP1垂直于電場線.PP1是一條等勢線.所以P的電勢等于P1的電勢即：φP=φP1.由題意畫出勻強電場的一條電場線MN.由于MDNO為正方形，DO和MN互相垂直且平分，所以：O1為MN的中點，DO是一條等勢線.

由結(jié)論1得：φO1=φN+φM2=12V.過P1做DO的平行線交MN于P2，則：P2為NO1的中點，P1P2垂直于MN，P1P2是一條等勢線.所以P2的電勢等于P1的電勢即：φP2=φP1.

由重要結(jié)論1得：φP2=φN+φO12=34V.所以P點的電勢φP=φP1=φP2=34V.

圖10例4如圖10所示，空間中存在著勻強電場，正方體ABCDEFGH中A、B、C、H四點電勢分別為φA＝4 V，φB＝6 V，φC＝9 V， φH＝5 V．則下面說法正確的是().

A．把1C正電荷從B點經(jīng)G點移到H點，電場力做功一定是2 J

B．G點電勢可能為6 V

C．A、G兩點的電勢差UAG與D、F兩點的電勢差UDF一定相等

D．電場強度方向一定與D、G兩點的連線垂直

分析與解

由于AB和DC平行，A、B兩點的電勢差UAB與D、C兩點的電勢差UDC相等，即：UAB=UDC，φA-φB=φD-φC，4V-6V=φD-9V，所以：φD=7V；

由于AB和GH平行，A、B兩點的電勢差UAB與H、G兩點的電勢差UHG相等，即：UAB=UHG，φA-φB=φH-φG，4V-6V=5V-φG，所以：φD=φG=7V，D、G兩點的連線為一條等勢線，由于電場線和等勢線垂直，所以電場強度方向一定與D、G兩點的連線垂直，答案D正確，答案B錯誤；把1C正電荷從B點經(jīng)G點移到H點，電場力做功WBC=qUBC=q(φB-φC)=1×(6-7)=-1(J)，答案A錯誤； UAG=φA-φG=4V-7V=-3V，由于DG和AF平行，A、F兩點的連線也是一條等勢線，即：φA=φF=4V.所以UDF=φD-φF=7V-7V=3V，答案C錯誤.綜合上面的分析，本題答案選D.

例5（2012高考理綜安徽卷第18題）：如圖11所示，在平面直角坐標中，有方向平行于坐標平面的勻強電場，其中坐標原點O處的電勢為零，點A處的電勢為6 V, 點B處的電勢為3 V, 則電場強度的大小為().

A.200 V/mB. 2003V/m

C.100V/m D.1003V/m

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點O和點A的連線的中點為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點的電勢為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強電場中，等勢線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點，BC是一條等勢線.由于在勻強電場中，電場線和等勢線互相垂直，且沿著電場線方向電勢越來越低.不妨過O點做一條電場線與BC交于D點，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強電場中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強電場，場中A、B、C、D四個點恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場強度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場線和等勢線垂直，在勻強電場中電場線是直線，所以在勻強電場中等勢線和電場線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過D點做平面ABC的垂線DO，O點在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識可得：CM垂直于AB，CM是一條電場線.

由立體幾何知識可得：一條直線垂直于一個平面時，該直線和這個平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個正六邊形的六個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為2V、8V和10V.下列說法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢面通過E點

C．將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為8eV

D．將一電子從F點移到B點，電場力做功為4eV

解析由于A、B點的電勢分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進一步得：UFC=2UAB，由于C點的電勢為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點為F1，則F1點的電勢為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點為F2，則F2點的電勢為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢面通過E點，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯誤；將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯誤；將一電子從F點移到B點，電場力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強電場中有a、b、c三點.在以它們?yōu)轫旤c的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點的電勢分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強電場的電場線與等勢面是平行等間距排列，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢均勻降落，取ab的中點O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為2V，故Oc為等勢面，MN為電場線，方向為MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點電勢為零，且為最小電勢點，同理UMO=2V，M點電勢為4V，且為最大電勢點.綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們在平時做物理題過程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對做好，而且在做對做好的同時，要對所做過的物理題進行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會幫助我們認清楚物理問題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們在碰到物理問題時，就會得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點O和點A的連線的中點為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點的電勢為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強電場中，等勢線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點，BC是一條等勢線.由于在勻強電場中，電場線和等勢線互相垂直，且沿著電場線方向電勢越來越低.不妨過O點做一條電場線與BC交于D點，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強電場中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強電場，場中A、B、C、D四個點恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場強度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場線和等勢線垂直，在勻強電場中電場線是直線，所以在勻強電場中等勢線和電場線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過D點做平面ABC的垂線DO，O點在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識可得：CM垂直于AB，CM是一條電場線.

由立體幾何知識可得：一條直線垂直于一個平面時，該直線和這個平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個正六邊形的六個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為2V、8V和10V.下列說法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢面通過E點

C．將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為8eV

D．將一電子從F點移到B點，電場力做功為4eV

解析由于A、B點的電勢分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進一步得：UFC=2UAB，由于C點的電勢為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點為F1，則F1點的電勢為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點為F2，則F2點的電勢為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢面通過E點，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯誤；將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯誤；將一電子從F點移到B點，電場力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強電場中有a、b、c三點.在以它們?yōu)轫旤c的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點的電勢分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強電場的電場線與等勢面是平行等間距排列，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢均勻降落，取ab的中點O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為2V，故Oc為等勢面，MN為電場線，方向為MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點電勢為零，且為最小電勢點，同理UMO=2V，M點電勢為4V，且為最大電勢點.綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們在平時做物理題過程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對做好，而且在做對做好的同時，要對所做過的物理題進行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會幫助我們認清楚物理問題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們在碰到物理問題時，就會得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)

圖11圖12解析如圖12所示，不妨設(shè)點O和點A的連線的中點為C，則OC=3 cm，由重要結(jié)論1得：C點的電勢為φC=φO+φA2，由于φO=0，φA=6 V，則φC=φO+φA2=3 V.由于在勻強電場中，等勢線是直線，φC=3 V，φB=3 V，所以連接B和C兩點，BC是一條等勢線.由于在勻強電場中，電場線和等勢線互相垂直，且沿著電場線方向電勢越來越低.不妨過O點做一條電場線與BC交于D點，則φD=φC=3V，且DO和BC垂直.設(shè)BC和CO的夾角為θ，則在直角三角形△OCB中：tanθ=BOOC=33，即：θ=30°.則在直角三角形△OCD中：DO=OCsin30°=32cm.

在勻強電場中，由于U=Ed，所以E=UDODO=φD-φODO=3V32cm=200 V/m，所以答案A正確.

例6一空間存在勻強電場，場中A、B、C、D四個點恰構(gòu)成正四面體，如圖13所示.已知電場強度大小為E，方向平行于正四面體的底面ABC，正四面體棱長為23cm.已知UAC=6 V、UBC=6 V，則可判斷（）.

A． UDC=4 VB. UDC=3 V

C. E=200 V/mD.E=4003V/m

圖13圖14解析 由于電場線和等勢線垂直，在勻強電場中電場線是直線，所以在勻強電場中等勢線和電場線垂直且是一條直線.由于UAC=φA-φC=6 V，UBC=φB-φC=6 V，所以φA=φB，AB是一條等勢線，φM=φA，UMC=φM-φC=6 V.

如圖14所示，不妨過D點做平面ABC的垂線DO，O點在平面ABC中，連接CO交AB于M，由幾何知識可得：CM垂直于AB，CM是一條電場線.

由立體幾何知識可得：一條直線垂直于一個平面時，該直線和這個平面內(nèi)的所有直線垂直.所以DO是一條等勢線，φD=φO，UDC=UOC.

由幾何關(guān)系可得：OC=23MC

則：UOC=23UMC=4V，UOC=UDC=4V，答案A正確，答案B錯誤.由UBC=E×BC×sin60°得：

6=E×23×10-2×32，解得：E=200(V/m).

綜合上面分析可得：本題答案選A C.

圖15例7如圖15所示，A、B、C、D、E、F為勻強電場中一個正六邊形的六個頂點，已知A、B、C三點的電勢分別為2V、8V和10V.下列說法中正確的是().

A． UAD=UFC=UBEB．零勢面通過E點

C．將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為8eV

D．將一電子從F點移到B點，電場力做功為4eV

解析由于A、B點的電勢分別為2V、8V，所以UAB=φα-φB=2V-8V=-6V，由幾何關(guān)系可得：AB平行于FC，且FC=2AB.進一步得：UFC=2UAB，由于C點的電勢為10V，所以UFC=φF-φC=φF-10V=-12 V

解得：φF=-2V，設(shè)FC的中點為F1，則F1點的電勢為φF1=φF+φC2=4V，設(shè)FF1的中點為F2，則F2點的電勢為φF2=φF+φF12=1 V，又由幾何關(guān)系可得:F2又是AE的中點，φF2=φA+φE2=1 V，解得：φE=0，所以零勢面通過E點，答案B正確；

由幾何關(guān)系可得：AB平行于ED，且ED=AB，進一步得：UAB=UED=-6V=φE-φD，解得：φD=6 V，則：UAB=φA-φD=-4 V，答案A錯誤；將一質(zhì)子從D點移到A點，電場力做功為WAD=eUAD=-4 eV，答案C錯誤；將一電子從F點移到B點，電場力做功為WFB=-eUFB=-e(φF-φB)=10 eV，答案D錯誤.綜合上面分析可得：本題答案選B.

例8如圖16所示，勻強電場中有a、b、c三點.在以它們?yōu)轫旤c的三角形中，∠a=30°、∠c=90°.電場方向與三角形所在平面平行.已知a、b和c點的電勢分別為(2-3)V、(2+3)V和2V.該三角形的外接圓上最低、最高電勢分別為().

A．(2-3)V、(2+3)V B．0、 4 V

C．(2-433)V、(2+433)VD．0、3V

圖16圖17

解析如圖17所示，根據(jù)勻強電場的電場線與等勢面是平行等間距排列，且電場線與等勢面處處垂直，沿著電場線方向電勢均勻降落，取ab的中點O，O即為三角形的外接圓的圓心，且該點電勢為2V，故Oc為等勢面，MN為電場線，方向為MN方向，UOP=UOa=3V，UON∶UOP=2∶3，故UON=2V，N點電勢為零，且為最小電勢點，同理UMO=2V，M點電勢為4V，且為最大電勢點.綜合上面分析可得：本題答案選B.

同學(xué)們在平時做物理題過程中，不僅要能夠把所遇到的物理試題做對做好，而且在做對做好的同時，要對所做過的物理題進行深刻的思索，看一看能不能歸納總結(jié)出一些重要的結(jié)論.總結(jié)出這些規(guī)律性的東西，會幫助我們認清楚物理問題的本質(zhì).這樣久而久之，我們學(xué)習(xí)物理就會興趣盎然，物理就不難學(xué)了，我們在碰到物理問題時，就會得心應(yīng)手.

(收稿日期：2013-05-02)