孫楚旻

(北京師范大學 物理學系，北京 100875)

1 橡皮筋的熱縮現(xiàn)象

生活中可以觀察到橡皮筋具有受熱收縮的性質(zhì). 通過以下實驗可以簡單地演示該現(xiàn)象：橡皮筋上端固定，下端懸掛1把普通剪刀，可以在剪刀上加重物使橡皮筋處于較明顯的伸長狀態(tài). 調(diào)整橡皮筋上端的固定點的高度，使剪刀的下端恰好觸碰到某一水平面. 用普通家用電吹風加熱橡皮筋，可以觀察到加熱后剪刀刀尖脫離原來所在的平面，即橡皮筋受熱收縮(圖1) .

圖1 橡皮筋熱縮性質(zhì)的定性演示實驗

由上面實驗結(jié)果可以得知，如果讓橡皮筋保持定長，橡皮筋上所受外力將隨著溫度升高而增大. 以下的理論將解釋這一現(xiàn)象的成因，而實驗可以定量研究這一現(xiàn)象. 數(shù)據(jù)分析結(jié)果符合理論分析.

2 原 理

利用熱力學知識可以解釋橡皮筋受熱收縮的原因. 通常說來，假定橡皮筋試樣在等溫下受到拉伸力f，試樣被拉長了dl，外界對試樣所作的功為fdl[1]. 因為拉伸過程中橡膠體積不變，對于等溫可逆過程有

dU=TdS+fdl,

(1)

其中U是試樣的內(nèi)能，T是外界溫度. (1)式可改寫成

(2)

另外，根據(jù)Gibbs自由能的定義

F=H-TS=U+pV-TS,

(3)

所以有

dF=dU+pdV+Vdp-TdS-SdT.

(4)

對于橡膠彈性體來說，在拉伸過程中體積不變，而且實驗是在恒壓下進行的，故

dF=fdl-SdT.

(5)

從(5)式可得

(6)

則

(7)

因此(2)式可以改寫成

(8)

忽略Gibbs自由能和Helmholz自由能的區(qū)別，有

F=U-TS.

(9)

熵力是指一個系統(tǒng)中的一種宏觀作用力，表現(xiàn)為整個系統(tǒng)對于熵增加的統(tǒng)計趨勢. 定義熵力為自由能對于長度的偏導數(shù)[2-3]，則

(10)

因此，橡皮筋處于平衡態(tài)時，其熵力與外力大小相等，方向相反.

3 實 驗

3.1 測量溫度場實驗

實驗采用的熱源是400 W的NSB-80小金魚取暖器，其中熱源部分是1根石英管(約19 cm). 電子溫度計為實驗室常用的長管水銀溫度計，量程是20～100 ℃，精度為1 ℃. 固定溫度計尖端對準取暖器燈管中心以及中心外其他點，測得溫度計示數(shù)近似相等. 用游標卡尺測量溫度計針尖到取暖器鐵絲網(wǎng)的不同距離，讀出溫度計在此距離的示數(shù)，多次測量取平均值，得到距取暖器鐵絲網(wǎng)的距離與溫度的關(guān)系. 對上述關(guān)系作出最小二乘法光滑函數(shù)擬合之后，可以計算距取暖器鐵絲網(wǎng)的一段距離處的溫度近似值.

3.2 橡皮筋熱縮性質(zhì)的定量表示

假設橡皮筋在某一溫度下放置一段時間以后達到熱平衡狀態(tài)，此時橡皮筋熵力大小與所受外力大小相同. 可以通過電子秤測量橡皮筋所受的外力的大小，即熵力的大小，并用溫度場擬合的結(jié)果得出橡皮筋定長時熵力與溫度的關(guān)系.

實驗裝置如圖2所示. 鐵架臺上固定不易形變的剛性桿，將橡皮筋上端套在桿上，下端懸掛能使其伸長的重物，如砝碼. 實驗時注意取暖器燈管與拉長的橡皮筋平行(圖3). 用游標卡尺控制剛性桿到橡皮筋下端的距離為定長L(圖4).

待燈泡溫度場較穩(wěn)定且電子秤示數(shù)也較穩(wěn)定后再讀數(shù)，并多次讀數(shù)取平均值.

將電子秤的示數(shù)轉(zhuǎn)化為橡皮筋的熵力的方法是：先用電子秤測出砝碼和橡皮筋的總質(zhì)量M，再將橡皮筋上端套在剛性桿上，測出室溫下橡皮筋定長時橡皮筋與砝碼的總質(zhì)量M′，先調(diào)零電子

圖2 定量測量橡皮筋熱縮性質(zhì)的實驗裝置

圖3 取暖器燈管與拉長的橡皮筋平行

圖4 橡皮筋定長

秤，設在實驗加熱過程中，電子秤的讀數(shù)變?yōu)閙. 則橡皮筋在某一溫度下所受的熵力大小為

fa=[m+(M-M′)]g.

(11)

取該緯度重力加速度大小為g=9.809 0 m/s2.

假設此時的溫度即上一實驗中得到的擬合溫度場的溫度,這樣，可以作出一系列不同定長時的熵力與溫度曲線.

4 數(shù)據(jù)分析

4.1 溫度場測量實驗

直接測量的溫度數(shù)據(jù)如表1所示.

表1 溫度場測量數(shù)據(jù)

用最小二乘法擬合得到的溫度場曲線如圖5所示，溫度場函數(shù)是四次函數(shù)，R2=0.999. 根據(jù)這一擬合結(jié)果可計算出距取暖器鐵絲網(wǎng)不同距離的溫度.

圖5 溫度場原始數(shù)據(jù)的擬合曲線

4.2 橡皮筋熱縮性質(zhì)的定量表示

首先用3種不同的橡皮筋做定長時熵力大小與溫度的關(guān)系實驗. 分析數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)線性擬合結(jié)果良好且截距均為正數(shù)，驗證了橡皮筋的熱力學理論，即構(gòu)象熵對長度的偏導數(shù)與溫度無關(guān)，而內(nèi)能對長度的偏導數(shù)是正值.

取熱縮現(xiàn)象較為明顯的橡皮筋，研究其不同長度時熵力與溫度的關(guān)系，結(jié)果如圖6所示.

圖6 橡皮筋不同長度時熵力與溫度的關(guān)系

4.3 橡皮筋不同長度時其熵對長度的偏導數(shù)和內(nèi)能對長度的偏導數(shù)與長度的關(guān)系

取橡皮筋不同長度時熵力與溫度關(guān)系的斜率，即橡皮筋構(gòu)象熵對長度的導數(shù)，做出熵力隨長度關(guān)系的變化如圖7所示.

圖7 熵對長度的偏導數(shù)與橡皮筋長度的關(guān)系

分析數(shù)據(jù)得出橡皮筋構(gòu)象熵對長度的導數(shù)隨長度的增加而增加，且三次函數(shù)擬合R2=0.994 9，而橡皮筋內(nèi)能對長度的導數(shù)(即截距)是正值，它隨著長度增加的變化不定，其中可能有實驗誤差原因，也可能是事實如此，理論分析有待進一步探討.

4.4 常溫下不同長度時構(gòu)象熵和內(nèi)能對橡皮筋彈力的貢獻比例

利用擬合溫度場數(shù)據(jù)以及定長時橡皮筋熵力與溫度關(guān)系的數(shù)據(jù)，可以分析一定溫度范圍內(nèi)不同長度時構(gòu)象熵和內(nèi)能對熵力的貢獻比例.

計算20 ℃時2部分對橡皮筋彈力的貢獻比例，如圖8所示. 這組數(shù)據(jù)中由內(nèi)能引起的橡皮筋彈力的百分比的平均值是17.953%；由構(gòu)象熵變化引起的橡皮筋彈力的百分比的平均值是82.047%. Folry測量了內(nèi)能對橡皮筋彈性的貢獻,約為11%～18%[4]. 實驗在精度范圍內(nèi)給出的數(shù)據(jù)大致與這一結(jié)果相符.由此可見常溫下橡皮筋的彈力主要由構(gòu)象熵引起. 可以推斷一定溫度下構(gòu)象熵對橡皮筋彈力的貢獻比例遠大于內(nèi)能對彈力的貢獻比例.

圖8 常溫下橡皮筋不同長度時構(gòu)象熵和內(nèi)能對橡皮筋彈力的貢獻

5 應 用

利用橡皮筋的熱縮性質(zhì)制作橡皮筋熱機[5]，實驗裝置圖如圖9所示. 轉(zhuǎn)輪由長度為89.50 cm的鐵絲圍成的圓環(huán)(直徑28.00 cm)，芯盤為1根長鐵絲穿過直徑為8.00 cm的小圓盤，在圓環(huán)與圓盤之間盤上有88根橡皮筋輻條，成品架于支架上，在其一側(cè)固定加熱燈或取暖器[圖10(a)].

圖9 橡皮筋熱機實驗裝置圖

圖10 橡皮筋熱機原理圖

該裝置的原理為：加熱熱機一側(cè)，橡皮筋產(chǎn)生熱縮現(xiàn)象[圖10(b)]，造成圓環(huán)重心的偏移產(chǎn)生重力矩，最后導致圓環(huán)轉(zhuǎn)動. 熱機轉(zhuǎn)動一定角度后，由于力矩的變化及橡皮筋散熱恢復原長，轉(zhuǎn)動停止.一段時間后，由于熱縮熱機又繼續(xù)轉(zhuǎn)動，如此即為所謂的“走走停?，F(xiàn)象”.

5.1 關(guān)于轉(zhuǎn)動平均速率的測量及優(yōu)化

測量一定時間內(nèi)熱機轉(zhuǎn)動的角度，除以所用時間，得出的平均速率即為轉(zhuǎn)動平均速率ω. 為了優(yōu)化這一屬性，對熱機光照角度進行了優(yōu)化.

如圖11所示，受熱區(qū)中心點與水平方向所成角度稱為光照角度α. 可以通過測量熱機不同光照角度下10次轉(zhuǎn)動的角度φ和與轉(zhuǎn)動所需時間t的關(guān)系來確定最佳的光照角度，測量結(jié)果如表2所示.

(a) (b) (c)圖11 橡皮筋熱機光照角度優(yōu)化

α/(°)φ/(°)t/sω/[(°)·s-1]-306332043.10-204741752.71-104232032.0803511801.94102841631.74202171921.13301791840.97

當光照角度為-40°時，熱機由于阻力矩過大的原因幾乎無法轉(zhuǎn)動. 由表1得出結(jié)論：當光照角度為-30°左右時熱機平均轉(zhuǎn)動速率最大.

關(guān)于負角度平均轉(zhuǎn)動速率普遍比較大的理論解釋為：開始時雖然所受重力力矩比0°時的力矩小，但是隨著轉(zhuǎn)動的繼續(xù)，重力力矩會經(jīng)歷逐漸增大到逐漸減小的過程，作用時間也較長. 而0°及正角度動力矩在逐漸減小，所以負角度時平均轉(zhuǎn)動速率也較大.

5.2 關(guān)于轉(zhuǎn)動順暢度的測量及優(yōu)化

熱機多次受熱放熱后單次轉(zhuǎn)動角度會逐漸穩(wěn)定在一定的角度范圍內(nèi). 所謂轉(zhuǎn)動順暢度，即多次受熱后熱機單次能轉(zhuǎn)過的平均角度，也是能反映熱機性能的重要指標. 同樣對其光照角度進行優(yōu)化，圖12為熱機在不同光照角度下轉(zhuǎn)動角度φ與轉(zhuǎn)動次數(shù)N之間的關(guān)系.

圖12 熱機在不同光照角度下轉(zhuǎn)動角度φ與轉(zhuǎn)動次數(shù)N的關(guān)系

同樣可以得出光照角度為-30°左右時熱機轉(zhuǎn)動最為順暢.

6 結(jié)束語

這一組實驗驗證了關(guān)于橡皮筋的熱學知識，定量表示熱縮物質(zhì)的性質(zhì)，開發(fā)了適合普通物理實驗教學的創(chuàng)新性實驗，對于幫助學生直觀地理解相應的熱力學理論很有意義. 橡皮筋的熱縮性質(zhì)可以應用于諸如橡皮筋熱機等演示儀器，方便此性質(zhì)的演示及實驗教學，但因其機械效率低下(低于1%)限制了其應用發(fā)展. 進一步拓展關(guān)于橡皮筋的熱力學實驗，可以思考如何測量宏觀意義上柔軟且熱縮物體的線脹系數(shù)，橡皮筋狀態(tài)方程的驗證，等等.

參考文獻：

[1] 何曼君,陳維孝,董西俠，等. 高分子物理[M]. 上海：復旦大學出版社，1990:221-223.

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[4] Marx G， Ogborn J， Tasnadi P. Rubber as a medium for teaching thermodynamics [J]. Eur. J. Phys., 1984,5:232-233.

[5] 粟岳，李晉，劉德華. 橡皮筋熱機的設計和制作[J]. 周口師范高等專科學校學報，1999，16(5)：82-85.