半局部B半(E,F)凸函數(shù)及其性質(zhì)

高 曄, 張慶祥, 邢 苗

(延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院,陜西 延安 716000)

0 引言

凸集與凸函數(shù)在最優(yōu)化理論中有著廣泛的應(yīng)用,但實(shí)際問(wèn)題中大量集合與函數(shù)是非凸的,因此有必要對(duì)它們進(jìn)行推廣.Youness[1]通過(guò)弱化凸集與凸函數(shù)的條件給出了E凸集、E凸函數(shù)等概念,并得出了相關(guān)結(jié)論.雖然有些結(jié)論不正確,但其思想意義是不容質(zhì)疑的.為此，楊新民、簡(jiǎn)金寶、覃義先后指出和修正了關(guān)于E凸集、E凸函數(shù)及E凸規(guī)劃的幾個(gè)錯(cuò)誤[2-4].Ewing[5],Weir[6]分別引入了局部凸函數(shù)、半局部凸函數(shù)的概念.簡(jiǎn)金寶等研究了廣義半局部凸函數(shù)及其性質(zhì)[7].胡清潔等給出了半局部E凸函數(shù)的概念,并討論了它的性質(zhì)[8].2009年，簡(jiǎn)金寶給出了(E,F)凸集、(E,F)凸函數(shù)的概念[9],之后，簡(jiǎn)金寶、路敏慧等[10-11]研究了它們的性質(zhì).2004年，簡(jiǎn)金寶等在文獻(xiàn)[12]中引入了半(E,F)凸函數(shù)及其規(guī)劃問(wèn)題,張慶祥等對(duì)擬半(E,F)預(yù)不變凸函數(shù)進(jìn)行了研究[13],并探討了廣義凸函數(shù)的半無(wú)限規(guī)劃對(duì)偶問(wèn)題[14]，曾友芳等探究了B半(E,F)凸函數(shù)和規(guī)劃[15].在文獻(xiàn)[16]中，Tang引入了局部星形集,并在星形集的基礎(chǔ)上定義了半局部凸函數(shù).在這些理論的基礎(chǔ)上，高曄等人提出了半局部半(E,F)凸函數(shù),并研究了其性質(zhì)[17].

本文在局部星形(E,F)凸集、半局部凸函數(shù)和B半(E,F)凸函數(shù)基礎(chǔ)上,定義半局部B半(E,F)凸函數(shù)及幾類廣義半局部B半(E,F)凸函數(shù),并研究它們的性質(zhì)，以及與某些廣義凸函數(shù)之間的關(guān)系.

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[17]設(shè)x0∈M?Rn,若映射E,F:M→2Rn,對(duì)每個(gè)x∈M,都存在正數(shù)α(x0,x)≤1,且對(duì)?λ∈(0,α(x0,x)),有λE(x0)+(1-λ)F(x)?M,則稱M在點(diǎn)x0處為局部星形(E,F)凸的.若M在每個(gè)x0∈M處是局部星形(E,F)凸的,則稱M為局部星形(E,F)凸集.

定義2[16]函數(shù)f:M→R為M上的B半(E,F)凸函數(shù),若存在兩個(gè)點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,有

定義3[15]函數(shù)f:M→R為M上的擬B半(E,F)凸函數(shù),若存在兩個(gè)點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,有

定義5[16]設(shè)f(x)為局部星形集M?Rn上的實(shí)值函數(shù),若對(duì)?x,y∈M,存在正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1,使得對(duì)?λ∈(0,d(x,y)),有

f(λx+(1-λ)y)≤λf(x)+(1-λ)f(y),

則稱f(x)為M上的半局部凸函數(shù).

2 半局部B半(E,F)凸函數(shù)

定義6函數(shù)f:M→R為M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),若存在點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,有

定義7設(shè)函數(shù)f為M上的實(shí)值函數(shù),若存在點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,那么

(1)

則稱f是半局部B半(E,F)嚴(yán)格凸函數(shù).

定義8函數(shù)f:M→R為M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù),若存在兩個(gè)點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn，正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,有

(2)

定義9設(shè)函數(shù)f為M上的實(shí)值函數(shù),若存在點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,那么

定義11設(shè)函數(shù)f為M上的半局部B半(E,F)偽擬凸函數(shù),若存在點(diǎn)到集合的映射E,F:M→2Rn,正數(shù)d(x,y)≤α(x,y)≤1和函數(shù)b(x,y,λ):M×M×[0,1]→R+,使得M是局部星形(E,F)凸集且?≠M(fèi)?Rn,有

3 半局部B半(E,F)凸函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1設(shè)f:M→R為定義在局部星形(E,F)凸集M?Rn上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),則對(duì)任意κ∈R,水平集Sκ={x|x∈M,f(x)≤κ}為局部星形(E,F)凸集.

≤λb(x,y,λ)κ+(1-λb(x,y,λ))κ

=κ,

即對(duì)任意0<λ

性質(zhì)21) 當(dāng)映射E,F為恒等映射,即E(x)={x},E(y)={y},d(x,y)=1時(shí),半局部B半(E,F)凸函數(shù)為B凸函數(shù).

2) 當(dāng)b(x,y,λ)≡1且滿足1)時(shí),半局部B半(E,F)凸函數(shù)即為熟知的凸函數(shù).

因此由定義知f是半局部B半(E,F)凸函數(shù).

注1性質(zhì)3的逆命題不成立.

例1設(shè)f:M=[-1,1]→R,E,F:M→2R和b:X×X×[0,1]→R+為

顯然M為局部星形(E,F)凸集.下面驗(yàn)證f是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

首先,假設(shè)x

當(dāng)y∈[0,1]時(shí),有

當(dāng)x∈[0,1]時(shí),有

性質(zhì)4若f(x)為半局部B半(E,F)凸函數(shù),則它也是半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

由定義8可知,f是半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

注2性質(zhì)4的逆命題不成立.

例2設(shè)f:M=[0,1]→R,E,F:M→2R和b:X×X×[0,1]→R+為

顯然M為局部星形(E,F)凸集.下面驗(yàn)證f是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).假設(shè)f(x)≤f(y).

?λ∈(0,d],d(x,y)∈(0,1],

性質(zhì)5若f是半局部B半(E,F)凸函數(shù)，則

1) 對(duì)?a∈R,f+a也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù);

2) 對(duì)?a∈R,af也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù);

3) 對(duì)于M上的另一半局部B半(E,F)凸函數(shù)g,f+g也是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

性質(zhì)6若函數(shù)f為局部(E,F)凸集M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),φ:R→R是非減凸函數(shù),則復(fù)合函數(shù)φ(f)是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

又φ:R→R為非減凸函數(shù),所以

≤λb(x,y,λ)φ(f(x))+(1-λb(x,y,λ))φ(f(y)),

所以,復(fù)合函數(shù)φ(f)是M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù).

性質(zhì)7設(shè)f(x)為定義在局部星形(E,F)凸集M?Rn上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù),若φ:R→R為非減的函數(shù),則φ(f(x))也為半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

性質(zhì)8設(shè)f,-g:M→R是局部星形(E,F)凸集M上的半局部B半(E,F)凸函數(shù),若f≥0,g>0,則h=f/g是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

則

≤max{h(x),h(y)}.

當(dāng)h(x)≤h(y)時(shí),上式兩邊同乘以b(x,y,λ),即得

因此,函數(shù)h=f/g是M上的半局部B半(E,F)擬凸函數(shù).

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