祁 燕，劉麗萍

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

標(biāo)準(zhǔn)映射和Lorenz混沌系統(tǒng)彩色圖像加密算法

祁 燕，劉麗萍

(沈陽理工大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，遼寧 沈陽 110159)

基于標(biāo)準(zhǔn)映射和Lorenz混沌映射，針對RGB彩色圖像，提出一種混沌加密算法。利用標(biāo)準(zhǔn)映射產(chǎn)生的非線性混沌序列，對圖像像素位置進(jìn)行置亂；利用Lorenz混沌系統(tǒng)的三維優(yōu)勢，結(jié)合彩色圖像的R、G、B分量，對像素進(jìn)行擴(kuò)散。通過置亂和擴(kuò)散兩個步驟的混沌映射完成圖像的加密，克服了單一加密安全性不高的缺點。相關(guān)實驗和分析表明，該算法有良好的安全性和加密性能。

混沌系統(tǒng)；圖像加密；標(biāo)準(zhǔn)映射；Lorenz系統(tǒng)

數(shù)字圖像在人們?nèi)粘Ｉ钪械氖褂迷絹碓綇V泛，但隨著計算機網(wǎng)絡(luò)和多媒體等技術(shù)的迅猛發(fā)展，數(shù)字圖像的版權(quán)和安全問題受到社會廣泛的關(guān)注。圍繞安全問題，廣大學(xué)者開展了各種研究工作，圖像加密是其中一個重要研究分支。圖像加密屬于密碼編碼技術(shù)，是集數(shù)學(xué)、密碼學(xué)、信息論、計算機等多門學(xué)科的交叉學(xué)科，通過對數(shù)字圖像進(jìn)行像素位置和灰度的變換，隱藏圖像原有信息，實現(xiàn)數(shù)字圖像基于內(nèi)容的保護(hù)，該技術(shù)在保密通信、信息隱藏和數(shù)字水印等領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。

目前，國內(nèi)外專家學(xué)者對圖像加密的研究主要集中在空間域、變換域、基于混沌、基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、基于細(xì)胞自動機、量子密碼技術(shù)等[1-3]。其中，混沌是一種具有特殊性質(zhì)的復(fù)雜動力學(xué)行為，它具有對初始條件和系統(tǒng)參數(shù)的極度敏感性、運動軌跡的無規(guī)則性、內(nèi)隨機性、有界性和遍歷性等特性。用混沌系統(tǒng)來產(chǎn)生數(shù)字混沌序列是目前常用的圖像加密方法?；煦鐖D像加密大多是針對圖像的特點，在空域和頻域上對其進(jìn)行加密，目前研究比較多的是利用混沌映射對圖像進(jìn)行空域變換，最具代表性的映射方法有[4-6]：面包師(Baker)映射、貓(Cat)映射、標(biāo)準(zhǔn)(Standard)映射等。

本文提出一種針對彩色圖像的雙重加密算法。首先，對原始圖像像素的位置采用標(biāo)準(zhǔn)映射混沌序列進(jìn)行置亂；然后，分別對圖像RGB分量的像素值采用Lorenz混沌序列進(jìn)行擴(kuò)散變換；最后，將各分量合成為密文圖像。

1 圖像加密算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)映射

本文加密算法先對圖像像素位置進(jìn)行置亂，常用的置亂變換有Arnold 變換、幻方變換、Cat映射等。置亂方式可分為直接法和分塊法，直接法對圖像各個像素點的坐標(biāo)位置直接進(jìn)行變換；分塊法先對圖像進(jìn)行分塊，然后在塊內(nèi)進(jìn)行局部置亂。但是，這些置亂變換多為線性變換，與密鑰無關(guān)，其安全程度不高，且分塊后的置亂有局部性，置亂程度不高。因此，本文采用具有非線性特征的標(biāo)準(zhǔn)映射對圖像進(jìn)行非線性置亂。

標(biāo)準(zhǔn)映射具有極其豐富的動力學(xué)性質(zhì)，是混沌系統(tǒng)的基本模型之一，反映了彈跳球模型在高彈跳情形下的二維映射。標(biāo)準(zhǔn)映射定義如下[7]：

S(x,y)=(S1,S2)=((x+y)mod2π,

(y-ksin(x+y))mod2π)

(1)

式中參數(shù)k為正常數(shù)。式(1)可推廣為

(2)

式(2)的逆為

(3)

為設(shè)計置亂變換系統(tǒng)，需要將式(2)和式(3)離散化，由此可設(shè)計置亂變換為

(4)

本文對分辨率為256×256、灰度級為256的Lena圖像采用標(biāo)準(zhǔn)映射進(jìn)行像素置亂實驗的結(jié)果如圖1所示。

圖1 標(biāo)準(zhǔn)映射像素置亂結(jié)果

由圖1可以看出，圖像置亂可以有效地打亂原圖的次序，但像素值并未改變，離散后的混沌映射變?yōu)橹芷谛裕抑脕y后的直方圖與原直方圖相同。在現(xiàn)代密碼體制下，任何圖像置亂算法都可通過窮舉法來破密，因此為了增強加密效果，需要進(jìn)行擴(kuò)散過程以改變圖像像素值，彌補置亂加密有周期性的不足，也能使加密圖像的直方圖統(tǒng)計呈均勻分布。

1.2 Lorenz混沌映射

Lorenz混沌映射是一個三維混沌系統(tǒng)，這一特征能與彩色圖像的RGB三個分量結(jié)合起來。Lorenz混沌系統(tǒng)的動力學(xué)方程如下[8]：

(5)

式(5)中，σ、γ和b是系統(tǒng)參數(shù)。Lorenz系統(tǒng)在保持σ和b取值不變，γ>24.74時，Lorenz系統(tǒng)進(jìn)入混沌狀態(tài)。一般來說，系統(tǒng)參數(shù)取典型值σ=10、γ=28和b=8/3。

本文用Lorenz系統(tǒng)產(chǎn)生的三維混沌序列對彩色圖像的RGB分量分別進(jìn)行擴(kuò)散變換，與二維混沌系統(tǒng)相比結(jié)構(gòu)更復(fù)雜，系統(tǒng)變量序列更不可預(yù)測，因此能達(dá)到更好的加密效果。

1.3 算法流程

本文圖像加密算法采用像素位置置亂和像素值擴(kuò)散相結(jié)合的加密方案，如圖2所示。先用標(biāo)準(zhǔn)映射對原始圖像像素位置進(jìn)行非線性置亂；然后利用Lorenz三維映射的三個參數(shù)，構(gòu)造混沌序列，分別對應(yīng)彩色圖像的R、G、B分量，實現(xiàn)像素的擴(kuò)散過程。

圖2 本文加密算法流程

算法具體步驟如下：

(1)讀入原始圖像和密鑰K1=(x(1),y(1),z(1),h)、K2=(μ2,c(0),k2)、K3=(μ3,c′(0),k3)；

(4)依次對原始圖像中的每個像素點，應(yīng)用式(4)迭代進(jìn)行置亂變換；

(5)將K1代入式(5)，生成混沌序列x(i)、y(i)和z(i)；

(6)通過mod(256x(i),256)將序列轉(zhuǎn)換到[0,255]之間；

(7)從彩色圖像中分別提取R、G、B分量，分別對應(yīng)混沌序列x(i)、y(i)和z(i)，對各分量像素值按行優(yōu)先序列進(jìn)行異或運算；

(8)將R、G、B分量運算結(jié)果合成彩色圖像，保存并輸出密圖。

解密算法是加密的逆過程。

2 仿真實驗及性能分析

2.1實驗結(jié)果

為驗證本文提出的加密算法，對lena和logo彩色圖像進(jìn)行了相關(guān)實驗和性能分析。實驗環(huán)境為2.5GHz CPU、2G內(nèi)存、Windows XP操作系統(tǒng)、Matlab軟件工具。實驗對象為24位真彩色圖像，分辨率為256×256。參照經(jīng)典值，密鑰設(shè)為

K={K1,K2,K3}

其中

K1=(1.1840,1.3627,1.2519,0.01)

K2=(3.9,0.3,10000)、K3=(3.6,0.5,10000)。

對lena圖像進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)映射置亂變換，迭代次數(shù)分別為1、2和30時的置亂結(jié)果如圖4所示。折中考慮置亂效果和時間復(fù)雜性，后續(xù)實驗中迭代次數(shù)取30次。

在lena圖像中隨意取三個像素點，經(jīng)過30次迭代后，其位置的變化如圖5所示?？梢钥闯鲋脕y位置在整個圖像區(qū)域內(nèi)分布較為均勻。

對lena和logo圖像的加密和解密結(jié)果如圖6所示。

圖3 部分混沌序列

圖4 不同迭代次數(shù)的置亂

圖5 像素點30次置亂

2.2 相關(guān)性分析

原始圖像中，相鄰像素之間的相關(guān)性很強，如圖4a～圖4c，圖像加密則應(yīng)該盡可能降低其間的相關(guān)性。相鄰像素相關(guān)系數(shù)ρxy即為評價加密效果的重要客觀評價指標(biāo)。相關(guān)系數(shù)ρxy可按如下公式計算：

(6)

式中：

本文分別在logo原圖與密圖的R、G、B三個分量中隨機選取1500對像素點，分別從水平、垂直和對角三個方向進(jìn)行相關(guān)性分析實驗，其中R分量的相關(guān)性結(jié)果如圖7所示，G和B分量的相關(guān)性分析結(jié)果與R分量的結(jié)果一致。

圖6 本文算法加解密結(jié)果

圖7 logo原圖與密圖R分量的相鄰像素相關(guān)性

由圖7a～圖7c可知，原圖三個方向像素點之間的相關(guān)性在y=x的直線附近分布較為集中，說明其相鄰像素間的相關(guān)性較強。而圖7d～圖7f中，三個方向的相關(guān)性均勻分布，說明密圖中相鄰像素相關(guān)性較弱。相關(guān)系數(shù)ρxy具體的定量分析如表1所示，并且與S_L算法的數(shù)據(jù)進(jìn)行了對比。

表1 原圖與密圖相關(guān)系數(shù)ρxy

S_L算法采用標(biāo)準(zhǔn)映射進(jìn)行置亂，Logistic混沌進(jìn)行擴(kuò)散。為了降低對比實驗結(jié)果的隨機性，實驗中選用相同的密鑰參數(shù)，而且選取像素點對時設(shè)置了隨機序列種子，以保證隨機點對的一致性。原圖像與密圖的相關(guān)系數(shù)實驗數(shù)據(jù)說明本文提出的加密算法極大地降低了圖像的相關(guān)性，具有較好的擴(kuò)散能力，加密效果好。不同算法的對比實驗數(shù)據(jù)說明本文算法與S_L算法相比有較為明顯的優(yōu)勢。

2.3 直方圖分析

對logo原圖和密圖進(jìn)行直方圖分析的結(jié)果如圖8所示。

由圖8可知，加密后圖像的直方圖與原圖像的直方圖相比，其分布比較均勻，從而加密效果更加理想，能有效地抵抗統(tǒng)計分析。

2.4 密鑰敏感性分析

為驗證密鑰的敏感性，本文對Lorenz混沌系統(tǒng)的正確密鑰作細(xì)微的調(diào)整，然后進(jìn)行解密。正確密鑰為K1=(1.1840,1.3627,1.2519,0.01)，錯誤密鑰分別取值為

Ke1=(1.1840+10-15,1.3627,1.2519,0.01)、

Ke2=(1.1840,1.3627+10-15,1.2519,0.01)、

Ke3=(1.1840,1.3627,1.2519+10-14,0.01)、

Ke4=(1.1840,1.3627,1.2519,0.01+10-16)，logo密圖解密結(jié)果如圖9所示。

圖8 logo原圖與密圖直方圖

圖9 錯誤秘鑰解密結(jié)果

由圖9可知，當(dāng)錯誤密鑰與正確密鑰之差僅為10-14(接近精度極限)時，仍不能正確解密。因此本文加密算法對密鑰具有極強的敏感性。

本文加密算法中Lorenz映射密鑰K1=(x(1),y(1),z(1),h)可取任意實數(shù)，精度為10-16，因此該算法的密鑰空間極大，從而使得對密圖的暴力破解幾乎不可能。

3 結(jié)論

針對RGB彩色數(shù)字圖像，提出了一種將標(biāo)準(zhǔn)映射和Lorenz三維混沌系統(tǒng)相結(jié)合的加密算法，并對該算法進(jìn)行了實驗和性能分析。標(biāo)準(zhǔn)映射具有非線性特征，且不具有周期性，因此安全性更高。Lorenz三維混沌序列運算掩蓋了混沌子序列的分布特性，改變了子混沌系統(tǒng)的動力學(xué)行為。實驗證明，該算法具有良好的加密效果、極高的密鑰敏感性及較大的密鑰空間，能有效抵制暴力破解和統(tǒng)計攻擊。

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ColorImageEncryptionAlgorithmBasedonStandardandLorenzChaosSystem

QI Yan,LIU Liping

(Shenyang Ligong University,Shenyang 110159,China)

A double encryption algorithm of color image is proposed based on Standard map and Lorenz chaos system. Standard map was used to scramble the pixel position by its nonlinear feature. Lorenz chaos system was combined with R,G,B components of color image to diffuse pixels of image based on Lorenz′s 3D feature. The double encryption is composed by scrambling and diffusing,which overcomes the weakness of single encryption in poor security. Experimental and analysis results prove that the proposed algorithm has higher security and encryption performance.

chaos system;image encryption;standard map;Lorenz system

2013-12-24

遼寧省教育廳科學(xué)研究項目(L2011037)

祁燕(1978—)，女，副教授，研究方向：圖像處理，計算機圖形學(xué)和虛擬現(xiàn)實技術(shù).

1003-1251(2014)04-0040-08

TP391

A

馬金發(fā))