基于θ-D方法帶落角約束的三維末制導律設計

王洪雪, 李新國, 王晨曦

(西北工業(yè)大學 航天學院, 陜西 西安 710072)

0 引言

傳統(tǒng)的制導律設計方法是在滾動為零的假設下,將飛行器的運動解耦為俯仰、轉彎兩個通道,然后在兩個通道上分別設計制導律,從而將三維制導問題轉化為兩個二維制導問題[1]。但對于高超聲速滑翔飛行器,由于采用BTT控制方式,滾動為零的假設不再成立,兩個通道之間存在強烈的耦合關系,雙通道解耦的制導律設計方法不再適用。

文獻[1]利用李群方法獲得了非解耦的三維制導律,該制導律能夠滿足終端速度方向要求,但制導律形式比較復雜,涉及許多矢量和矩陣計算,不易于工程實現(xiàn)。文獻[2]結合微分幾何和李群方法的優(yōu)點,設計了一種帶落角約束的新型三維制導律,但該制導律同樣包含矢量和李群運算,在仿真平臺和彈載計算機上實現(xiàn)有一定的難度。

最優(yōu)控制理論在解決非線性系統(tǒng)問題時,直接求解哈密爾頓-貝爾曼-雅可比(HJB)方程十分困難。針對這種情況,文獻[3]提出了θ-D非線性次優(yōu)控制方法,該方法能夠克服上述困難,可以獲得HJB方程的近似閉環(huán)解,控制精度高,計算量小,已成功應用于導彈六自由度非線性自動駕駛儀設計[4]和導彈制導控制一體化設計[5]。

本文基于θ-D方法,建立了飛行器-目標三維運動方程,在不進行通道解耦的條件下,通過重新定義狀態(tài)變量,設計了一種滿足落角約束的三維制導律。該制導律制導精度高,計算量小,可實時生成制導指令,易于工程實現(xiàn)。

1 問題描述

飛行器與目標的相對運動關系及坐標系如圖1所示。其中,Oxyz為慣性坐標系;Oxtytzt為視線坐標系;O,M分別為目標和飛行器;r為目標指向飛行器的視線矢量;ξ,ε分別為視線方位角和高低角。圖中規(guī)定ξ,ε,η符號為正;θ,ψV,φ,δψV符號為負。

圖1 相對運動關系及坐標系Fig.1 Relative motion and coordinate system

在視線坐標系中,視線坐標系相對慣性坐標系的旋轉角速度為:

(1)

則:

(2)

由于d2r/dt2=a(a為飛行器的加速度矢量),則飛行器與目標的相對運動方程為:

(3)

式中,axt,ayt,azt為飛行器加速度矢量在視線坐標系中的投影。

飛行器的運動方程組為:

(4)

式中,γ為彈道傾角;ψV為彈道偏角;σ為傾側角;D為氣動阻力;L為氣動升力。

2 θ-D次優(yōu)控制方法

考慮如下非線性時變系統(tǒng):

(5)

取性能指標函數為:

(6)

式中,x∈Rn;f∈Rn;B∈Rn×m;u∈Rm;B為常值矩陣;Q為n階半正定對角矩陣;R為m階正定對角矩陣;f(x)連續(xù)可微,且f(0)=0為平衡狀態(tài)。該無約束非線性調節(jié)器的最優(yōu)解可通過求解如下HJB偏微分方程得到:

(7)

式中,V(x)為性能指標函數的最優(yōu)值,即:

(8)

V(x)連續(xù)可微,且V(x) ≥ 0。最優(yōu)控制為:

u=-R-1BT?V/?x

(9)

由于該最優(yōu)控制中包含有?V/?x項,需要求解HJB偏微分方程。然而,一般情況下求解HJB方程是非常困難的,這也限制了最優(yōu)控制理論在非線性系統(tǒng)中的應用。

在式(6)中引入擾動項,則指標函數變?yōu)?

(10)

(11)

式中,A0為常數矩陣,且[A0,B]為穩(wěn)定對象,[A0+A(x),B]逐點可控。令λ=?V/?x,結合式(10),可將原HJB方程(7)整理為:

(12)

假設λ可表示為θ的冪級數,即:

(13)

式中,Ti為待定矩陣。將式(13)代入式(12),并將θ的冪系數置為0,整理可得如下方程組:

(14)

(15)

…

(16)

其中:

(17)

式中,ki,li>0為可調參數(i=1,2,3,…,n)。θ-D次優(yōu)控制為:

u=-R-1BT?V/?x=-R-1BTλ

(18)

顯然,式(14)為代數黎卡提方程,從中很容易求得T0;式(15)和式(16)為關于Ti的線性李雅普諾夫方程,很容易求解,具體步驟參見文獻[5]。在求解式(18)的過程中,中間變量θ可由Ti與θi相乘消去。從控制量的求解過程中可以發(fā)現(xiàn),θ-D次優(yōu)控制方法可以獲得非線性系統(tǒng)的閉環(huán)控制,且計算量不大,可應用于非線性系統(tǒng)的實時次優(yōu)控制。

3 θ-D三維末制導律設計

結合式(5)、式(11),重新定義狀態(tài)變量,并將相對運動方程(3)整理成如下形式:

(19)

其中:

A(X)=

式中,A0為常值矩陣,可任意選取,本文取為初始點處A(X)的值。

經簡單分析即可發(fā)現(xiàn),在飛行器接近目標的過程中視線高低角ε逐漸趨近于彈道傾角的絕對值|γ|,且在目標點附近,兩者近似相等。因此,可將對落角的約束轉換為對視線高低角的約束,即要求飛行器命中目標時,ε=-γf。這可以通過在θ-D控制算法中設置成目標值來實現(xiàn),即:

(20)

一般情況下,擾動項Tiθi只需計算前三項即可滿足制導精度的要求,則θ-D三維末制導律為:

U= -R-1BT(T0+T1θ+T2θ2)×

(21)

4 制導指令生成

本文飛行器采用BTT-180控制方式,制導指令為迎角α和傾側角σ。假設飛行器飛行過程中保持側滑角為零,控制系統(tǒng)理想工作。

由于所設計的制導律計算出的加速度指令是在視線坐標系中,需要將該指令變換到彈道坐標系中。視線坐標系到彈道坐標系的變換矩陣為:

(22)

則加速度指令在彈道坐標系中為:

(23)

飛行器所受重力和氣動力的合力在彈道坐標系中的投影為:

(24)

則:

(25)

根據式(25)可得:

(26)

(27)

根據式(26),可得飛行器的升力系數CL=Lcom/(qSref),迎角指令αcom可根據CL在當前高度和馬赫數下反插值求得。

由于飛行器傾側角的范圍為-180°～180°,需要對式(27)進行變換以得到傾側角指令。令χ=ay2+gcosγ,有:

5 仿真結果及分析

本文以CAV-H為對象,迎角范圍為0°～20°,落角約束γf=-90°。仿真初始條件:飛行器初始位置(60,30,-80)km,V0=1600 m/s,γ0=-10°,ψV0=-137°,α0=10°,σ0=0°,目標在坐標系原點,A0=A(X0)。狀態(tài)權重矩陣Q和控制權重矩陣R的選取對制導律的性能有很大的影響,本文按如下原則選取:在初始時刻,飛行器與目標距離較遠,視線角變化較慢,對制導精度要求不高,狀態(tài)權重系數可以取小一些,以避免產生較大的控制量。當飛行器接近目標時,為了獲得較高的制導精度,需要較大的權重系數。同時,由于對飛行器終端速度大小和視線方位角沒有約束,相應的狀態(tài)權重系數可以取得很小。相關參數選取如下:

Q=diag(2e4/r,1e-3,6.8e12/r,9.5e6/r,

1e-3,1.65e8/r)

R=diag(5e5,3e5,3e5)

l1=l2=10,k1=k2=0.9

仿真結果如圖2～圖5所示。圖2和圖3分別為飛行器的三維彈道曲線和彈道傾角變化曲線?？梢钥闯?飛行器飛行彈道光滑平穩(wěn),經82.05 s命中目標,著地點為(0.54,-0.44) km,彈道傾角收斂到-89.2°,能夠滿足制導精度的要求和落角約束。圖4和圖5分別為迎角變化曲線和傾側角變化曲線。從圖中可以看出,在18.6 s前,飛行器以最大迎角飛行,主要是為了使飛行器航向快速對準目標;48.7 s后,飛行器迎角增大主要是為了下壓彈道,使彈道傾角收斂到期望落角,最后迎角迅速減小,收斂至2.8°,末端迎角較小。

圖2 三維彈道曲線Fig.2 3D trajectories

圖3 彈道傾角變化曲線Fig.3 Flight path angle curve

圖4 迎角變化曲線Fig.4 Angle of attack curve

圖5 傾側角變化曲線Fig.5 Bank angle curve

6 結束語

本文基于θ-D次優(yōu)控制方法,設計了一種滿足落角約束的三維末制導律。對于采用BTT控制方式的飛行器,該制導律不需要進行通道解耦,是一種具有閉環(huán)形式的次優(yōu)制導律,控制精度高,計算量小,易于工程實現(xiàn)。仿真結果表明,本文所設計的制導律能滿足制導精度要求和落角約束。同時,本文對于存在強烈耦合作用的BTT飛行器的制導系統(tǒng)設計具有一定的參考意義。需要說明的是,該制導律并沒有考慮目標的機動和隨機干擾因素的影響,其打擊機動目標的能力和魯棒性有待進一步驗證。

參考文獻：

[1] 韓大鵬,孫未蒙,鄭志強,等.一種基于李群方法的新型三維制導律設計[J].航空學報,2009, 30(3):468-475.

[2] 彭雙春,潘亮,韓大鵬,等.一種新型三維制導律設計的非線性方法[J].航空學報,2010,31(10):2018-2025.

[3] Xin M,Balakrishnan S N.A new method for suboptimal control of a class of nonlinear systems[J].Optimal Control Applications & Methods,2006,26(2):55-83.

[4] Xin M,Balakrishnan S N,Stansbery D T,et al.Nonlinear missile autopilot design with theta-Dtechnique[J].Journal of Guidance,Control, and Dynamics,2004,27(3):406-417.

[5] Xin M,Balakrishnan S N,Ohlmeyer E J.Integrated guidance and control of missiles withθ-Dmethod[J].IEEE Transactions on Control Systems Technology,2006,14(6):981-992.