民族地區(qū)的數(shù)學教育既是國際數(shù)學教育的研究熱點，又是我國數(shù)學教育研究的薄弱領(lǐng)域，在回顧與交流民族地區(qū)數(shù)學教育的發(fā)展歷程中總結(jié)經(jīng)驗，才能更好地促進民族地區(qū)數(shù)學教育的進一步發(fā)展。中央民族大學教授孫曉天、何偉，貴州師范大學教授夏小剛，西北民族大學教授范忠雄及其他數(shù)學教育工作者集聚北京師范大學英東學術(shù)會堂第三講學廳，就少數(shù)民族的數(shù)學教育與數(shù)學學習情況進行探討。

一、民族地區(qū)的數(shù)學教育情況

我國是一個多民族的國家，但各個民族地區(qū)的教育水平發(fā)展不一，“關(guān)于我國少數(shù)民族地區(qū)義務教育階段數(shù)學課程現(xiàn)狀”的調(diào)研工作已經(jīng)連續(xù)開展了4年。為此，中央民族大學的何偉教授與孫曉天教授從學生與教師的角度具體介紹了少數(shù)民族地區(qū)的學生和教師對數(shù)學課程的看法。他們以民族地區(qū)的學生與教師為對象，采用數(shù)學測試、5至8年級的學生調(diào)查問卷、教師訪談、課堂觀察等多種形式在民族地區(qū)的縣鄉(xiāng)、相關(guān)的省會城市進行調(diào)查，同時也對北京市的學校進行調(diào)查，給予多重參照，讓調(diào)查所得到的結(jié)論更為客觀與合理。何教授指出，調(diào)查范圍主要集中在西藏、新疆、寧夏、廣西、甘肅、貴州等地區(qū)的115所中小學校，共發(fā)放6 948份問卷，參與訪談的數(shù)學教師935人?；谡{(diào)研得到的數(shù)據(jù)，他們對學生的學習態(tài)度進行了分析，認為民族地區(qū)的學生喜歡學習數(shù)學，這一比例達到58%，而且這些地區(qū)的學生普遍認同數(shù)學具有實用價值，對生活有用。在對民族地區(qū)學生數(shù)學學習態(tài)度進行調(diào)查時發(fā)現(xiàn)，他們的學習態(tài)度并不差，甚至比大城市要高，但中學生與小學生在這一方面存在較大的差異，小學生喜歡數(shù)學的比例達89%，而中學生喜歡數(shù)學的比例則為62%，存在隨著學生年齡的增加，他們對數(shù)學也逐漸疏離的情況。

通過將民族地區(qū)與省會城市學生學習數(shù)學的情況進行比較，何教授指出，民族地區(qū)的學生雖然數(shù)學學業(yè)成績較差，但他們對數(shù)學學習的態(tài)度并不差，認為數(shù)學學習貼近生活、更有用，他們的學習熱情更高，相反，城市的學生更看重數(shù)學在考試當中的作用。而且，民族地區(qū)的很多學生都會本民族的語言與文字，但是他們對漢語、普通話的認同與大城市的學生幾乎達到了一致的水平。并且，在與北京市的學生情況進行對比后，何教授指出，在數(shù)學學習態(tài)度上，民族地區(qū)省會城市的學生和北京市的學生更為接近，但在問題處理方面的方式較為單一，通常會問教師，很少有與教師不同的想法。

此外，基于對900多名教師的訪談，何教授指出，這些民族地區(qū)的教師普遍認為數(shù)學課程改革的方向值得堅持，認為新課程注重形象思維，靈活多樣；注重過程，有深度和廣度，對學生的成長有好處，但他們也認為課程難度大，與學生的認知水平不符。還有些教師指出教材過于都市化，使得他們?nèi)菀壮霈F(xiàn)一些困惑，如不適應教材采用混編的方式、很難把握能力性目標、不知如何應對考與教的分離、課外教輔材料較為混亂、擔憂數(shù)學雙語教學等。在有本民族語言文字的民族地區(qū)，何教授指出，受訪教師反映最多的問題是數(shù)學雙語教學方面的問題，他們認為在認同雙語教學必要性的同時，也會對當?shù)仉p語教學的現(xiàn)狀表示出不同程度的擔憂，而雙語教學對教師的要求比較高，短期的培訓難以解決雙語師資的提高問題。

基于調(diào)查分析與訪談內(nèi)容，何教授認為我國少數(shù)民族地區(qū)學生的數(shù)學學習態(tài)度令人鼓舞，他們普遍喜歡數(shù)學，甚至比城里的孩子更愿意學習數(shù)學，而且民族地區(qū)的教師雖然整體上在水平、能力和待遇方面可能都會略遜一籌，但他們對職業(yè)的真誠和改革的寄托高于全國水平。同時，她認為民族地區(qū)應重視教學方式，大力推進課堂教學方式的改革，拓展啟發(fā)式教學和探究式教學的空間，增加民族地區(qū)數(shù)學課堂教學方式的豐富性。在推進數(shù)學雙語教學的同時，民族地區(qū)數(shù)學教育應先解決教材建設的問題，關(guān)注以何種語言為重心、是否要融入民族地區(qū)的現(xiàn)實生活背景、內(nèi)容體系是否一定要照抄照搬主流教材等問題。

為此，何教授認為民族地區(qū)要在下列幾個方面進行思考：一是民族地區(qū)的數(shù)學課程發(fā)展要有更扎實的舉措，得到教師的認同，讓教育理念與教育要求融入到課程內(nèi)容與日常教學中，將能力性目標顯性化。二是要努力保持民族地區(qū)數(shù)學教育的“綠色”，保持民族地區(qū)教師的改革熱情，留住學生對數(shù)學的喜歡，這是比搞題型教育、應試教育更重要的原則問題。

作為中國少數(shù)民族之一的藏族，這個民族的學生，尤其是理科生的數(shù)學學習狀況如何，這也應該是少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育關(guān)注的重點之一。為此，西北民族大學教授范忠雄以西北民族大學藏族理科生為例調(diào)查了他們的數(shù)學學習狀況。他認為，數(shù)學是理科各專業(yè)的基礎(chǔ)學科，數(shù)學成績的高低和好壞直接影響理科學生后續(xù)課程的學習，并指出由于數(shù)學基礎(chǔ)薄弱，曾有2名藏漢雙語數(shù)學專業(yè)的學生在入學半年后轉(zhuǎn)入文理兼招的工商管理專業(yè)學習；還有一些學生由于多科成績不及格，拿不到相應的學分而跟班試讀，其中的2名學生由于跟班試讀成績兩次不合格被勸退學；也有一些學生本科畢業(yè)之后跨專業(yè)考取文科專業(yè)碩士研究生或與數(shù)學沒多大關(guān)系的其他專業(yè)的研究生，對理科的繼續(xù)學習沒有自信心，無力繼續(xù)深造，這些都說明少數(shù)民族地區(qū)理科生在數(shù)學學習方面存在較大的困難，學習動力不足。所以，范教授指出，他主要針對西北民族大學藏漢雙語數(shù)學與應用數(shù)學、物理、工商管理專業(yè)的107名學生進行調(diào)查，考察藏族大學生的數(shù)學學習狀況，采用調(diào)查問卷的方式，其中10項是關(guān)于學生上大學前的家庭狀況等基本問題的調(diào)查，29項是關(guān)于學習興趣、歸因、自信心、毅力、偏好、學習方法、學習目的等方面問題的調(diào)查，9項是關(guān)于教學外部條件方面問題的調(diào)查。通過對數(shù)據(jù)進行分析，范教授認為可以得出一些值得思考的問題，如高等教育如何與基礎(chǔ)教育有機銜接、教材的選定、教學語言的選擇、教學方法的改進等，同時，針對這些問題，他認為可以采用下列4種具有可操作性的措施：一是在語言、教學模式與教材等方面實現(xiàn)基礎(chǔ)教育與高等教育的有機銜接，二是選擇通用的教學語言，希望國家推行藏族的通用標準語，三是加大教師的培訓力度，增強教師的職業(yè)吸引力，四是開發(fā)適合藏族地區(qū)數(shù)學教學的教材資源。

既然少數(shù)民族數(shù)學教育受到我國乃至全球數(shù)學教育領(lǐng)域的重視，那么人們在這一領(lǐng)域的研究狀況如何，為此，中央民族大學講師蘇傲雪基于對文獻梳理的分析與思考，對我國少數(shù)民族數(shù)學教育研究的現(xiàn)狀進行整理與歸納，以期進一步推進我國少數(shù)民族數(shù)學教育研究的良性發(fā)展，同時也對我國少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育研究進行了展望。她以“中國學術(shù)期刊網(wǎng)絡出版總庫”收錄的文獻作為數(shù)據(jù)來源，搜索全文中含有“民族”和“數(shù)學”字段的文章，不限時間跨度，并剔除與少數(shù)民族數(shù)學教育無關(guān)的數(shù)據(jù)源，最終篩選出561篇文獻作為研究對象，對文獻的數(shù)量分布、期刊分布、研究階段分布、作者身份分布、選題方向以及主要研究方法進行統(tǒng)計分析。從文獻數(shù)量的分布上看，她指出第一篇有關(guān)少數(shù)民族教育的文章發(fā)表在1986年，從1986年至2013年存在較為明顯的增長趨勢，大體可以分為三個階段：一是2003年以前，每年發(fā)表的有關(guān)少數(shù)民族數(shù)學教育的文章數(shù)量比較少，只有幾篇；二是從2003年至2007年，這一趨勢有了較平穩(wěn)的增長，大約是10～20篇左右；三是從2008年以來，文章數(shù)目有了跨越式的增長，個別年份甚至會出現(xiàn)逼近100篇的情況。也就是說，在2003年，我國在少數(shù)民族數(shù)學教育方面的研究比較零星，沒有引起學術(shù)界的足夠重視，而自2008年以來，少數(shù)民族數(shù)學教育研究受到高度重視，正在成長為數(shù)學教育領(lǐng)域的一個新的學術(shù)研究生長點。

同時，蘇老師指出，從發(fā)表相關(guān)的期刊分布來看，561篇文獻分布于240種期刊雜志中，雖然期刊數(shù)量比較多，但是每本期刊刊登的數(shù)量僅僅有2～3篇，受關(guān)注程度不高，而且這些文章大多出現(xiàn)在民族類、民族教育類或民族地區(qū)師范類高校的學報上，還有一些會出現(xiàn)在和教育相關(guān)的一些主流期刊中，但發(fā)表在核心期刊上的文章數(shù)量低于文獻總量的30%，這說明在論文質(zhì)量的水平提升上有比較大的空間。從研究階段分布來看，她指出主要分為中小學教育（54%）、通識性研究（13%）、職業(yè)教育（3%）、預科（8%）與高等教育（22%），能夠看出基礎(chǔ)教育是少數(shù)民族數(shù)學教育研究的重心，預科教育中的數(shù)學教育正在構(gòu)成我國高校數(shù)學教育研究的一個特色領(lǐng)域，而且主要涉及少數(shù)民族數(shù)學教育的基本概念和基本理論的通識性研究還遠未達到所需的標準和要求。此外，從作者身份的分布進行統(tǒng)計，高等院校占77%，可以看出這些高等院校的教師是目前少數(shù)民族數(shù)學教育研究領(lǐng)域的主力軍，而中小學教師的比例不高，僅為12%。

此外，她還從選題與內(nèi)容方面進行了分析，認為這些文章主要涉及數(shù)學教育與民族文化的關(guān)系（11%）、數(shù)學課程（7%）、數(shù)學雙語教學（5%）、數(shù)學教學（31%）、學生數(shù)學學習（36%）、數(shù)學教師專業(yè)發(fā)展（4%）及其他（6%），可以看出當前少數(shù)民族數(shù)學教育的研究范圍很廣，幾乎涵蓋了數(shù)學教育研究的各個領(lǐng)域。而且，具體選題方向也呈現(xiàn)出明顯的不均衡狀態(tài)，主要集中在教師教學與學生學習的研究方面，對數(shù)學學習與少數(shù)民族語言、文化背景之間的研究相對較少，采用的研究方法也主要是思辨研究和實證研究。問卷調(diào)查法與測試法應慢慢地變成少數(shù)民族數(shù)學教育研究的一個方法。

基于上述分析，她認為從文獻的視角對少數(shù)民族數(shù)學教育進行分析具有一定的啟迪和推進作用，能夠發(fā)現(xiàn)少數(shù)民族數(shù)學教育研究領(lǐng)域的弱項與數(shù)學教育事業(yè)發(fā)展的瓶頸，可以將學術(shù)研究與民族地區(qū)數(shù)學教育事業(yè)的發(fā)展緊密聯(lián)系起來。為此，她希望國家的數(shù)學課程政策應當向有利于少數(shù)民族學生發(fā)展的方向適度傾斜，在進行數(shù)學雙語教學時要以學科為重心，充分關(guān)注民族地區(qū)數(shù)學教師的專業(yè)發(fā)展，并在對民族地區(qū)數(shù)學教育進行研究時加強定量分析方法的運用。

二、有關(guān)幾何思維水平的研究

《全日制義務教育數(shù)學課程標準（實驗稿）》和《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》在幾何內(nèi)容的設置方面出現(xiàn)了較大的變化，刪減了部分內(nèi)容，降低了難度，但貴州師范大學教授夏小剛認為在基礎(chǔ)教育數(shù)學課程改革的全面推進和不斷深化中，令人遺憾的是關(guān)于學生幾何思維水平發(fā)展的實證性研究依然比較少。因此，他們以黔東南侗族與漢族初中學生的幾何思維水平進行比較研究，以期可以研究不同文化背景下學生的幾何思維水平及其差異在促進民族地區(qū)數(shù)學教育發(fā)展方面所起的作用。他們以黔東南榕江縣L中學（所在區(qū)域侗族文化底蘊濃郁，基本上使用侗語交流）與丹寨縣D中學（所在區(qū)域長期接受漢文化教育）的學生作為研究對象，其使用的教材是2012年人民教育出版社出版的義務教育教科書。夏教授指出，他們編制了七、八、九三個年級學生的幾何思維水平測試卷，每個年級的測試卷共20道題，并對這些題目進行分層，5題一個層次（0—4），當學生答對某個層次的任意4題或者以上時，則認為該學生的幾何思維達到了該水平。同時，他們也根據(jù)可能影響學生幾何思維層次的因素編制侗族與漢族學生文化背景調(diào)查問卷，研究發(fā)現(xiàn)，伴隨年級的升高，侗族、漢族學生的幾何思維水平逐步向更高的層次轉(zhuǎn)化，同時幾何思維水平越低，其轉(zhuǎn)化越快。整體而言，七年級學生的幾何思維水平集中在水平1～2，八年級學生的幾何思維水平集中在水平2，九年級學生的幾何思維水平集中在水平2～3。在對侗族、漢族初中學生的幾何思維水平進行比較時可以發(fā)現(xiàn)，兩個民族的七、八年級學生的幾何思維水平在民族文化背景方面存在顯著差異，而九年級侗族學生與漢族學生的幾何思維水平不存在顯著的民族文化背景差異。而且，在分析兩個民族學生的性別對幾何思維水平的影響時，夏教授指出，七年級和八年級學生的幾何思維水平存在性別差異，即女生的幾何思維水平高于男生，但九年級學生的幾何思維不存在性別差異，基本上持平。最后，他認為語言是在文化背景中影響最大的因素，他們會在思維策略與解題策略方面進行深入探究，使語言障礙的影響最小化。

幾何思維水平是指學生在解決問題過程中對幾何圖形的觀察、分解、組合和想象所到達的操作水平。西南大學教授黃燕蘋通過對西南大學附屬中學“折紙”數(shù)學思維活動的研究與分析，發(fā)現(xiàn)學生的幾何思維水平和操作水平存在驚人的相似，特別是學生在解答問題的過程中的思維水平和20世紀80年代范希爾提出的三個思維水平接近，所以她認為可以用學生外在的操作水平來衡量他們的幾何思維水平。同時，她將幾何思維水平劃分為直觀水平——即直接根據(jù)圖形或用試誤的方式來解決問題、描述水平——即根據(jù)圖形特征或利用圖形性質(zhì)來解決問題及理論水平——即通過演繹推理來解決問題。因此，她指出可以按照四個維度，即圖形的觀察、分解、組合與想象形成測試題目。測試卷共分為7題，第1、2題主要考查學生對圖形觀察過程中表現(xiàn)的幾何思維水平，第3、4題主要考查學生在圖形分解過程中表現(xiàn)出的幾何思維水平，第5、6題考查學生在圖形合成過程中所表現(xiàn)的結(jié)合思維水平，第7題主要考查學生對圖形想象過程中表現(xiàn)出的幾何思維水平。通過對四川阿壩州初一、初二兩個年級的彝族與藏族學生進行調(diào)查，黃教授指出，這兩個年級學生的幾何思維整體上處于直觀水平，在圖形觀察、圖形分解和圖形合成這三個操作維度上，達到第三個思維水平的學生比例沒有超過11%，在圖形分解和圖形合成的操作層面，沒有學生達到理論水平，僅僅有少數(shù)學生在圖形想象操作維度表現(xiàn)出一定的理論水平。此外，黃教授認為影響學生幾何思維水平的因素眾多，在少數(shù)民族地區(qū)主要有以下兩個因素：一是語言問題和教具的缺失，在直觀教具匱乏的情況下，通過教師的語言描述讓學生理解幾何概念、判斷和推理是非常困難的；二是與學習代數(shù)相比，幾何的可模仿性較低。

因此，她認為要加強少數(shù)民族地區(qū)中小學數(shù)學教學語言的實驗研究。在少數(shù)民族數(shù)學教育中，無論是數(shù)學教材的編譯或編寫，還是數(shù)學教學中教師的課堂話語，都需要考慮聯(lián)系學生的本民族語言，結(jié)合本民族文化中的數(shù)學元素。此外，還要加強對中小學數(shù)學課程資源開發(fā)與應用的實驗研究，提高學生的幾何思維水平，重視對少數(shù)民族數(shù)學文化的挖掘與應用，讓學生從自己熟悉的直觀對象出發(fā)走進抽象，這會有助于學生理解抽象的幾何知識。

三、少數(shù)民族數(shù)學教育中民族文化的融入

數(shù)學是一種文化，數(shù)學教育是在特定文化環(huán)境中進行的。多元文化的發(fā)展，使得教師在實施數(shù)學教育時要遵循少數(shù)民族地區(qū)的一些合理或者優(yōu)秀的文化思想進行教育。新疆教育學院教授阿力木·阿不力克木認為現(xiàn)在在新疆少數(shù)民族數(shù)學教育界出現(xiàn)了這樣的悖論，即新疆少數(shù)民族學生的數(shù)學學習平均成績普遍低，但個別少數(shù)民族學生卻在全國高考數(shù)學學科中得到滿分。那么，我們要怎么看待新疆的少數(shù)民族數(shù)學教育呢？阿力木教授認為每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數(shù)學，而新疆少數(shù)民族與漢民族的數(shù)學文化存在巨大的差異，其數(shù)學文化是具有多種語言文字、多元的文化，而且由于新疆地域遼闊、交通不便，社會文化交流與經(jīng)濟發(fā)展也會受到制約，再加上當?shù)卣Z言與文字的多次改革，使得新疆少數(shù)民族的數(shù)學教育遠遠落后于漢族的數(shù)學教育。此外，阿力木教授認為，新疆的各民族都有著悠久的歷史和傳統(tǒng)文化，各個少數(shù)民族的文化都具有各自鮮明的特征，不僅體現(xiàn)在他們的日常生活中，也會內(nèi)隱于他們的觀念和對世界的看法中，而且這種文化傳統(tǒng)是根深蒂固、不易割斷的。由于教師與學生都具有自己的文化意識，會保留自己族群的文化特點，因此，在實施教學與進行學習時都會有意識或者無意識地體現(xiàn)各個民族的教育特征。最后，他認為新疆少數(shù)民族數(shù)學教育的一個重要特征是其語言與文化的多元性，及其宗教和地域環(huán)境對數(shù)學教育產(chǎn)生的影響和制約，這是當?shù)厣贁?shù)民族數(shù)學教育的重要問題。他認為要形成多元文化來整合數(shù)學教育，使其融入世界的數(shù)學文化中，并將數(shù)學作為一種文化滲入教材、融入課堂、融入教學，在文化層面讓學生進一步地理解數(shù)學、喜歡數(shù)學與熱愛數(shù)學，這是因為僅僅依靠數(shù)學知識的教學是無法培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神和實踐能力的優(yōu)秀人才的。

阿力木教授是從新疆地區(qū)少數(shù)民族的數(shù)學文化入手來談當?shù)氐臄?shù)學教育情況，來自浙江師范大學的碩士生陸吉健和張維忠教授一道對壯族數(shù)學文化進行了研究，提出基于認知水平分析的民族數(shù)學導學模式。他們認為壯族特色物質(zhì)文化中存在一些幾何變換，如可以以壯族的銅鼓為例進行旋轉(zhuǎn)變換與平移變換教學，以壯錦進行反射變換與旋轉(zhuǎn)變換教學，以壯族干欄式建筑進行相似變換教學等。同時，他們也指出可以進行民族數(shù)學的教育學轉(zhuǎn)化，基于數(shù)學知識角度進行提煉與梳理，基于認知水平進行民族數(shù)學分層，可以分為計算—操作性記憶、概念—概念性記憶、領(lǐng)會—說明性理解與分析—探究性理解。最后，他們認為可以通過簡易引導、比較引導、簡易+變化引導、鼓勵+展示引導等形式進行民族數(shù)學導學模式的構(gòu)想與并提出建議，認為這一導學模式的理念來自基礎(chǔ)教育課程改革理念——以學生為主體，精髓在于“民族數(shù)學素材”與“認知適切引導”，優(yōu)點在于可以發(fā)揮民族數(shù)學素材的作用，通過欣賞教學、先觀察后教學的操作引導學生學會學習、學會觀察、學會審美。

數(shù)學教育研究的一個重要應用就是指導一線教師的教學實踐，為此，來自貴州麻江杏山鎮(zhèn)中心學校的教師陳粵媛和凱里學院教授肖紹菊以小學數(shù)學課堂中苗族數(shù)學文化的融入這一教學實踐進行深入分析，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例講述她們是怎樣將苗族文化融入小學數(shù)學課程實踐中的。為了激起學生上課的精神，她以美麗的苗族舞蹈服飾為情境引入教學，喚起學生的親切感，通過欣賞苗族舞蹈服飾與虛擬的苗族小姑娘“苗苗”的提問，在與“苗苗”的對話中引出復習題，讓學生復習數(shù)的組成、兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘以整十數(shù)，為本節(jié)課新內(nèi)容的教學進行鋪墊。之后，她會利用銀帽來探究新知，讓學生從苗家銀帽中發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學信息。在這個銀帽上，學生會發(fā)現(xiàn)有2個銀角、3片銀片，還有許多銀花，教師可以將學生的焦點放在銀角上，讓學生回答一行（6個）銀帽會有多少銀角，通過表內(nèi)乘法，學生會很容易得出答案。那么，兩行呢，則為兩位數(shù)乘以一位數(shù)，學生通過口算也會很容易得出答案。這時，教師要繼續(xù)進行追問，假如將這些銀帽擺成24行，每行12個，那共有多少個銀角呢？進而引出本節(jié)課要講授的新知識。在如何將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學的教學課程中，她指出，可以采用讓學生獨立思考、合作探究、自主解決問題的方式，教師給予指導即可。要想讓學生更好地掌握知識，她認為可以通過一些實踐與練習，如“算一算”、“比一比”、“試一試”等，既讓學生學會數(shù)學知識，又能讓學生了解一些簡單的苗族文化，增強他們對民族文化的理解與熱愛。因此，她認為將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學課堂，可以讓數(shù)學課堂更加生動有趣、豐富多彩，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，在數(shù)學教學過程中實現(xiàn)民族文化的傳承。

我們在關(guān)注少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育發(fā)展狀況時，也會對當?shù)匦W數(shù)學教材給予關(guān)注。在西南大學碩士生陳朝東、蔣秋與張陽開的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，我國大部分地區(qū)使用的都是內(nèi)陸版教材，就算在少數(shù)民族地區(qū)，通常也是使用人民教育出版社的教材直譯得到的版本，他們認為這種大規(guī)模的內(nèi)陸文化式的教材中要關(guān)注一些民族元素的滲透，這是因為漢族聚居區(qū)也存在一些少數(shù)民族，對少數(shù)民族元素會有一定的認同感，可以給其他民族的學生介紹一些其他民族的文化，應該用多元文化的視角去審視與發(fā)展數(shù)學教科書。此外，他們指出，因為考慮自然元素這一影響因素，并沒有使用少數(shù)民族文化這個概念，認為少數(shù)民族具有代表性的東西不僅有社會文化的元素，還有自然元素，如地質(zhì)、山川等，并對人民教育出版社版數(shù)學教材、西南師范大學出版社版數(shù)學教材、北京師范大學出版社版數(shù)學教材與江蘇教育出版社版數(shù)學教材中的少數(shù)民族元素的內(nèi)容、分布與呈現(xiàn)方式進行統(tǒng)計分析和比較。研究發(fā)現(xiàn)，上述各大版本的教材中少數(shù)民族元素出現(xiàn)的總次數(shù)依次是21、46、17、13。同時，他們指出，在少數(shù)民族元素直接體現(xiàn)中，西南師范大學出版社版教材中有8次是可以直接看到少數(shù)民族名稱或者少數(shù)民族區(qū)域名稱的，相對來說，這是少數(shù)民族元素滲透較多的教材，基本上是以少數(shù)民族區(qū)域名稱的滲透為主。然而，他們認為少數(shù)民族元素還應有相對間接的體現(xiàn)，如少數(shù)民族地區(qū)的自然環(huán)境資源，如地形、地貌、動植物等以及社會民族地區(qū)的社會文化傳統(tǒng)，如民族建筑、民族區(qū)域設置、民族服飾、民族習俗等。因此，他們認為數(shù)學教材中少數(shù)民族元素在類型上要表現(xiàn)出一定的多樣性，適當?shù)卦黾用褡逦幕貏e是民族習俗、民族藝術(shù)、民族區(qū)域設施，有利于人們更好地認識少數(shù)民族文化，有利于民族間的交流和倡導多元文化。此外，為了更好地傳承少數(shù)民族元素，教材應該以顯性方式將少數(shù)民族元素的民族名稱、民族區(qū)域名稱突顯出來，既是對勤勞的少數(shù)民族同胞的尊重，又便于學生全面地了解與認識少數(shù)民族元素。而且，數(shù)學教材中少數(shù)民族元素的滲透要從一年級開始，盡早地進行多元文化意識的滲透，在整個小學階段，進行潛移默化的影響，且伴隨年級的升高，逐年增加少數(shù)民族元素滲透的廣度與數(shù)量，尊重學生的認知水平和知識能力水平。

我國幅員遼闊、民族眾多，如何實現(xiàn)教育的均衡發(fā)展，實現(xiàn)少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育更好的發(fā)展，這一任務任重而道遠，需要我們所有人的不懈努力。

（責任編輯：孫建輝）

三、少數(shù)民族數(shù)學教育中民族文化的融入

數(shù)學是一種文化，數(shù)學教育是在特定文化環(huán)境中進行的。多元文化的發(fā)展，使得教師在實施數(shù)學教育時要遵循少數(shù)民族地區(qū)的一些合理或者優(yōu)秀的文化思想進行教育。新疆教育學院教授阿力木·阿不力克木認為現(xiàn)在在新疆少數(shù)民族數(shù)學教育界出現(xiàn)了這樣的悖論，即新疆少數(shù)民族學生的數(shù)學學習平均成績普遍低，但個別少數(shù)民族學生卻在全國高考數(shù)學學科中得到滿分。那么，我們要怎么看待新疆的少數(shù)民族數(shù)學教育呢？阿力木教授認為每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數(shù)學，而新疆少數(shù)民族與漢民族的數(shù)學文化存在巨大的差異，其數(shù)學文化是具有多種語言文字、多元的文化，而且由于新疆地域遼闊、交通不便，社會文化交流與經(jīng)濟發(fā)展也會受到制約，再加上當?shù)卣Z言與文字的多次改革，使得新疆少數(shù)民族的數(shù)學教育遠遠落后于漢族的數(shù)學教育。此外，阿力木教授認為，新疆的各民族都有著悠久的歷史和傳統(tǒng)文化，各個少數(shù)民族的文化都具有各自鮮明的特征，不僅體現(xiàn)在他們的日常生活中，也會內(nèi)隱于他們的觀念和對世界的看法中，而且這種文化傳統(tǒng)是根深蒂固、不易割斷的。由于教師與學生都具有自己的文化意識，會保留自己族群的文化特點，因此，在實施教學與進行學習時都會有意識或者無意識地體現(xiàn)各個民族的教育特征。最后，他認為新疆少數(shù)民族數(shù)學教育的一個重要特征是其語言與文化的多元性，及其宗教和地域環(huán)境對數(shù)學教育產(chǎn)生的影響和制約，這是當?shù)厣贁?shù)民族數(shù)學教育的重要問題。他認為要形成多元文化來整合數(shù)學教育，使其融入世界的數(shù)學文化中，并將數(shù)學作為一種文化滲入教材、融入課堂、融入教學，在文化層面讓學生進一步地理解數(shù)學、喜歡數(shù)學與熱愛數(shù)學，這是因為僅僅依靠數(shù)學知識的教學是無法培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神和實踐能力的優(yōu)秀人才的。

阿力木教授是從新疆地區(qū)少數(shù)民族的數(shù)學文化入手來談當?shù)氐臄?shù)學教育情況，來自浙江師范大學的碩士生陸吉健和張維忠教授一道對壯族數(shù)學文化進行了研究，提出基于認知水平分析的民族數(shù)學導學模式。他們認為壯族特色物質(zhì)文化中存在一些幾何變換，如可以以壯族的銅鼓為例進行旋轉(zhuǎn)變換與平移變換教學，以壯錦進行反射變換與旋轉(zhuǎn)變換教學，以壯族干欄式建筑進行相似變換教學等。同時，他們也指出可以進行民族數(shù)學的教育學轉(zhuǎn)化，基于數(shù)學知識角度進行提煉與梳理，基于認知水平進行民族數(shù)學分層，可以分為計算—操作性記憶、概念—概念性記憶、領(lǐng)會—說明性理解與分析—探究性理解。最后，他們認為可以通過簡易引導、比較引導、簡易+變化引導、鼓勵+展示引導等形式進行民族數(shù)學導學模式的構(gòu)想與并提出建議，認為這一導學模式的理念來自基礎(chǔ)教育課程改革理念——以學生為主體，精髓在于“民族數(shù)學素材”與“認知適切引導”，優(yōu)點在于可以發(fā)揮民族數(shù)學素材的作用，通過欣賞教學、先觀察后教學的操作引導學生學會學習、學會觀察、學會審美。

數(shù)學教育研究的一個重要應用就是指導一線教師的教學實踐，為此，來自貴州麻江杏山鎮(zhèn)中心學校的教師陳粵媛和凱里學院教授肖紹菊以小學數(shù)學課堂中苗族數(shù)學文化的融入這一教學實踐進行深入分析，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例講述她們是怎樣將苗族文化融入小學數(shù)學課程實踐中的。為了激起學生上課的精神，她以美麗的苗族舞蹈服飾為情境引入教學，喚起學生的親切感，通過欣賞苗族舞蹈服飾與虛擬的苗族小姑娘“苗苗”的提問，在與“苗苗”的對話中引出復習題，讓學生復習數(shù)的組成、兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘以整十數(shù)，為本節(jié)課新內(nèi)容的教學進行鋪墊。之后，她會利用銀帽來探究新知，讓學生從苗家銀帽中發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學信息。在這個銀帽上，學生會發(fā)現(xiàn)有2個銀角、3片銀片，還有許多銀花，教師可以將學生的焦點放在銀角上，讓學生回答一行（6個）銀帽會有多少銀角，通過表內(nèi)乘法，學生會很容易得出答案。那么，兩行呢，則為兩位數(shù)乘以一位數(shù)，學生通過口算也會很容易得出答案。這時，教師要繼續(xù)進行追問，假如將這些銀帽擺成24行，每行12個，那共有多少個銀角呢？進而引出本節(jié)課要講授的新知識。在如何將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學的教學課程中，她指出，可以采用讓學生獨立思考、合作探究、自主解決問題的方式，教師給予指導即可。要想讓學生更好地掌握知識，她認為可以通過一些實踐與練習，如“算一算”、“比一比”、“試一試”等，既讓學生學會數(shù)學知識，又能讓學生了解一些簡單的苗族文化，增強他們對民族文化的理解與熱愛。因此，她認為將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學課堂，可以讓數(shù)學課堂更加生動有趣、豐富多彩，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，在數(shù)學教學過程中實現(xiàn)民族文化的傳承。

我們在關(guān)注少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育發(fā)展狀況時，也會對當?shù)匦W數(shù)學教材給予關(guān)注。在西南大學碩士生陳朝東、蔣秋與張陽開的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，我國大部分地區(qū)使用的都是內(nèi)陸版教材，就算在少數(shù)民族地區(qū)，通常也是使用人民教育出版社的教材直譯得到的版本，他們認為這種大規(guī)模的內(nèi)陸文化式的教材中要關(guān)注一些民族元素的滲透，這是因為漢族聚居區(qū)也存在一些少數(shù)民族，對少數(shù)民族元素會有一定的認同感，可以給其他民族的學生介紹一些其他民族的文化，應該用多元文化的視角去審視與發(fā)展數(shù)學教科書。此外，他們指出，因為考慮自然元素這一影響因素，并沒有使用少數(shù)民族文化這個概念，認為少數(shù)民族具有代表性的東西不僅有社會文化的元素，還有自然元素，如地質(zhì)、山川等，并對人民教育出版社版數(shù)學教材、西南師范大學出版社版數(shù)學教材、北京師范大學出版社版數(shù)學教材與江蘇教育出版社版數(shù)學教材中的少數(shù)民族元素的內(nèi)容、分布與呈現(xiàn)方式進行統(tǒng)計分析和比較。研究發(fā)現(xiàn)，上述各大版本的教材中少數(shù)民族元素出現(xiàn)的總次數(shù)依次是21、46、17、13。同時，他們指出，在少數(shù)民族元素直接體現(xiàn)中，西南師范大學出版社版教材中有8次是可以直接看到少數(shù)民族名稱或者少數(shù)民族區(qū)域名稱的，相對來說，這是少數(shù)民族元素滲透較多的教材，基本上是以少數(shù)民族區(qū)域名稱的滲透為主。然而，他們認為少數(shù)民族元素還應有相對間接的體現(xiàn)，如少數(shù)民族地區(qū)的自然環(huán)境資源，如地形、地貌、動植物等以及社會民族地區(qū)的社會文化傳統(tǒng)，如民族建筑、民族區(qū)域設置、民族服飾、民族習俗等。因此，他們認為數(shù)學教材中少數(shù)民族元素在類型上要表現(xiàn)出一定的多樣性，適當?shù)卦黾用褡逦幕?，特別是民族習俗、民族藝術(shù)、民族區(qū)域設施，有利于人們更好地認識少數(shù)民族文化，有利于民族間的交流和倡導多元文化。此外，為了更好地傳承少數(shù)民族元素，教材應該以顯性方式將少數(shù)民族元素的民族名稱、民族區(qū)域名稱突顯出來，既是對勤勞的少數(shù)民族同胞的尊重，又便于學生全面地了解與認識少數(shù)民族元素。而且，數(shù)學教材中少數(shù)民族元素的滲透要從一年級開始，盡早地進行多元文化意識的滲透，在整個小學階段，進行潛移默化的影響，且伴隨年級的升高，逐年增加少數(shù)民族元素滲透的廣度與數(shù)量，尊重學生的認知水平和知識能力水平。

我國幅員遼闊、民族眾多，如何實現(xiàn)教育的均衡發(fā)展，實現(xiàn)少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育更好的發(fā)展，這一任務任重而道遠，需要我們所有人的不懈努力。

（責任編輯：孫建輝）

三、少數(shù)民族數(shù)學教育中民族文化的融入

數(shù)學是一種文化，數(shù)學教育是在特定文化環(huán)境中進行的。多元文化的發(fā)展，使得教師在實施數(shù)學教育時要遵循少數(shù)民族地區(qū)的一些合理或者優(yōu)秀的文化思想進行教育。新疆教育學院教授阿力木·阿不力克木認為現(xiàn)在在新疆少數(shù)民族數(shù)學教育界出現(xiàn)了這樣的悖論，即新疆少數(shù)民族學生的數(shù)學學習平均成績普遍低，但個別少數(shù)民族學生卻在全國高考數(shù)學學科中得到滿分。那么，我們要怎么看待新疆的少數(shù)民族數(shù)學教育呢？阿力木教授認為每個民族都有自己的文化，也就一定有屬于這個文化的數(shù)學，而新疆少數(shù)民族與漢民族的數(shù)學文化存在巨大的差異，其數(shù)學文化是具有多種語言文字、多元的文化，而且由于新疆地域遼闊、交通不便，社會文化交流與經(jīng)濟發(fā)展也會受到制約，再加上當?shù)卣Z言與文字的多次改革，使得新疆少數(shù)民族的數(shù)學教育遠遠落后于漢族的數(shù)學教育。此外，阿力木教授認為，新疆的各民族都有著悠久的歷史和傳統(tǒng)文化，各個少數(shù)民族的文化都具有各自鮮明的特征，不僅體現(xiàn)在他們的日常生活中，也會內(nèi)隱于他們的觀念和對世界的看法中，而且這種文化傳統(tǒng)是根深蒂固、不易割斷的。由于教師與學生都具有自己的文化意識，會保留自己族群的文化特點，因此，在實施教學與進行學習時都會有意識或者無意識地體現(xiàn)各個民族的教育特征。最后，他認為新疆少數(shù)民族數(shù)學教育的一個重要特征是其語言與文化的多元性，及其宗教和地域環(huán)境對數(shù)學教育產(chǎn)生的影響和制約，這是當?shù)厣贁?shù)民族數(shù)學教育的重要問題。他認為要形成多元文化來整合數(shù)學教育，使其融入世界的數(shù)學文化中，并將數(shù)學作為一種文化滲入教材、融入課堂、融入教學，在文化層面讓學生進一步地理解數(shù)學、喜歡數(shù)學與熱愛數(shù)學，這是因為僅僅依靠數(shù)學知識的教學是無法培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神和實踐能力的優(yōu)秀人才的。

阿力木教授是從新疆地區(qū)少數(shù)民族的數(shù)學文化入手來談當?shù)氐臄?shù)學教育情況，來自浙江師范大學的碩士生陸吉健和張維忠教授一道對壯族數(shù)學文化進行了研究，提出基于認知水平分析的民族數(shù)學導學模式。他們認為壯族特色物質(zhì)文化中存在一些幾何變換，如可以以壯族的銅鼓為例進行旋轉(zhuǎn)變換與平移變換教學，以壯錦進行反射變換與旋轉(zhuǎn)變換教學，以壯族干欄式建筑進行相似變換教學等。同時，他們也指出可以進行民族數(shù)學的教育學轉(zhuǎn)化，基于數(shù)學知識角度進行提煉與梳理，基于認知水平進行民族數(shù)學分層，可以分為計算—操作性記憶、概念—概念性記憶、領(lǐng)會—說明性理解與分析—探究性理解。最后，他們認為可以通過簡易引導、比較引導、簡易+變化引導、鼓勵+展示引導等形式進行民族數(shù)學導學模式的構(gòu)想與并提出建議，認為這一導學模式的理念來自基礎(chǔ)教育課程改革理念——以學生為主體，精髓在于“民族數(shù)學素材”與“認知適切引導”，優(yōu)點在于可以發(fā)揮民族數(shù)學素材的作用，通過欣賞教學、先觀察后教學的操作引導學生學會學習、學會觀察、學會審美。

數(shù)學教育研究的一個重要應用就是指導一線教師的教學實踐，為此，來自貴州麻江杏山鎮(zhèn)中心學校的教師陳粵媛和凱里學院教授肖紹菊以小學數(shù)學課堂中苗族數(shù)學文化的融入這一教學實踐進行深入分析，以“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”為例講述她們是怎樣將苗族文化融入小學數(shù)學課程實踐中的。為了激起學生上課的精神，她以美麗的苗族舞蹈服飾為情境引入教學，喚起學生的親切感，通過欣賞苗族舞蹈服飾與虛擬的苗族小姑娘“苗苗”的提問，在與“苗苗”的對話中引出復習題，讓學生復習數(shù)的組成、兩位數(shù)乘一位數(shù)、兩位數(shù)乘以整十數(shù)，為本節(jié)課新內(nèi)容的教學進行鋪墊。之后，她會利用銀帽來探究新知，讓學生從苗家銀帽中發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學信息。在這個銀帽上，學生會發(fā)現(xiàn)有2個銀角、3片銀片，還有許多銀花，教師可以將學生的焦點放在銀角上，讓學生回答一行（6個）銀帽會有多少銀角，通過表內(nèi)乘法，學生會很容易得出答案。那么，兩行呢，則為兩位數(shù)乘以一位數(shù)，學生通過口算也會很容易得出答案。這時，教師要繼續(xù)進行追問，假如將這些銀帽擺成24行，每行12個，那共有多少個銀角呢？進而引出本節(jié)課要講授的新知識。在如何將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學的教學課程中，她指出，可以采用讓學生獨立思考、合作探究、自主解決問題的方式，教師給予指導即可。要想讓學生更好地掌握知識，她認為可以通過一些實踐與練習，如“算一算”、“比一比”、“試一試”等，既讓學生學會數(shù)學知識，又能讓學生了解一些簡單的苗族文化，增強他們對民族文化的理解與熱愛。因此，她認為將苗族數(shù)學文化融入到小學數(shù)學課堂，可以讓數(shù)學課堂更加生動有趣、豐富多彩，從而激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，在數(shù)學教學過程中實現(xiàn)民族文化的傳承。

我們在關(guān)注少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育發(fā)展狀況時，也會對當?shù)匦W數(shù)學教材給予關(guān)注。在西南大學碩士生陳朝東、蔣秋與張陽開的調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，我國大部分地區(qū)使用的都是內(nèi)陸版教材，就算在少數(shù)民族地區(qū)，通常也是使用人民教育出版社的教材直譯得到的版本，他們認為這種大規(guī)模的內(nèi)陸文化式的教材中要關(guān)注一些民族元素的滲透，這是因為漢族聚居區(qū)也存在一些少數(shù)民族，對少數(shù)民族元素會有一定的認同感，可以給其他民族的學生介紹一些其他民族的文化，應該用多元文化的視角去審視與發(fā)展數(shù)學教科書。此外，他們指出，因為考慮自然元素這一影響因素，并沒有使用少數(shù)民族文化這個概念，認為少數(shù)民族具有代表性的東西不僅有社會文化的元素，還有自然元素，如地質(zhì)、山川等，并對人民教育出版社版數(shù)學教材、西南師范大學出版社版數(shù)學教材、北京師范大學出版社版數(shù)學教材與江蘇教育出版社版數(shù)學教材中的少數(shù)民族元素的內(nèi)容、分布與呈現(xiàn)方式進行統(tǒng)計分析和比較。研究發(fā)現(xiàn)，上述各大版本的教材中少數(shù)民族元素出現(xiàn)的總次數(shù)依次是21、46、17、13。同時，他們指出，在少數(shù)民族元素直接體現(xiàn)中，西南師范大學出版社版教材中有8次是可以直接看到少數(shù)民族名稱或者少數(shù)民族區(qū)域名稱的，相對來說，這是少數(shù)民族元素滲透較多的教材，基本上是以少數(shù)民族區(qū)域名稱的滲透為主。然而，他們認為少數(shù)民族元素還應有相對間接的體現(xiàn)，如少數(shù)民族地區(qū)的自然環(huán)境資源，如地形、地貌、動植物等以及社會民族地區(qū)的社會文化傳統(tǒng)，如民族建筑、民族區(qū)域設置、民族服飾、民族習俗等。因此，他們認為數(shù)學教材中少數(shù)民族元素在類型上要表現(xiàn)出一定的多樣性，適當?shù)卦黾用褡逦幕貏e是民族習俗、民族藝術(shù)、民族區(qū)域設施，有利于人們更好地認識少數(shù)民族文化，有利于民族間的交流和倡導多元文化。此外，為了更好地傳承少數(shù)民族元素，教材應該以顯性方式將少數(shù)民族元素的民族名稱、民族區(qū)域名稱突顯出來，既是對勤勞的少數(shù)民族同胞的尊重，又便于學生全面地了解與認識少數(shù)民族元素。而且，數(shù)學教材中少數(shù)民族元素的滲透要從一年級開始，盡早地進行多元文化意識的滲透，在整個小學階段，進行潛移默化的影響，且伴隨年級的升高，逐年增加少數(shù)民族元素滲透的廣度與數(shù)量，尊重學生的認知水平和知識能力水平。

我國幅員遼闊、民族眾多，如何實現(xiàn)教育的均衡發(fā)展，實現(xiàn)少數(shù)民族地區(qū)數(shù)學教育更好的發(fā)展，這一任務任重而道遠，需要我們所有人的不懈努力。

（責任編輯：孫建輝）