李君君

(南京財(cái)經(jīng)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院, 江蘇 南京 210023)

0 引言

二階常微分方程的通解中有兩個(gè)任意常數(shù),需要有兩個(gè)條件才能確定它們,如果把兩個(gè)條件都加在同一點(diǎn)上,就是初值問(wèn)題．如果在一個(gè)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)各加一個(gè)條件,這樣的問(wèn)題就叫做邊值問(wèn)題．對(duì)于常微分方程邊值問(wèn)題,我們可以將常微分方程轉(zhuǎn)化為積分方程,從而可以更加方便的求出方程的解．在這一過(guò)程中,有個(gè)很重要的方法就是利用Green函數(shù)．比如,對(duì)于二階非齊次常微分方程

p0(x)y″+p1(x)y′+p2(x)y=f(x)

的解即為

Green函數(shù)在常微分方程中的研究中有著重要的作用,利用它將原方程轉(zhuǎn)化為積分方程,可以廣泛應(yīng)用于流體力學(xué)、振動(dòng)理論、電子工程等學(xué)科中．顯然,邊值問(wèn)題解的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求常微分方程的Green函數(shù)的問(wèn)題．那么,同樣的,Green函數(shù)的唯一性也就確定了解的唯一性．所以求Green函數(shù)就是成為問(wèn)題的關(guān)鍵．關(guān)于如何求Green函數(shù),目前還沒有統(tǒng)一的方法．不同的資料給出了很多方法,主要是通過(guò)求方程的朗斯基行列式,利用朗斯基行列式求其解,通過(guò)進(jìn)一步的化簡(jiǎn),找出Green函數(shù),但這種方法計(jì)算較復(fù)雜,而且會(huì)因初值條件選擇的不同,使得計(jì)算難度加大．

本文將研究二階微分方程

L(y)=p0(x)y′′+p1(x)y′+p2(x)y=0

(1)

在一些邊界條件下的Green函數(shù)．我們所用的這種待定系數(shù)法是一種常見而且簡(jiǎn)單的方法,大部分常微分方程邊值問(wèn)題的Green函數(shù)都可以用這種方法求出．

本文注重研究方程(1)在周期邊界條件下的Green函數(shù)的表達(dá)式及解唯一性的判斷,從而給出一般方法．

對(duì)于邊界條件

(2)

設(shè)上述y(a),y′(a),y(b),y′(b)的一次式V1,V2是線性獨(dú)立的．

引理1[1]設(shè)ξ為(a,b)中的任意點(diǎn):a<ξ

1) 在a≤x≤b上,G(x,ξ)本身連續(xù);

3) 作為x的函數(shù),G(x,ξ)在[a,ξ)及(ξ,b]是方程(1)的解L(G)=0;

4) 滿足邊界條件:Vk(G)=0,k=1, 2.

1 周期邊界條件下的Green函數(shù)及證明.

首先設(shè)方程滿足邊界條件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b).

定理1 方程(1)的Green函數(shù)為

其中y1(x),y2(x)是方程(1)的解．

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無(wú)關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無(wú)關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．所以要求G(x,ξ)只要求出a1,a2,b1,b2即可．根據(jù)引理性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡(jiǎn)為

容易求出

(3)

接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)邊值條件y(a)=y(b),y′(a)=y′(b)及引理1的性質(zhì)3)有

G(a,ξ)=G(b,ξ),G′(a,ξ)=G′(b,ξ),

即

又因?yàn)閏1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以方程(1)的格林函數(shù)為

其中c1,c2如(3)所求,證畢．

引理2[1]如果邊值問(wèn)題(1)(2)只有零解y(x)=0,則算子L有且只有一個(gè)Green函數(shù)．

在定理1的證明中,我們不難看出證明的過(guò)程給出的求解二階線性常微分方程邊值問(wèn)題的Green函數(shù)的解法,也就是本文所介紹的待定系數(shù)法:

1) 求出方程的基本解組,再求出其通解．根據(jù)邊值條件判斷,是否只有零解,則再根據(jù)引理2,判斷Green函數(shù)是否唯一;

2) 若Green函數(shù)唯一,根據(jù)引理1的性質(zhì)3)構(gòu)造Green函數(shù);

3) 根據(jù)引理1的性質(zhì)1)，2)構(gòu)造方程組,再代入邊值條件求出系數(shù),從而解出Green函數(shù)．

例1 求邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)．

解方程的基本解組為e-x,xe-x,通解為y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2為任意常數(shù)．根據(jù)邊值條件,有C1=C1e-1+C2e-1,-C1+C2=-C1e-1,得C1=C2=0,即方程僅有零解y(x)=0．根據(jù)引理,Green函數(shù)唯一．設(shè)Green函數(shù)為

G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ,G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x,ξ

由引理1的性質(zhì)1),2)有

記c1=b1-a1,c2=b2-a2.

所以有

解得c1=ξeξ,c2=-eξ

又根據(jù)邊值條件,有G(0,ξ)=G(1,ξ),G′(0,ξ)=G′(1,ξ)即

又有b1-a1=c1=ξeξ,b2-a2=c2=-eξ.

容易解得

所以方程的Green函數(shù)是

2 方程在另外幾種邊界條件下的Green函數(shù)

下面我們以定理的形式給出其他邊值條件下的相應(yīng)結(jié)論及其證明．

定理2 二階邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無(wú)關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無(wú)關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡(jiǎn)為

容易求出

接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)邊值條件y(a)=y(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G(a,ξ)=G(b,ξ)=0.

即

又因?yàn)閏1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理3 二階邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無(wú)關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無(wú)關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡(jiǎn)為

容易求出

接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)邊值條件y(a)=y′(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,

即

又因?yàn)閏1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理4 二階邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無(wú)關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無(wú)關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,

G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡(jiǎn)為

容易求出

接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)邊值條件y′(a)=y(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G′(a,ξ)=G(b,ξ)=0,

即

又因?yàn)閏1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

定理5 二階邊值問(wèn)題

的Green函數(shù)為

證明設(shè)y1(x),y2(x)為方程的線性無(wú)關(guān)解,根據(jù)引理1的性質(zhì)3),函數(shù)G(x,ξ)在區(qū)間[a,ξ)及(ξ,b]可由上述線性無(wú)關(guān)解表出,即可設(shè)

G(x,ξ)=a1y1(x)+a2y2(x),a≤x<ξ,G(x,ξ)=b1y1(x)+b2y2(x),ξ

式中a1,a2,b1,b2是ξ的函數(shù)．

根據(jù)引理1的性質(zhì)1),2)我們可以得到下列方程組

不妨令ck=bk-ak,k=1,2.則上述方程組可化簡(jiǎn)為

容易求出

接下來(lái)我們?cè)俑鶕?jù)邊值條件y′(a)=y′(b)=0及引理1的性質(zhì)3)有G′(a,ξ)=G′(b,ξ)=0,

即

又因?yàn)閏1=b1-a1,c2=b2-a2,容易解出

所以Green函數(shù)為

在此,僅舉其中一例加以說(shuō)明．

的Green函數(shù)．

解由例1我們已經(jīng)知道方程的基本解組為e-x,xe-x,通解為y=C1e-x+C2xe-x,其中C1,C2為任意常數(shù)且C1=C2=0,即方程僅有零解y(x)=0．根據(jù)引理,Green函數(shù)唯一．設(shè)Green函數(shù)為

G(x,ξ)=a1e-x+a2xe-x, 0≤x<ξ,G(x,ξ)=b1e-x+b2xe-x,ξ

根據(jù)例1的結(jié)果有

c1=ξeξ,c2=-eξ,

根據(jù)邊值條件

G(0,ξ)=a1=0,G(1,ξ)=b1e-1+b2e-1=0,

所以

b1=c1+a1=ξeξ,b2=-ξeξ,a2=b2-c2=-ξeξ+eξ,

故Green函數(shù)為

G(x,ξ)=(-ξeξ+eξ)xe-x,0≤x<ξ,

G(x,ξ)=ξeξe-x-ξeξxe-x,ξ

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