關(guān)于丟番圖方程x3±64=Py2的整數(shù)解的研究

錢立凱, 普粉麗

(1.曲靖師范學(xué)院 教師教育學(xué)院, 云南 曲靖 655011; 2.普洱學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院, 云南 普洱 665000)

0 引言

方程

x3±a3=Dy2(x,y∈N,D>0,且無平方因子)

(1)

是一類重要的丟番圖方程,其整數(shù)解引起了人們的關(guān)注.a=1時,管訓(xùn)貴[1]、杜先存等[2-3]已有一些結(jié)論;a=3時,錢立凱、杜先存[4-5]已有一些結(jié)論;a=4時,目前的主要結(jié)論有:1994年,李復(fù)中[6]給出D只含一個6k+1型素數(shù)因子時丟番圖方程x3±64=3Dy2在一些條件下無非平凡解的充分條件;1994年,張海燕、李復(fù)中[7]給出D不能被3或6k+1型的素數(shù)整除且D≠k+2時丟番圖方程x3±64=Dy2無非平凡解的充分性條件;2008年,趙天[8]討論了丟番圖方程x3±23n=3Dy2(D=7,13,19,31)的解;2012年,張攀[9]研究了十個丟番圖方程x3±64=py2(p=7,13,19,37,43)的所有整數(shù)解.本文主要研究D為6k+1型素數(shù)時丟番圖方程x3±64=Py2解的情況.

定理1 設(shè)P≡5,17(mod24)為奇素數(shù)時,則丟番圖方程

x3-64=Py2

(2)

無x?0(mod2)正整數(shù)解.

定理2 設(shè)P≡5,17(mod24)為奇素數(shù)時,則丟番圖方程

x3+64=Py2

(3)

無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

定理1證明因為x?0(mod2),而P≡5,17(mod24)為奇素數(shù),故由(2)知,y?0,(mod2)所以x≡1(mod2),y≡1(mod2),又因為x3-64=(x-4)(x2+4x+16),所以gcd(x-4,x2+4x+16)=gcd(x-4,(x-4)2+12x)=gcd(x-4,(x-4)2+12(x-4)+48)=gcd(x-4,48)=gcd(x-4,3×24)=1或3,從而丟番圖方程(2)可以得出下列4種可能的情形:

情形1:x-4=Pu2,x2+4x+16=v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形2:x-4=u2,x2+4x+16=Pv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形4:x-4=3u2,x2+4x+16=3Pv2,y=3uv,gcd(u,v)=1.

下面分別討論丟番圖方程(2)在這4種情形下的所有解的情況.

情形1, 第二式可化為(x+2)2+12=v2,即v2-(x+2)2=12,則有(v+x+2)·(v-x-2)=12,可得x=0或-4,代到第一式可知x=0或-4,均不適合此式,因此該情形方程(2)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形2, 第二式可化為(x+2)2+12=Pv2,兩邊取模3得(x+2)2+12≡Pv2(mod3),又

而

得出矛盾,因此該情形方程(2)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形3, 因為x≡1(mod2),知u2≡1(mod2),即u2≡1(mod8).由于由于P≡5,17(mod24),知P≡1,5(mod8),可知x=3Pu2+4≡3,7(mod8),則x2+4x+16≡5(mod8).又因為x≡1(mod2),所以有3v2≡1(mod2),則v2≡1(mod8),所以3v2≡3(mod8),則有5≡x2+4x+16=3v2≡3(mod8),得出矛盾,因此該情形方程(2)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形4, 第二式可化為(x+2)2+12=3Pv2,把第一式中的x=3u2+4代入得3(u2+2)2+4=Pv2,兩邊取模3,得3(u2+2)2+4≡Pv2(mod3),而

得出矛盾,因此該情形方程(2)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

從以上4種情況的討論,得知P≡5,17(mod24)為奇素數(shù)時,丟番圖方程x3-64=Py2無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

定理2證明因為x?0(mod2),而P≡5,17(mod24)為奇素數(shù),故由(3)知,y?0(mod2),所以x≡1(mod2),y≡1(mod2),又因為x3+64=(x+4)(x2-4x+16),所以gcd(x+4,x2-4x+16)=gcd(x+4,(x+4)2-12x)=gcd(x+4,x(x+4)-12(x+4)+48)=gcd(x+4,48)=gcd(x+4,3×24)=1或3,從而丟番圖方程(3)可以得出下列4種可能的情形:

情形I:x+4=Pu2,x2-4x+16=v2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形II:x+4=u2,x2-4x+16=Pv2,y=uv,gcd(u,v)=1;

情形IV:x+4=3u2,x2-4x+16=3Pv2,y=3uv,gcd(u,v)=1.

下面分別討論丟番圖方程(3)在這4種情形下的所有解的情況.

情形I, 第二式可化為(x-2)2+12=v2,即v2-(x-2)2=12,則有(v+x-2)·(v-x+2)=12,可得x=0或4,代到第一式可知x=0或4,均不適合此式,因此該情形方程(3)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形II, 第二式可化為(x-2)2+12=Pv2,兩邊取模3得(x-2)2+12≡Pv2(mod3),又

而

得出矛盾,因此該情形方程(3)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形III, 因為x≡1(mod2),知u2≡1(mod2),即u2≡1(mod8).由于P≡5,17(mod24),知P≡1,5(mod8),可知x=3Pu2-4≡3,7(mod8),則x2-4x+16≡5(mod8).又因為x≡1(mod2),所以有3v2≡1(mod2),則v2≡1(mod8),所以3v2≡3(mod8),則有5≡x2-4x+16=3v2≡3(mod8),得出矛盾,因此該情形方程(3)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

情形IV, 第二式可化為(x-2)2+12=3Pv2,把第一式中的x=3u2-4代入得3(u2-2)2+4=Pv2,兩邊取模3,得3(u2-2)2+4≡Pv2(mod3),而

得出矛盾,因此該情形方程(3)無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

從以上4種情況的討論,得知P≡5,17(mod24)為奇素數(shù)時,丟番圖方程x3+64=Py2無x?0(mod2)的正整數(shù)解.

參考文獻(xiàn)：

[1] 管訓(xùn)貴.關(guān)于不定方程x3+1=py2[J].淮陰師范學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,10(4):304-306.

[2] 杜先存,吳叢博,趙金娥.關(guān)于Diophantine方程x3±1=3Dy2[J].沈陽大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,25(1):84-86.

[3] 杜先存,管訓(xùn)貴,楊慧章.關(guān)于不定方程x3+1=91y2[J].內(nèi)蒙古師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2013,42(4):397-399.

[4] 錢立凱,杜先存.關(guān)于丟番圖方程x3±27=py2[J].西南民族大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版 2013,39(4): 580-581.

[5] 錢立凱,杜先存.關(guān)于不定方程x3±27=py2[J].湖北民族學(xué)院學(xué)報:自然科學(xué)版 2013,31(2): 182-183.

[6] 李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=3Dy2[J].東北師范大學(xué)報:自然科學(xué)版,1994(2):16-17.

[7] 張海燕,李復(fù)中.關(guān)于丟番圖方程x3±64=Dy2[J].哈爾濱科學(xué)技術(shù)大學(xué)學(xué)報,1994,18(3):107-109.

[8] 趙天.關(guān)于不定方程x3±23n=3Dy2解的討論[D].重慶:重慶師范大學(xué),2008:10-32.

[9] 張攀.關(guān)于不定方程x3±64=py2的研究[D].西安：西北大學(xué),2012.