黏彈性阻尼夾芯板水下聲輻射數(shù)值計算

胡昊灝， 商德江

（1．哈爾濱工程大學(xué) 水聲技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，哈爾濱 150001；2．哈爾濱工程大學(xué) 水聲工程學(xué)院，哈爾濱 150001）

在結(jié)構(gòu)表面敷設(shè)黏彈性阻尼層是船舶，飛機(jī)等航行器實(shí)現(xiàn)被動噪聲控制的重要手段，一般有自由層阻尼和約束層阻尼（俗稱夾芯板）兩種敷設(shè)方式。Foin［1］比較了這兩種方式在具有相同黏彈性層厚度時的降噪效果，結(jié)果表明在整個分析頻帶內(nèi)，約束層阻尼的降噪效果都要優(yōu)于自由層阻尼。

近些年來國內(nèi)外關(guān)于敷設(shè)黏彈性阻尼層結(jié)構(gòu)振動與聲輻射的計算主要有兩類方法，第一類是將阻尼層按類似流體的處理方式，白振國等［2－3］在分析敷設(shè)覆蓋層的復(fù)雜圓柱殼體水下聲輻射時采用了這種方法，該方法優(yōu)點(diǎn)是計算過程較簡單，但是僅限于自由層阻尼敷設(shè)方式（約束層阻尼中剪切波分量不能忽略）。第二類是采用三維彈性理論來描述覆蓋層的動力學(xué)特性，陳美霞［4］在計算敷設(shè)阻尼材料的雙層圓柱殼聲輻射問題時，采用三維Navier方程來描述阻尼材料的運(yùn)動，Berry［5］采用類似方法處理了覆蓋黏彈性層的矩形板水下聲輻射問題。三維彈性理論由于對應(yīng)力－應(yīng)變的分布沒有作任何近似處理，所得結(jié)果精度高，但該方法需要給出三維彈性方程，應(yīng)力和應(yīng)變的邊界條件，以及連續(xù)性條件，最后聯(lián)合求解，這種方法計算量很大，只有在模型層數(shù)很少，加載方式，邊界條件等都非常簡單時才有可能求解。由于三維彈性理論計算過于繁瑣，Reddy等［6－7］采用二維彈性理論（假設(shè)橫向應(yīng)力為零）來分析由纖維增強(qiáng)的復(fù)合層合板殼的動力學(xué)問題。Yin［8］和曹雄濤［9］分別采用基于 Kirchhoff假設(shè)的經(jīng)典層合板理論（CLPT）和基于Mindlin假設(shè)的一階剪切形變理論（FSDT）計算了加雙周期肋骨的無限大復(fù)合層合板的聲輻射問題。CLPT與FSDT待求未知數(shù)較少，計算較快，但是CLPT忽略了剪切形變的影響，僅適合薄板，而FSDT中存在剪切修正因子的確定較為繁瑣的問題，且不滿足板表面應(yīng)力自由假設(shè)。為了避免以上問題Ghinet等［10］采用了更為精確的離散層理論來分析較厚的復(fù)合夾層結(jié)構(gòu)的動力學(xué)問題，然而該方法的待求未知數(shù)隨著所分析層數(shù)的增加而增加，不利于提高計算效率。

本文采用二維彈性理論中精度較高的離散層理論來分析黏彈性復(fù)合夾芯板的振動與聲輻射特性，并結(jié)合傳遞矩陣法［11］將待求未知數(shù)的個數(shù)降到與單層板相同。需要特別指出的是上一段提到的由纖維增強(qiáng)復(fù)合層合板，各層均表現(xiàn)為各向異性，而本文要分析的黏彈性復(fù)合夾芯板則是各層均滿足各向同性，因此剛度系數(shù)要作相應(yīng)改變。

1 模型描述

如圖1，一矩形夾芯板，其四邊均簡支于無限大剛性障板上，板上側(cè)為無限大水域，下側(cè)為真空，考慮其在諧和機(jī)械點(diǎn)力激勵下的聲輻射問題。夾芯板的底板和約束層為彈性材料，而芯層為黏彈性材料，各層材料均滿足各向同性。在推導(dǎo)夾芯板動力學(xué)方程之前，先對模型作如下假設(shè)：

（1）對每一層材料均考慮其橫向位移，膜位移以及剪切位移；

（2）認(rèn)為各層的橫向位移相等，也就是說沿厚度方向橫向位移為常數(shù)；

（3）在各層材料的交界處滿足位移以及剪切應(yīng)力連續(xù)。

圖1 四邊簡支夾芯板示意圖Fig．1 Simply supported sandwich plate

1.1 位移模型

圖2為夾芯板的位移場示意圖，左側(cè)為發(fā)生形變前的位移分布，右側(cè)為底板形變后的位移分布，滿足上文假設(shè)的位移場表達(dá)式為：

圖2 夾芯板位移場Fig．2 Sandwich plate displacement field

式中：i分別為第i層板沿x，y方向的位移，而則分別為第i層板繞y軸和繞x軸的剪切轉(zhuǎn)動位移，z（i）為第i層板中性面與底板中性面的距離。

1.2 應(yīng)力應(yīng)變場

為了節(jié)省篇幅，應(yīng)變場按如下簡化方法表示：

式中 U1，U2，U3分別代表 u，v，w方向的位移，而 x1，x2，x3則分別為 x，y，z方向坐標(biāo)。

應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系滿足胡克（Hooke）定律：

式中的Qij表示各向同性板的剛度系數(shù)。材料楊氏模量可表示為復(fù)數(shù)形式 E＝E0（1＋i*η），η為材料損耗因子。

1．3 位移傳遞矩陣

由假設(shè)（3）可知在各層交界處滿足位移連續(xù)和剪切應(yīng)力連續(xù)：

由以上連續(xù)性關(guān)系可以求出第i層與第i＋1層的位移場滿足：

式中

進(jìn)一步可得到第i層位移場與第1層的位移場之間的關(guān)系為：

式中［T］＝［ti－1］［ti－2］…［t1］為各層與底板位移場的傳遞矩陣。

2 夾芯板運(yùn)動方程

2.1 系統(tǒng)動能

這里通過虛功原理建立系統(tǒng)動力學(xué)方程，首先求系統(tǒng)的動能

式中ec為單位面積的動能，將夾芯板各層位移表達(dá)式結(jié)合約束層及芯層與底板位移傳遞關(guān)系（10），可求得僅與底板位移場有關(guān)的單位面積系統(tǒng)動能表達(dá)式為：

其中系數(shù)m1，m2…m13為質(zhì)量系數(shù)

2.2 系統(tǒng)的應(yīng)變能

系統(tǒng)應(yīng)變能表達(dá)式為：

式中ed為應(yīng)變能密度，將應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系（5）結(jié)合約束層及芯層與底板位移傳遞關(guān)系（10），可得到僅與底板位移場變量有關(guān)的應(yīng)變能密度表達(dá)式為：

式中 k1，k2…k38為剛度系數(shù)。

2．3 外力做功：

式中外力f（x，y）包括兩部分：諧和機(jī)械點(diǎn)激勵力F＝以及板表面的流體聲壓載荷P（x，y，t），其表達(dá)式可由 Rayleigh積分公式得到：

其中 ρ0為流體密度，k0為聲場波數(shù)，w·（x′，y′）為板表面振速分布為板表面上的點(diǎn)與場點(diǎn)的距離。

由式（11），（13），（15）可得到系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)（Hamiltonian）為

由上文可知，此時的哈密頓函數(shù)僅與底板的位移分量

2．4 Rayleigh-Ritz解：

因?yàn)閵A芯板滿足四邊簡支邊界條件，所以可以將位移形式解設(shè)為：

為了書寫簡便，后文中省略了時間因子ejωt。

由虛功原理可知：

式中δ表示變分，將形式解（18）代入上式可得到僅與底板位移模態(tài)幅值有關(guān)的系統(tǒng)運(yùn)動方程，此時方程未知數(shù)的個數(shù)由最初的15個減少到5個，因此起到提高計算效率的作用：

這里為底板的位移場向量，［M］為系統(tǒng)質(zhì)量矩陣系統(tǒng)復(fù)剛度矩陣0，0，0，0｝T為外力激勵。其中示板表面聲壓模態(tài)幅值，Zmnpq為聲輻射阻抗，具體表達(dá)式可由 Rayleigh積分得到：

直接通過數(shù)值方法計算以上四重積分非常繁瑣費(fèi)時，通過坐標(biāo)變化令 κ＝x－x′，τ＝y(tǒng)－y′改變積分路徑，可將原來的四重積分化為二重積分［12］，以自輻射阻Rmnmn為例：

其中：

本文采用參考文獻(xiàn)［12］中的方法將式（23）中的二重積分通過極坐標(biāo)變換結(jié)合三角函數(shù)積化和差公式化為一組一重定積分，這種方法較傳統(tǒng)的輻射阻抗計算方法［13］，計算效率有較大提高。

求解系統(tǒng)運(yùn)動方程（20）可得到夾芯板橫向位移模態(tài)幅值amn，進(jìn)一步可得到系統(tǒng)的均方振速以及輻射聲功率表達(dá)式。

3 模型驗(yàn)證與參數(shù)分析

3.1 算法驗(yàn)證

Foin等［1］給出了一四邊簡支的矩形夾芯板均方振速響應(yīng)曲線，為了驗(yàn)證本文所給算法的正確性，取與Foin相同的模型進(jìn)行計算，并比較兩者的結(jié)果，同時也將計算結(jié)果與用有限元商業(yè)軟件ANSYS所得結(jié)果對比。夾層板長為1 m，寬為0．3 m，底板和約束層均為鋁板厚度分別為3 mm，0．5 mm，芯層為均勻黏彈性阻尼層，其密度為1 680 kg／m3，楊氏模量為2．6×108Pa，泊松比為0．3，損耗因子為0．6，厚度為0．5 mm，周圍流體為空氣，參考振速級為1，從圖3可以看出本文計算結(jié)果與Foin模型的計算結(jié)果以及有限元商業(yè)軟件ANSYS計算結(jié)果均有較好的一致性，從而證明了所給方法可以正確求解夾芯板的動力學(xué)問題。

圖3 比較不同方法計算夾芯板均方振速Fig．3 Comparison the mean square velocity of sandwich plate with different methods

在本算例中，頻率為500 Hz時，模態(tài)階數(shù)m，n分別取15，6時計算結(jié)果收斂；1 000 Hz時 m，n分別取23，10收斂；2 000 Hz時 m，n分別取35，14收斂。很顯然系統(tǒng)的收斂性與分析頻率以及結(jié)構(gòu)尺寸有關(guān)，分析頻率越高所取的模態(tài)階數(shù)越大才能滿足收斂性，本算例所分析的頻率范圍取較低的模態(tài)階數(shù)計算結(jié)果已經(jīng)收斂。

3.2 參數(shù)分析

以下算例中所分析模型為一長1 m，寬0．5 m的夾芯板，底板與約束層均為鋼板，厚度分別為0．005 m和0．002 m，芯層為黏彈性橡膠，密度為1 680 kg／m3楊氏模量為2．6×108Pa，泊松比為 0．45，損耗因子 0．6，芯層厚度為 0．01 m，激勵點(diǎn)位置在（0．08 m，0．07 m），輻射聲功率參考級為0．67×10－18W。

從圖4看到，敷設(shè)約束阻尼層后，系統(tǒng)的輻射聲功率級有明顯下降趨勢，尤其在中高頻范圍，模態(tài)峰值得到了很好的抑制。下面分析影響夾芯板聲輻射的主要參數(shù)。

圖4 比較夾芯板與僅有底板時輻射聲功率Fig．4 Comparison sandwich plate sound radiated power with base plate alone

由圖5，增加芯層厚度，在所分析的頻率范圍，能有效降低夾芯板的輻射聲功率級，同時也能抑制大部分的高頻諧振模態(tài)，因?yàn)樵黾有緦雍穸认喈?dāng)于增加了系統(tǒng)剛度以及單位面積質(zhì)量，這兩方面的因素都會導(dǎo)致聲輻射下降，且單位面積質(zhì)量增加會使模態(tài)諧振峰值產(chǎn)生偏移。當(dāng)然，并非芯層厚度越大越好，厚度太大不利于系統(tǒng)輕質(zhì)設(shè)計要求，而且厚度過大時剪切形變對高頻聲輻射會有較大影響，所以合理選取芯層厚度很重要。

圖6為改變芯層楊氏模量時，夾芯板輻射聲功率的變化趨勢，所取的楊氏模量值都是工業(yè)黏彈性材料常用到的，當(dāng)楊氏模量分別取E1＝106（Pa）和E2＝107（Pa）時，兩者輻射聲功率變化很小，這是因?yàn)榇藭r芯層楊氏模量與面板楊氏模量（2．6×1011（Pa））所差量級太大，改變芯層楊氏模量對整體影響不大；當(dāng)楊氏模量取 E3＝2．6×108（Pa）和 E4＝7．8×108（Pa）時，后者的輻射聲功率在中高頻段時要低于前者，且模態(tài)峰值得到了有效抑制，這是因?yàn)樵黾有緦訔钍夏Ａ客瑯訒淖兿到y(tǒng)的剛度。

圖5 芯層厚度對輻射聲功率的影響Fig．5 The effects of core thickness to sound radiated power

圖6 芯層楊氏模量對輻射聲功率的影響Fig．6 The effects of core Young’s modulus to sound radiated power

圖7表明增加芯層材料的損耗因子，能有效降低諧振峰處的聲輻射，但對于非諧振峰處的聲輻射則沒有明顯的改善，且整個頻帶內(nèi)未出現(xiàn)頻率峰值偏移現(xiàn)象。

圖7 芯層損耗因子對輻射聲功率的影響Fig．7 The effects of core loss factor to sound radiated power

4 結(jié) 論

本文采用數(shù)值方法建立了含黏彈性材料的復(fù)合夾芯板水下振動與聲輻射模型，并驗(yàn)證了模型的正確性，得到如下結(jié)論：

（1）將復(fù)合層合板理論中的離散層理論應(yīng)用于黏彈性復(fù)合板能夠正確求解復(fù)合夾芯板的動力學(xué)問題，通過傳遞矩陣技術(shù)結(jié)合變分法原理能夠降低運(yùn)動方程維數(shù)，從而提高計算效率。

（2）黏彈性材料的厚度，楊氏模量以及損耗因子是影響夾芯板聲輻射的重要因素，應(yīng)根據(jù)具體工況合理設(shè)置以達(dá)到噪聲控制的目的。

（3）本文僅討論了四邊簡支邊界條件下的被動約束層夾芯板聲輻射問題，為了擴(kuò)充解決問題的范圍，對于兩對邊簡支，另兩對邊任意支承的階梯變厚度夾芯板可沿縱向分段離散再次借用傳遞矩陣求解［14］。

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