趙吉文， 汪婭驊， 陳盼盼， 黃健， 劉凱， 謝芳， 張梅

(安徽大學(xué)電氣工程與自動化學(xué)院，安徽合肥 230093)

0 引言

永磁直線同步電動機(jī)在數(shù)控機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)中應(yīng)用廣泛［1］，其推力波動直接影響系統(tǒng)的性能指標(biāo)和機(jī)床的加工精確度，為了減少電機(jī)諧波對推力波動的影響，可以通過優(yōu)化電機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)改善電機(jī)性能，降低諧波含有量。

直線電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化問題是復(fù)雜的非線性問題，優(yōu)化過程中迭代計(jì)算的計(jì)算量較大，因此需建立一個快速計(jì)算模型，為優(yōu)化過程實(shí)時地提供輸出量數(shù)據(jù)［2－3］。文獻(xiàn)［4－6］采用解析法建立電機(jī)模型，該模型可以對電機(jī)參數(shù)做出假設(shè)，在定性分析方面有較好的優(yōu)勢，但定量計(jì)算精確度不高。文獻(xiàn)［7－10］對永磁電機(jī)采用有限元法建模，計(jì)算精確度較好，但計(jì)算效率不高。文獻(xiàn)［11－14］將支持向量機(jī)應(yīng)用到電機(jī)建模中，單支持向量機(jī)具有適應(yīng)性強(qiáng)、推廣能力好等優(yōu)點(diǎn)，但不能實(shí)現(xiàn)多目標(biāo)優(yōu)化。多支持向量機(jī)具有多輸入多輸出的性能，可以為直線電機(jī)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)提供較好的模型支持。

本文以U型直線電機(jī)為研究對象，有限元模型為計(jì)算手段，引入多支持向量機(jī)理論，建立電機(jī)快速計(jì)算模型［15］。在分析各個核函數(shù)優(yōu)缺點(diǎn)的基礎(chǔ)上，綜合應(yīng)用高階多項(xiàng)式核函數(shù)的插值能力和低階多項(xiàng)式核函數(shù)的外推能力，建立一種新的組合核函數(shù)，提高回歸機(jī)的泛化能力和學(xué)習(xí)能力。模型采用交叉驗(yàn)證法選取支持向量機(jī)的懲罰參數(shù)C，該方法可以有效避免向量機(jī)過學(xué)習(xí)和欠學(xué)習(xí)狀態(tài)的發(fā)生，提高多支持向量機(jī)模型的計(jì)算精確度［16］。

1 多輸出支持向量機(jī)

1.1 單輸出支持向量機(jī)

支持向量機(jī)回歸問題的實(shí)質(zhì)是尋找一個實(shí)值函數(shù)f(x)，以求解任一輸入x所對應(yīng)的輸出值y。支持向量機(jī)將輸入向量映射到高維特征空間，在高維特征空間中構(gòu)造線性回歸函數(shù)，使模型的結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化［17］。

算法如下:

(1)給定T={(x1，y1)，…，(xl，yl)}∈(Rn×y)l，其中xi∈Rn，yi∈Y=R，i=1，…，l;

(2)選取適當(dāng)?shù)暮撕瘮?shù)K(x，z)以及適當(dāng)?shù)木群蛻土P參數(shù)C＞0

(3)構(gòu)造并求解凸二次規(guī)劃問題

(5)構(gòu)造決策函數(shù)

1.2 多輸出支持向量機(jī)

多輸出支持向量機(jī)回歸算法是在函數(shù)輸出量y為多維向量的情況下提出的一種SVR算法，其模型的建立是在單支持向量機(jī)的基礎(chǔ)上完成，基本思路是:先將一個原始樣本空間拆分成若干個子空間，然后分別在子樣本空間上建立單SVM模型，通過對單支持向量機(jī)模型進(jìn)行數(shù)據(jù)融合，建立多輸出支持向量回歸機(jī)。

對于M維輸入，N維輸出的函數(shù)擬合問題，設(shè)訓(xùn)練樣本集:{(xi，yi)}，i=1，2，…，L，其中，xi∈RM，yj∈RN。構(gòu)造回歸函數(shù)如下:

將已知樣本數(shù)據(jù)拆分成m個子樣本數(shù)據(jù)，每個子樣本數(shù)據(jù)均對應(yīng)一個輸出量，建立各輸出量的單支持向量機(jī)模型，得到如式(3)所示的m個函數(shù)表達(dá)式f(x)。將單SVM函數(shù)表達(dá)式代入式(4)中，計(jì)算W和B，得到多支持向量機(jī)函數(shù)表達(dá)式F(x)。根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，對W和B進(jìn)行尋優(yōu)，將回歸問題轉(zhuǎn)換為約束優(yōu)化問題，即

式中:hi=//ei//，ei=yi－(W，Φ(xi))+B。采用迭代方法求解最小值，并返回到式(4)中，得到最優(yōu)的多輸出回歸函數(shù)。

2 組合核函數(shù)

2.1 核的性質(zhì)

SVM通過引入核函數(shù)將輸入空間的非線性問題轉(zhuǎn)化為線性問題，選擇合適的核函數(shù)，可以將特征空間的內(nèi)積運(yùn)算(Φ(x)·Φ(y))映射到輸入空間中，轉(zhuǎn)換成向量x，y的內(nèi)積進(jìn)行運(yùn)算。核函數(shù)的運(yùn)算都是封閉的，包括

常用核函數(shù)有多項(xiàng)式核函數(shù)和徑向基核函數(shù)。

2.2 組合核函數(shù)的構(gòu)造

支持向量機(jī)模型的性能是由學(xué)習(xí)能力和推廣能力(對未知樣本的預(yù)測能力)兩方面決定的，核函數(shù)直接影響模型的學(xué)習(xí)能力。由插值理論可知，當(dāng)利用插值多項(xiàng)式近似連續(xù)函數(shù)時，低階多項(xiàng)式具有良好的外推能力，高階多項(xiàng)式具有良好的插值能力。因此，為建立一個性能較好的支持向量機(jī)模型，使其學(xué)習(xí)能力和推廣能力均能滿足實(shí)際需求，充分利用這兩類多項(xiàng)式函數(shù)的優(yōu)點(diǎn)，將兩種函數(shù)進(jìn)行組合，得到一個既具有較好學(xué)習(xí)能力，又具有較好推廣能力的核函數(shù)。

使用一種已經(jīng)較為成熟的組合核函數(shù)［18］K(x，z)=ρ1(x，z)d－ ρ2//x－y//q+1，其中:d∈N;0＜q≤2;ρ1，ρ2是兩種核函數(shù)各占的比例，一般 ρ1+ρ2=1。

該組合核函數(shù)是在不違背核函數(shù)基本運(yùn)算原理的基礎(chǔ)上，將高階多項(xiàng)式核函數(shù)和低階多項(xiàng)式核函數(shù)進(jìn)行權(quán)重組合，其本質(zhì)仍是一個多項(xiàng)式核函數(shù)。經(jīng)實(shí)驗(yàn)，綜合考慮核函數(shù)的局部性和全局性，選用d=2，q=1。

3 電機(jī)非參數(shù)模型的建立

3.1 建模數(shù)據(jù)的獲取

圖1所示電機(jī)為短初級長次級的雙邊型直線電機(jī)，采用空心式線圈結(jié)構(gòu)，電機(jī)線性度較高，定子材料為永磁體，磁鋼材料為N48H。

影響電機(jī)性能的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)包括永磁體尺寸、線圈尺寸和氣隙尺寸，其中，永磁體尺寸影響電機(jī)的轉(zhuǎn)速和功率質(zhì)量比，線圈尺寸反映電流承載能力和電機(jī)實(shí)際體積，氣隙尺寸直接影響電機(jī)推力波動。

建立U型直線電機(jī)的有限元模型，并驗(yàn)證該有限元模型。利用該有限元模型計(jì)算實(shí)驗(yàn)所需的測試數(shù)據(jù)，步驟如下:首先選取電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)的因素水平值，如表1所示，這些值通過正交實(shí)驗(yàn)法，可獲得16個具有代表性的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組合;然后采用隨機(jī)實(shí)驗(yàn)法，獲得大批量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組合，利用有限元模型對各個實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)組合進(jìn)行仿真計(jì)算和提取，最終得出200組可用于測試的樣本數(shù)據(jù)。

表1 結(jié)構(gòu)因素水平表Table 1 Factor level of structure parameters

表2為樣本數(shù)據(jù)，包括電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和輸出參數(shù)。結(jié)構(gòu)參數(shù)(單位為:mm)包括永磁體長度L、永磁體高度H、氣隙G、線圈長度l、線圈高度h、永磁體間距P、線圈間距p、輸出參數(shù)包括平均推力T/N、電流I/A、效率η/%、空載反電動勢諧波畸變率S/%。

表2 樣本數(shù)據(jù)Table 2 Sample of the motor

3.2 樣本數(shù)據(jù)預(yù)處理

由于樣本數(shù)據(jù)中的7個結(jié)構(gòu)參數(shù)和4個輸出量的數(shù)量級有所差異，為避免交叉驗(yàn)證法處理數(shù)據(jù)時造成信息淹沒，對數(shù)據(jù)進(jìn)行歸一化預(yù)處理。采用的歸一化映射為為

將表2中的數(shù)據(jù)歸一化到區(qū)間［0，1］。歸一化的過程在此不做贅述。

3.3 懲罰參數(shù)C的選擇

訓(xùn)練樣本集內(nèi)遠(yuǎn)離同類樣本的異常樣本產(chǎn)生很大的Lagrange乘子，影響最優(yōu)回歸函數(shù)。懲罰參數(shù)C作為所有支持向量的上界，限制了Lagrange乘子的大小，控制分類超平面的復(fù)雜性和不可分離點(diǎn)數(shù)之間的平衡。因此，在運(yùn)算過程中，需要根據(jù)實(shí)際情況選擇支持向量的上界C，減少不必要支持向量的數(shù)目，抑制大Lagrange乘子，降低異常樣本對回歸機(jī)的影響。

本文采用交叉驗(yàn)證法選擇懲罰參數(shù)，將原始數(shù)據(jù)分成4組，每個子集數(shù)據(jù)分別充當(dāng)一次驗(yàn)證集，同時其余3組子集數(shù)據(jù)做為訓(xùn)練集，得到4個模型，將這4個模型驗(yàn)證準(zhǔn)確率的平均數(shù)做為整個樣本集的性能指標(biāo)。

3.4 核函數(shù)的構(gòu)造

在滿足ρ1+ρ2=1的條件下，進(jìn)行組合核函數(shù)系數(shù)計(jì)算，ρ1，ρ2的取值區(qū)間為［0.1，0.9］。第一步，取步長為0.1，ρ1，依次增大，得到9組核函數(shù)，分別使用9組核函數(shù)建立某一輸出量的單支持向量機(jī)模型，用樣本數(shù)據(jù)對9個模型進(jìn)行精確度檢驗(yàn)，選擇使模型預(yù)測準(zhǔn)確度較高的4組核函數(shù);第二步，用上述4組核函數(shù)建立其他輸出量的單支持向量機(jī)模型，檢測各個模型的預(yù)測準(zhǔn)確性，選擇使模型精確度較好的2組核函數(shù);第三步，將上述2個核函數(shù)系數(shù)ρ1，值做為取值區(qū)間，取步長為0.01，ρ1，依次增大，重復(fù)步驟一和步驟二，最終選擇一組核函數(shù)，使各輸出量的單支持向量機(jī)模型均有較好的預(yù)測能力。

3.5 單輸出SVM模型

選取100組數(shù)據(jù)為訓(xùn)練樣本，100組數(shù)據(jù)為測試樣本，分別建立輸出量與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的單SVM模型。為保證模型的精確度，利用交叉驗(yàn)證法選取懲罰參數(shù)C，并求解各個模型的核函數(shù)系數(shù)ρ1，ρ2，四個SVM模型的相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 單SVM模型參數(shù)Table 2 Parameters of the SVM model

3.6 多支持向量機(jī)模型

根據(jù)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，將建立的單支持向量機(jī)模型進(jìn)行融合計(jì)算，分別計(jì)算各個模型的W和B，代入公式7，得到多支持向量機(jī)函數(shù)F(x)。

表3 SVM模型參數(shù)Table 3 parameters of SVM models

4 實(shí)驗(yàn)分析及模型檢驗(yàn)

為了檢驗(yàn)電機(jī)多支持向量機(jī)模型對電機(jī)平均推力值、電流值、電機(jī)效率和空載反電動勢諧波畸變率的預(yù)測效果，對模型的準(zhǔn)確性和擬合精度進(jìn)行評估。

4.1 模型檢驗(yàn)

歸一化處理100組測試數(shù)據(jù)，將電機(jī)結(jié)構(gòu)參數(shù)值輸入多支持向量機(jī)模型，對輸出量進(jìn)行預(yù)測，判斷模型預(yù)測值的準(zhǔn)確性。從表4可以看出，模型對未知數(shù)據(jù)的預(yù)測準(zhǔn)確性約為93%，誤差率在1%以內(nèi)。

圖2 模型預(yù)測結(jié)果Fig.2 Predicting outcomes

表4 多支持向量機(jī)模型Table 4 models of mutli－SVMs

4.2 結(jié)果分析

將多支持向量機(jī)輸出的4組輸出量預(yù)測值與實(shí)際值進(jìn)行對比，從圖2可以看出，本文建立的模型計(jì)算精確度較高，電機(jī)輸出量的預(yù)測值和實(shí)際值基本一致，誤差范圍為4%左右，模型的計(jì)算效率亦可滿足現(xiàn)實(shí)需求。

5 結(jié)論

本文采用多支持向量機(jī)對直線電機(jī)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行建模，通過改進(jìn)核函數(shù)提高模型的準(zhǔn)確度和擬合精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，組合核函數(shù)的外推能力和插值能力可以有效的加強(qiáng)支持向量機(jī)的學(xué)習(xí)能力，對不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下的輸出量有很好的預(yù)測能力。

利用多支持向量機(jī)建立的直線電機(jī)模型可以運(yùn)用于電機(jī)內(nèi)部結(jié)構(gòu)優(yōu)化，針對電機(jī)各個輸出量的實(shí)際環(huán)境要求，綜合考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的設(shè)置，為最大限度的抑制諧波產(chǎn)生的推力波動提供了一種有效的模型。

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