潘桂新，鄧德標(biāo)

(1.中山市黃圃測(cè)繪工程有限公司，廣東中山 528429;2.廣東南方數(shù)碼科技有限公司，廣東廣州 510665)

1 引言

測(cè)量工作中有時(shí)會(huì)遇到對(duì)幾何物體進(jìn)行檢測(cè)，如呈直線物體分布形狀，只要采集兩個(gè)點(diǎn)的平面坐標(biāo)就能根據(jù)直線方程反算方程系數(shù);又如空間平面物體，在物體表面采集3個(gè)不共線的點(diǎn)，根據(jù)三維坐標(biāo)即可求出空間平面方程。

由于制造工藝和測(cè)量誤差的原因，物體往往不是嚴(yán)格的幾何形狀，而根據(jù)有限的測(cè)量數(shù)據(jù)也不能嚴(yán)密地反算出物體設(shè)計(jì)時(shí)的幾何方程，所以實(shí)際工作中會(huì)進(jìn)行多余觀測(cè)，通過(guò)一定數(shù)量的數(shù)據(jù)去擬合物體的幾何方程，如直線擬合［1，2］、平面擬合［3，4］、二次曲面擬合［5］和球面擬合［6］。本文研究水平面上的圓曲線擬合方法，根據(jù)圓曲線的參數(shù)方程推導(dǎo)出相應(yīng)的誤差方程，通過(guò)平差計(jì)算求出圓心坐標(biāo)和半徑，并通過(guò)模擬分析得出一些對(duì)圓狀物體進(jìn)行測(cè)量的實(shí)用結(jié)論。

2 圓曲線擬合模型

擬合模型是測(cè)量平差中常遇到的一種特殊的函數(shù)模型，是一種函數(shù)逼近型或統(tǒng)計(jì)回歸型模型。在圓曲線或圓柱上采集若干個(gè)點(diǎn)(如圖1所示)作為獨(dú)立觀測(cè)量，根據(jù)圓曲線方程可求出圓心坐標(biāo)及圓半徑，由于采集點(diǎn)有誤差，各個(gè)點(diǎn)并不在圓周上，要在這些采集點(diǎn)上擬合出一條最佳圓曲線。

在半徑未知的情況下，設(shè)采集點(diǎn)個(gè)數(shù)為m，以圓心的坐標(biāo)平差值、半徑平差值和圓心至各采集點(diǎn)的方位角平差值^αi為參數(shù)，圓曲線的參數(shù)方程為:

圖1 圓曲線擬合

將式(1)線性化，得誤差方程為:

若半徑已知，則誤差方程如下:

根據(jù)間接平差模型:V=B^x－l。令:

根據(jù)式(6)可算得圓心的坐標(biāo)和半徑平差值。

由協(xié)因數(shù)陣Q=(ATA)－1和驗(yàn)后單位權(quán)中誤差可得參數(shù)的協(xié)方差陣，其中n為誤差方程總數(shù)，t為參數(shù)個(gè)數(shù)，由此可計(jì)算誤差方程中各參數(shù)的中誤差進(jìn)行精度評(píng)定。

3 數(shù)據(jù)處理分析

在實(shí)際測(cè)量和計(jì)算中，由于測(cè)量誤差、數(shù)據(jù)采集的位置、采集的數(shù)據(jù)量及半徑是否已知等情況的不同，直接影響到計(jì)算結(jié)果的正確性，故下面分別針對(duì)這4種情況進(jìn)行模擬分析。

在AutoCAD上繪制一個(gè)半徑為 1 m的圓，其圓心坐標(biāo)為(1456.299，337.005)，使用“定數(shù)分段”功能在圓周上生成一定數(shù)量的節(jié)點(diǎn)，再利用捕捉功能采集各個(gè)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，最后利用MATLAB軟件中的random函數(shù)生成服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)，作為觀測(cè)誤差添加到基礎(chǔ)數(shù)據(jù)中來(lái)模仿實(shí)際測(cè)量的采集數(shù)據(jù)。

3.1 采集點(diǎn)精度分析

根據(jù)誤差傳播定律可知，采集點(diǎn)的精度會(huì)影響到擬合后的圓心坐標(biāo)精度，現(xiàn)在模擬5組對(duì)同個(gè)圓均勻采集 20個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)，分別附加 ±5 mm、±10 mm、±15 mm、±20 mm、±30 mm的誤差，分析不同精度的采集點(diǎn)會(huì)對(duì)擬合結(jié)果產(chǎn)生多大的影響，圓柱半徑作為未知數(shù)，結(jié)果如表1和圖2所示。

不同精度的采集點(diǎn)解算結(jié)果 表1

圖2 采集精度與圓心點(diǎn)位精度的關(guān)系

3.2 采集點(diǎn)數(shù)量分析

為分析采集點(diǎn)的數(shù)量對(duì)擬合后圓心點(diǎn)位中誤差的影響，現(xiàn)在圓上均勻地采集 5、10、15、20、30 個(gè)點(diǎn)，采集點(diǎn)均隨機(jī)附加 ±15 mm的誤差，半徑未知，解算結(jié)果如表2和圖3所示。

圖3 采集點(diǎn)個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的對(duì)擬合精度

采集點(diǎn)數(shù)不同解算結(jié)果 表2

3.3 采集點(diǎn)位置分析

在對(duì)圓狀物體進(jìn)行觀測(cè)的工作中，往往因其他物體的遮擋或設(shè)站點(diǎn)的位置使得不能夠?qū)A柱進(jìn)行全方位地采集數(shù)據(jù)。為分析在不同范圍內(nèi)的采集數(shù)據(jù)對(duì)擬合結(jié)果的影響，下面分別對(duì)1/4圓、2/4圓、3/4圓、4/4圓這4種范圍進(jìn)行分析，各個(gè)范圍均采集15個(gè)點(diǎn)，采集點(diǎn)精度約為 ±15 mm，以半徑未知的形式進(jìn)行擬合計(jì)算，結(jié)果如表3和圖4所示。

不同采集范圍的對(duì)比結(jié)果 表3

圖4 不同的采集范圍對(duì)擬合精度的影響

3.4 半徑已知分析

以上分析都將半徑作為未知量根據(jù)式(2)進(jìn)行求解的，下面將半徑作為已知量并利用式(4)進(jìn)行解算，得到的圓心中誤差跟前面的結(jié)果作對(duì)比，分別如圖5、圖6和圖7所示。

圖5 采集精度的影響

圖6 擬合點(diǎn)數(shù)的影響

圖7 采集范圍的影響

4 結(jié)語(yǔ)

通過(guò)對(duì)以上模擬數(shù)據(jù)的分析，可得出以下4個(gè)結(jié)論:

(1)由表1和圖2可知，在采集點(diǎn)個(gè)數(shù)和分布情況相同的前提下，觀測(cè)精度和擬合精度大致呈正相關(guān)的線性關(guān)系，即觀測(cè)精度越高，擬合后得到的圓心坐標(biāo)和半徑的精度也越高。

(2)由表2和圖3可知，均勻采集的點(diǎn)數(shù)越多擬合的精度就越高，但當(dāng)點(diǎn)數(shù)達(dá)到一定數(shù)量后，精度提高的幅度不明顯，建議均勻采集10～15個(gè)點(diǎn)比較合適。

(3)由表3和圖4可知，采集點(diǎn)的分布對(duì)擬合精度有很大的影響，應(yīng)盡量只在1/4的范圍內(nèi)采集，在半徑未知的情況下，采集區(qū)域應(yīng)在圓的3/4以上。

(4)由圖5、圖6、圖7可知，半徑已知的解算結(jié)果表明擬合精度相對(duì)較高，特別是在采集范圍較小的情況下能大大提高圓心的點(diǎn)位精度，因此若半徑已知可縮小采集范圍。

為深入研究，可結(jié)合文獻(xiàn)［7］和文獻(xiàn)［8］所述的粗差探測(cè)方法，對(duì)擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行粗差檢驗(yàn)，從而提高平差結(jié)果的精度和可靠性。

［1］郭際明，向巍，尹洪斌.空間直線擬合的無(wú)迭代算法［J］.測(cè)繪通報(bào)，2011(2):24～25.

［2］丁克良，沈云中，歐吉坤.整體最小二乘法直線擬合［J］.遼寧工程技術(shù)大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版，2010，29(1):44～47.

［3］官云蘭，程效軍，施貴剛.一種穩(wěn)健的點(diǎn)云數(shù)據(jù)平面擬合方法［J］.同濟(jì)大學(xué)學(xué)報(bào)·自然科學(xué)版，2008，36(7):981～984.

［4］程效軍，唐劍波.基于最小二乘擬合的墻面平整度檢測(cè)方法［J］.測(cè)繪信息與工程，2007，32(4):19～20.

［5］王解先.工業(yè)測(cè)量中一種二次曲面的擬合方法［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)·信息科學(xué)版，2007，32(1):47～50.

［6］鄧德標(biāo)，方源敏，趙子龍等.空間球狀物體的數(shù)據(jù)采集與分析［J］.測(cè)繪科學(xué)，2013，38(5):146～148.

［7］李華，宗琴，卜立軍.基于不同學(xué)科解決粗差探測(cè)問(wèn)題的方法研究［J］.測(cè)繪科學(xué)，2012，37(5):14～16.

［8］關(guān)葉沆，周西振，劉傳瑞.一段圓弧上多點(diǎn)坐標(biāo)擬合圓心位置的可靠性分析［J］.勘察科學(xué)技術(shù)，2012(4):54～57.