關(guān)于的證明及應(yīng)用

劉愛(ài)春， 祁根鎖

(呼和浩特民族學(xué)院數(shù)學(xué)系， 呼和浩特010051)

1 引 言

(1)

2的證明

關(guān)于(1)式成立的證明，一般教科書及常見(jiàn)資料上通常采用對(duì)函數(shù)f(x)=x2在[-π,π]展成傅立葉級(jí)數(shù)，并在x=π這一點(diǎn)取值時(shí)即可證得[2].本文將給出其他幾種證明方法.

(i)利用傅立葉級(jí)數(shù)證明法

即?x∈[-π,π]，有

證法1將函數(shù)f(x)=|x|在[-π,π]展成傅立葉級(jí)數(shù).因?yàn)閒(x)=|x|在[-π,π]是偶函數(shù)，有

于是

特別地，當(dāng)x=π時(shí)，有

而

所以(1)式成立.

證法2將函數(shù)f(x)=x+x2在(-π,π)上展成傅立葉級(jí)數(shù).將f(x)作周期為2π的延拓,則

由收斂定理，對(duì)?x∈(-π,π)，有

所以(1)式成立.

因f(x)在(0，2π)上連續(xù)，由收斂定理知 ?x∈(0,2π)，有

在端點(diǎn)x=0和x=2π處，其傅立葉級(jí)數(shù)收斂于

令x=2π，有

所以(1)式成立.

故由收斂定理，得

(ii)利用反三角函數(shù)證明法

證明中用到下列結(jié)果：

(2)

② arcsinx在[-1，1]上的級(jí)數(shù)展開式

(3)

(4)

因此有

所以(1)式成立.

(iii)利用三角恒等式證明法

由

(5)

sin-2x>x-2>cot2x=sin-2x-1.

(6)

3的應(yīng)用

(i)在求積分題中的應(yīng)用

逐項(xiàng)積分，得

故

另解

(ii)在證明題中的應(yīng)用

F(x)=f(x)+f(1-x)+(lnx)[ln(1-x)]，

則F(x)在(0,1)連續(xù).

其中

所以

因此F(x)在(0,1)上為常數(shù).又因?yàn)?/p>

綜上可知，當(dāng)0

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 王曉勤. 歐拉與自然數(shù)平方倒數(shù)和[J]. 曲阜師范大學(xué)學(xué)報(bào), 2002, 28 (4):29-33.

[2] 劉玉璉. 數(shù)學(xué)分析講義(下冊(cè))[M]. 4版.北京：高等教育出版社,2004.

[3] 陳傳章. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 2版.北京：高等教育出版社,2004.

[4] 陳紀(jì)修. 數(shù)學(xué)分析(下冊(cè))[M]. 北京：高等教育出版社,2000.

[5] 胡雁軍. 數(shù)學(xué)分析中的證題方法與難題選解[M]. 鄭州：河南大學(xué)出版社,1985.