函數(shù)一致連續(xù)性的判別新法

王夢暉， 郭曉河， 耿鳳杰， 趙俊芳

(中國地質(zhì)大學(xué)(北京)數(shù)理學(xué)院，北京100083)

1 引 言

函數(shù)的一致連續(xù)性在數(shù)學(xué)分析問題中起著非常重要的作用，它不僅是數(shù)學(xué)分析中重要的理論基礎(chǔ)知識，而且是學(xué)習(xí)分析學(xué)的關(guān)鍵，對數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生的后續(xù)課程的學(xué)習(xí)有著重要的影響.然而教材中只給出了閉區(qū)間上函數(shù)一致連續(xù)的判定定理，這在一些問題的討論中十分受限.文獻(xiàn)[1]給出了一致連續(xù)函數(shù)的定義和Lipschitz判別法.文獻(xiàn)[2]利用極限方法給出了不同類型區(qū)間上的函數(shù)一致連續(xù)性的判定. 文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]分別提出了判別函數(shù)一致連續(xù)性的比較判別法和比值判別法. 受以上文獻(xiàn)啟發(fā)，本文首先利用函數(shù)的連續(xù)性及極限的性質(zhì)給出了各類區(qū)間上的兩個函數(shù)具有相同的一致連續(xù)性的充分條件，其次，利用函數(shù)的連續(xù)性及導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)給出了各類區(qū)間上兩個無界函數(shù)具有相同的一致連續(xù)性的充分條件. 本文提出的兩個新的判別方法使得一些復(fù)雜函數(shù)的一致連續(xù)性可以通過較易判別出一致連續(xù)性的初等函數(shù)反映出來.最后，舉例驗證了兩個方法的可行性和有效性.

2 函數(shù)一致連續(xù)性的定義及引理

定義設(shè)f(x)為定義在區(qū)間I上的函數(shù).若?ε>0，?δ>0，使得對于任意的x1,x2∈I，只要x1-x2<δ，就有f(x1)-f(x2)<ε，則稱函數(shù) 在區(qū)間I上一致連續(xù).

引理若函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù)且fb-0存在，則f(x)在[a,b)上一致連續(xù).

注1 此引理可推廣到區(qū)間(a,b]，(a,b)，[a,+∞)，(a,+∞)，(-∞,b)，(-∞,b]，(-∞,+∞)上，即只要連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間端點處的極限存在，那么就一致連續(xù).

3 函數(shù)一致連續(xù)性的兩個判別新法及推論

綜上所述，f(x)與g(x)具有相同的一致連續(xù)性.

注2 此定理可推廣到半開半閉區(qū)間(a,b]，[a,+∞)，(-∞,b].只要當(dāng)趨于區(qū)間端點時[f(x)+Ag(x)](A為非零定值)存在，那么f(x)與g(x)就具有相同的一致連續(xù)性.

注3 此推論可推廣到開區(qū)間(a,+∞)，(-∞,b)，(-∞,+∞).

定理2設(shè)函數(shù)f(x),g(x)為區(qū)間[a,+∞)上的連續(xù)函數(shù).若

(i)f(x)與g(x)為x→+∞時的同階無窮大量；

則f(x)與g(x)具有相同的一致連續(xù)性.

注4 若(i)中f(x)與g(x)為x→+∞時的同階無窮小量，那么由引理可知f(x)與g(x)必都一致連續(xù).因此此處僅對同階無窮大量的情況做重點介紹.

證設(shè)f(x)與g(x)為x→+∞時的同階無窮大量，則有等式

進一步有

f(x1)-f(x2)

綜上所述，f(x)與g(x)具有相同的一致連續(xù)性.

注5 此定理可推廣到半開半閉區(qū)間(-∞,b],(a,b]，[a,b).

推論設(shè)函數(shù)f(x),g(x)為區(qū)間(a,b)上的連續(xù)函數(shù).若

(i)f(x)與g(x)不僅為x→a+時的同階無窮大量，而且也為x→b-時的同階無窮大量；

注6 此推論可推廣到開區(qū)間(a,+∞)，(-∞,b)，(-∞,+∞).

4 相關(guān)實例

解取初等函數(shù)g(x)=x,A=-1.因為f(x)與g(x)在2,+∞上連續(xù)且

所以f(x)與g(x)具有相同的一致連續(xù)性.由于g(x)在2,+∞上一致連續(xù)，所以f(x)在2,+∞上一致連續(xù).

所以f(x)與g(x)為x→+∞時的同階無窮大量且均在[1,+∞)上連續(xù)，又因為

存在，所以f(x)與g(x)具有相同的一致連續(xù)性.由于g(x)在[1,+∞)上不一致連續(xù)，所以f(x)也不一致連續(xù).

注7 以上兩個例題不易使用其他方法進行判別，而通過定理1和定理2進行判別就顯得十分簡便.

5 結(jié)束語

本文提出的兩個新的判別方法使得一些復(fù)雜函數(shù)的一致連續(xù)性可以通過較易判別出一致連續(xù)性的初等函數(shù)反映出來，從而近一步拓寬了函數(shù)一致連續(xù)性的判別范圍.

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].4版. 北京：高等教育出版社，2010.

[2] 韓仲明.函數(shù)的一致連續(xù)性分析[J].內(nèi)江科技，2009,30(5):72.

[3] 熊昌平，朱軍，唐國彬.函數(shù)一致連續(xù)的比較判別法[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009,25(4)：170-173.

[4] 楊小遠(yuǎn)，馬建華，張立文，等.關(guān)于函數(shù)一致連續(xù)性的判別方法研究[J].河南科學(xué)，2010,28(6)：635-637.