李金鳳　李興

歸納法是一種研究問題的基本方法，它是從認識個別的、特殊的事物推出一般原理和普遍事物.特別是數(shù)學歸納法對人的思辨性思維要求較高，要根據(jù)已有的前提條件，進行歸納和邏輯推導，進而得到最終的結論.在高中物理的許多問題中，數(shù)學歸納法都有著極為重要的作用.現(xiàn)舉幾例加以說明.

例1如圖1所示電路，AB右側有無窮多個電阻，每個電阻的阻值皆為R，將AB兩端接入電路，試計算AB之間的總電阻.

解析設AB之間的總電阻為Rx，通過對電路結構的分析、歸納可得：若將靠近AB端的兩個、四個、六個…….偶數(shù)個電阻去掉之后剩下的那部分電路，與原來的電路結構完全相同，所以它們的阻值也應該是完全相同的.現(xiàn)在以去掉左側兩個電阻之后的電路為例，該電路電阻也為Rx，故AB之間的等效電路如圖2所示.根據(jù)電阻的串并聯(lián)規(guī)律可得

（Rx+R）R1（Rx+R）+R=Rx，

解之得Rx=5+112R.

解決本題的主導思想就是在于利用對部分電路進行分析，通過與整個電路的對比進而歸納總結出相應的等效電路，從而將無限變?yōu)橛邢?，使問題得以簡化.

例2如圖3所示，常溫常壓下，一導熱性能良好的密閉容器，容積為V0，內(nèi)部氣體壓強為p0，現(xiàn)用容積為ΔV的抽氣筒對該容器進行緩慢抽氣，試求抽完N次后，容器內(nèi)剩余氣體的壓強是多少？

解析抽氣問題屬于典型的變質(zhì)量問題.處理這類抽氣問題有兩點需要明確：一、如何將變質(zhì)量問題轉(zhuǎn)化成“不變質(zhì)量”問題，也就是要選取合適的研究對象；二、如何探尋每一次抽氣前后，容器內(nèi)氣體的壓強變化規(guī)律，這就需要用到數(shù)學歸納法去總結出帶有一般性規(guī)律的表達式.

依題意，抽氣過程中，氣體做等溫變化，遵循的是玻意爾定律.每一次抽氣時，取容器和被抽氣筒抽出的氣體這樣一個整體作為研究對象.第一次抽氣前后有

P0V0=P1（V0+ΔV）（1）

第二次抽氣之前容器內(nèi)剩余氣體的壓強就是p1，所以第二次抽氣前后仍然有

P1V0=P2（V0+ΔV）（2）

第三次抽氣之前容器內(nèi)剩余氣體的壓強就是p2，亦有

P2V0=P3（V0+ΔV）（3）

……

第N次抽氣前后，有

PN-1V0=PN（V0+ΔV）（4）

（4）式的獲得就是對（1）、（2）、（3）式進行歸納推導的結果.

由（1）式可得p1=V01V0+ΔV p0（5）

由（2）式可得p2=V01V0+ΔV p1（6）

由（3）式可得p3=V01V0+ΔV p2（7）

（5）、（6）兩式聯(lián)立可得p2=（V01V0+ΔV）2p0（8）

（7）、（8）兩式聯(lián)立可得p3=（V01V0+ΔV）3p0（9）

通過對（5）、（8）、（9）三式再一次進行歸納推理可得：抽完N次后，容器內(nèi)剩余氣體的壓強表達式為

pN=（V01V0+ΔV）Np0.

在本題中，方程的建立和解方程的過程都用到了數(shù)學歸納法.這里需要特別說明一點，與數(shù)學中用數(shù)學歸納法證明問題不同的是，物理中不再需要驗證結論這一環(huán)節(jié)，而是將重點放在如何探究從特殊情況到一般結論這一歸納的過程和結果上來.

例3有N個質(zhì)量均為m的人，站在質(zhì)量為M的平板車上.開始時，人與車均靜止于光滑水平面上，若這N個人都從平板車的后端以相對于平板車為u的水平速度從車上向后跳下，車因此向前反沖前進.

（1）若N個人同時跳車，平板車獲得的速度是多大？

（2）若N個人依次跳車，平板車獲得的速度又是多大？

解析很顯然，本題中，第二種情況要復雜一些，如不仔細加以分析，很容易給人造成兩種情況貌似完全相同的錯覺.

第一種情況下，N個人同時跳車，設人跳車時車向前的速度大小為v，則此時人對地向后的速度大小為v′=u-v，方向與車速方向相反，跳車過程中人與車系統(tǒng)在水平方向上動量守恒，即Mv-Nmv′=0.故平板車獲得的反沖速度為

v=Nmu1M+Nm.

第二種情況下，N個人依次跳車時，在第一個人跳車前后，由系統(tǒng)在水平方向上動量守恒可得

[M+（N-1）m]v1-m（u-v1）=0，

解得v1=mu1M+Nm（1）

其中v1為第一個人跳車后的車速.在第二個人跳車前，新系統(tǒng)已經(jīng)具有了一定的初動量

p1=[M+（N-1）m]v1，

故在第二個人跳車前后，根據(jù)新系統(tǒng)動量守恒可得

[M+（N-2）m]v2-m（u-v2）=[M+（N-1）m]v1，

解之得v2-v1=mu1M+（N-1）m（2）

其中v2為第二個人跳車后的車速.同理，在第三個人跳車前后，有

[M+（N-3）m]v3-m（u-v3）=[M+（N-2）m]v2，

解之得v3-v2=mu1M+（N-2）m（3）

其中v3為第三個人跳車后的車速.同理依次類推有

v4-v3=mu1M+（N-3）m（4）

……

vN-vN-1=mu1M+[N-（N-1）]m，

即vN-vN-1=mu1M+m（5）

將以上所有表達式左邊相加有

v1+（v2-v1）+（v3-v2）+（v4-v3）+…+（vN-1-vN-2）+（vN-vN-1）=vN，

右邊相加即為vN的最終表達式，故

vN=mu1M+Nm+mu1M+（N-1）m+mu1M+（N-2）m+…

+mu1M+m.

由于vN表達式中的分子都是相同的，而分母越來越小，故這N項之和大于第一項mu1M+Nm的N倍，即vN>Nmu1M+Nm，也即vN>v，說明平板車在第二種情況下獲得的速度大于第一種情況.

這個結論同時也告訴我們一個事實：在發(fā)射人造航天器時，為什么要采取多級火箭依次點火加速，而不是采用多級火箭同時點火加速的方式，因為在這種情況下航天器可以獲得更大的推進速度.

本例巧妙的對條件進行歸納總結，從而將依次跳車過程中的那些中間過渡速度給抵消了，只保留了車最終的速度，盡管最終的表達式略顯復雜，但是里面暗含的規(guī)律是顯而易見的.可以說本例是數(shù)學歸納法在物理問題中應用的典范.具有很強的參考和借鑒意義.