邱邑峰

在某些非數(shù)列問題中，我們可以看到等差數(shù)列或等比數(shù)列的雛形，如a+c=2b，ac=b2結(jié)構(gòu)特征的式子，若能巧妙地引入公差或公比，則往往可以找到解決問題的簡捷途徑.

一、解三角函數(shù)題

例1 已知sin α·cos α=■（■<α<■），求sin α和cos α的值.

解 由■<α<■，可知sin α>cos α>0.

由sin α·cos α=■=（■）2，可知cos α，■，sin α成等比數(shù)列.設(shè)cos α=■，sin α=■（q為公比，且q>1），代入sin2α+cos2α=1，得60q4-169q2+60=0，解得q=■，或q=-■（舍去），或q=■（舍去），或q=-■（舍去）.于是可得sin α=■，cos α=■.

二、解無理方程

例2 解方程■+■=1.

解 由題設(shè)知■，■，■成等差數(shù)列，不妨設(shè)■=■-d，■=■+d，則x-1=（■-d）2，2-x=（■+d）3.

又（x-1）+（2-x）=1，可得（■-d）2+（■+d）3=1，即（2d-1）（2d+1）（2d+5）=0，解得d1=■，d2=-■，d3= -■.于是可得x1=1，x2=2，x3= 10.

三、解方程組

例3 求三個(gè)實(shí)數(shù)x，y，z，使它們滿足：

2x+3y+z=13， ①4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82. ②

解 由①得2x+3y=2×■，即2x，■，3y成等差數(shù)列.故可設(shè)2x=■-d，3y=■+d，代入②整理得3（z-4）2+4（d+■）2=0，解得z=4，d=-■.

于是可得x=3，y=1，z=4.

四、證明不等式

例4 已知a>1，n≥2，n∈■，求證：■-1<■.

證明 由a>1，得■-1>0，則要證明的不等式等價(jià)于■>n，即■>n.故構(gòu)造以1為首項(xiàng)、■為公比的等比數(shù)列{an}，則an=（■）n-1，Sn=■，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明當(dāng)n≥2時(shí)，Sn>n.

由于當(dāng)n≥2時(shí)，an >1，公比■>1，易知Sn>n成立，所以■-1<■成立.

五、求函數(shù)最值

例5 設(shè)x≥0，y≥0，2x+y=6，求z=4x2+3xy+y2-6x-3y的最值.

解 設(shè)2x=3-d，y=3+d，且|d|≤3，則z=4x2+3xy+y2-6x-3y=■+■.

由|d|≤3，得0≤d2≤9，則■≤■+■≤18，即■≤z≤18.

所以zmin=■，zmax=18.（責(zé)任編校/馮琪）