采樣率及數(shù)值積分算法對(duì)數(shù)字化電能計(jì)量誤差影響分析*

穆小星 張 健 段梅梅

（1.江蘇省電力公司電力科學(xué)研究院，南京 211103；2.國(guó)家電網(wǎng)公司電能計(jì)量重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 211103）

0 引言

數(shù)字化變電站電能計(jì)量系統(tǒng)有一次電子式互感器、合并單元及后端數(shù)字化電能表組成。數(shù)字化電能表相當(dāng)于傳統(tǒng)模擬電能表把前端模擬信號(hào)處理及A/D轉(zhuǎn)換器部分植人電子互感器或合并單元中，而僅留下數(shù)字處理部分。其計(jì)量電能的原理就是不斷讀取合并單元輸出電壓、電流采樣值報(bào)文，然后解析出相應(yīng)電壓、電流采樣值，再通過(guò)相應(yīng)功率算法計(jì)算電能，同時(shí)輸出相應(yīng)電能脈沖。電子式互感器或合并單元的采樣率及數(shù)字化電能表自身采用的數(shù)值積分算法是變電站電能計(jì)量系統(tǒng)中數(shù)字系統(tǒng)計(jì)量誤差主要來(lái)源。數(shù)字化電能表計(jì)算有功功率時(shí)可看作是對(duì)信號(hào)周期內(nèi)的電壓、電流采樣點(diǎn)乘積積分后的平均值，電能則可以看作是對(duì)功率的累積和。本文對(duì)功率三種典型數(shù)值積分算法及不同采樣率條件下誤差進(jìn)行分析，并通過(guò)驗(yàn)證系統(tǒng)進(jìn)行實(shí)驗(yàn)對(duì)比，以了解數(shù)字化電能計(jì)量誤差來(lái)源。

1 數(shù)值積分算法分析

1.1 功率計(jì)算數(shù)學(xué)模型

本文在分析過(guò)程中電壓、電流模型采用式（1）所示的一次暫態(tài)信號(hào)模型[1]：

式中，IPsc為一次電流對(duì)稱(chēng)分量方均根值（暫態(tài)的一次短路電流）；UPsc為對(duì)應(yīng)于IPsc的一次電壓方均根值；f為基波頻率；τ 為一次時(shí)間常數(shù)；φ為一次相移；t為時(shí)間瞬時(shí)值；uPres（t）/iPres（t）為一次剩余電壓/電流，包含直流諧波及次諧波。

為簡(jiǎn)化分析，取uPres（t）＝iPres（t）＝0，由式（1）得到：

式（2）離散化后得到[2]：

τ＝，離散化后為τ＝。

測(cè)量對(duì)象的瞬時(shí)功率為：p（t）＝uP（t）×iP（t），有功功率，即平均功率為：

1.2 點(diǎn)積和積分算法分析

根據(jù)式（4）點(diǎn)積和計(jì)算有功功率數(shù)學(xué)模型為：

式中，p（tk）＝u（tk）×i（tk），P為p（t）在區(qū)間[0，T]（信號(hào)周期整數(shù)倍）上的積分平均值，即有功功率。

點(diǎn)積和算法的計(jì)算誤差分析可借用復(fù)化梯形公式的算法誤差分析，其誤差數(shù)學(xué)表達(dá)式為[3]：

式中，p″（η）為p（t）在[0，T]的2 階導(dǎo)數(shù)值；T為點(diǎn)積和算法采用的時(shí)間周期；N為積分區(qū)間采樣點(diǎn)數(shù)。由于實(shí)際電網(wǎng)波形的復(fù)雜性，對(duì)功率函數(shù)求導(dǎo)并不容易，在此采用“事后估計(jì)誤差法”[3]進(jìn)行計(jì)算誤差分析。設(shè)定式（6）中N為偶數(shù)，采用“事后估計(jì)誤差法”估算點(diǎn)積和算法的相對(duì)誤差，則可用下式表達(dá)其誤差：

式中，Pn、P2n分別為將區(qū)間[0，T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí)利用點(diǎn)積和計(jì)算得到的功率的積分值。

1.3 復(fù)化SimPson 積分算法分析

復(fù)化SimPson 求積算法是高階的數(shù)值積分算法，由復(fù)化SimPson 求積公式[3，5]可得：

式中：tk+1/2＝＝u（tk）×i（tk），tk∈[a，b]；Pn為p（t）在區(qū)間[a，b]上的復(fù)化SimPson 算法積分值。當(dāng)[a，b]取[0，T]（信號(hào)周期整數(shù)倍）時(shí)，則有功功率。

復(fù)化SimPson 積分算法的計(jì)算誤差可表示為[3]：

式中，T為復(fù)化SimPson 積分算法采用的積分周期；p（4）（η）為p（t）在[0，T]的4 階導(dǎo)數(shù)值。

采用“事后估計(jì)誤差法”評(píng)估誤差，則復(fù)化SimPson 積分算法引起的計(jì)算誤差大小約為：

式中：Pn、P2n分別為將區(qū)間[0，T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí)，利用復(fù)化SimPson 積分公式得到的積分結(jié)果。

1.4 復(fù)化Cotes積分算法分析

復(fù)化Cotes求積算法也屬于高階的數(shù)值積分算法，同理，若將功率函數(shù)p（t）在區(qū)間[a，b]上進(jìn)行積分，把[a，b]分為n 等分，取間隔點(diǎn)tk＝a +kh（k＝0，1，…，n），h＝。在每個(gè)小區(qū)間[tk，tk+1]上通過(guò)復(fù)化Cotes求積公式[3～9]可得：

式中：tk+1/4＝tk+、tk+1/2＝tk+、tk+3/4＝tk+h；p（tk）＝u（tk）×i（tk），tk∈[a，b]；Pn為p（t）在區(qū)間[a，b]上的復(fù)化Cotes算法積分值。當(dāng)[a，b]取[0，T]（信號(hào)周期整數(shù)倍）時(shí)，則有功功率P≈。

復(fù)化Cotes積分算法的計(jì)算誤差可用式（12）表達(dá)[3]：

式中，T為復(fù)化Cotes積分算法采用的積分周期；p（6）（η）為p（t）在[0，T]的6 階導(dǎo)數(shù)值。

采用“事后估計(jì)誤差法”評(píng)估誤差，則復(fù)化Cotes積分算法引起的計(jì)算誤差約為：

式中，Pn、P2n分別為將區(qū)間[0，T]進(jìn)行n 和2n 等分時(shí)，用復(fù)化Cotes積分公式計(jì)算的值。

2 不同算法及不同采樣率對(duì)數(shù)字化電能誤差影響分析

通過(guò)MATLAB計(jì)算軟件編制相應(yīng)計(jì)算模塊、對(duì)暫態(tài)波形條件下采用上述三種算法的“電能表”誤差進(jìn)行仿真，取IPse＝1000A，UPse＝220 ×103V，分別設(shè)置4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz四種典型采樣率進(jìn)行仿真并采用“事后估計(jì)誤差法”進(jìn)行誤差分析，三種算法仿真參數(shù)分別設(shè)置如下：

1）點(diǎn)積和算法：取n＝（4000，9600，10000，12800）、φ＝π/2；

2）復(fù)化SimPson 算法：取n＝（2000，4800，5000，6400）、T＝1s、h＝T/n，a＝0、b＝1，φ＝π/2；

3）復(fù)化Cotes算法：取n＝（1000，2400，2500，3200）、T＝1s、h＝T/n、a＝0、b＝1，φ＝π/2。

通過(guò)仿真計(jì)算模塊得到三種算法的理論計(jì)算誤差，見(jiàn)表1 和圖1。

表1 不同采樣頻率下算法仿真誤差

圖1 不同采樣率下數(shù)值積分算法的誤差

圖2 數(shù)字化電能表誤差測(cè)試原理框圖

從表1 及圖1 示可以看出，在相同的采樣頻率下，采用點(diǎn)積和算法誤差最大，采用Cotes積分算法時(shí)誤差最??；在同一算法條件下，4kHz采樣頻率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差最大，12.8kHz的采樣頻率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差最小。

為證明理論誤差分析的正確性，同時(shí)設(shè)計(jì)對(duì)應(yīng)的實(shí)驗(yàn)對(duì)各數(shù)值積分算法的誤差進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)見(jiàn)圖2。本驗(yàn)證系統(tǒng)中的IEC61850 協(xié)議轉(zhuǎn)換模塊利用實(shí)時(shí)性高的FPGA處理器作為主控芯片，將PC機(jī)下載的單個(gè)周期的離散電壓、電流值根據(jù)IEC618509-2 協(xié)議格式打包，并按照嚴(yán)格的時(shí)序向被測(cè)“數(shù)字化電能表”進(jìn)行數(shù)據(jù)包的循環(huán)發(fā)送，同時(shí)設(shè)計(jì)了誤差計(jì)算模塊，誤差計(jì)算通過(guò)電能脈沖法。為了減小脈沖影響，本文設(shè)計(jì)的脈沖采集模塊采用FPGA作為主控芯片，其程序具有并行運(yùn)行的優(yōu)勢(shì)，可以減小因程序執(zhí)行延時(shí)造成的誤差，從而保證數(shù)字化電能表誤差測(cè)試結(jié)果的可靠性。

通過(guò)上述驗(yàn)證系統(tǒng)，在PC上位機(jī)，仿真模塊對(duì)一個(gè)周波的暫態(tài)電壓、電流進(jìn)行數(shù)值采樣、離散，并通過(guò)串口發(fā)往IEC61850 協(xié)議發(fā)包仿真裝置，按照不同的采樣率，每秒發(fā)送與采樣率相同的數(shù)據(jù)包數(shù)，即對(duì)于50Hz的基頻電壓、基頻電流波形按采樣率為4kHz、9.6kHz、10kHz、12.8kHz時(shí)，每秒分別發(fā)送4k、9.6k、10k、12.8k 數(shù)量數(shù)據(jù)包給“點(diǎn)積和”、“復(fù)化SimPson 算法”、“復(fù)化Cotes算法”三個(gè)“數(shù)字化電能表”，計(jì)算的電能分別為E1、E2、E3，與通過(guò)原始波形直接變換、計(jì)算出的電能量E進(jìn)行比較，計(jì)算各自相對(duì)誤差：

用上述公式計(jì)算得到的其誤差結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 不同采樣頻率下算法的實(shí)驗(yàn)誤差

比較表1、表2 可以看到數(shù)值積分算法理論誤差和實(shí)驗(yàn)誤差結(jié)果一致。

3 結(jié)語(yǔ)

采用不同采樣率及數(shù)值積分算法對(duì)數(shù)字化電能計(jì)量將產(chǎn)生不同的誤差。從前面的分析中可以得到：

1）在同一采樣頻率條件下，電能計(jì)算采用復(fù)化SimPson、復(fù)化Cotes算法要比采用簡(jiǎn)單的點(diǎn)積和算法誤差小。復(fù)化SimPson 算法的計(jì)算誤差約為點(diǎn)積和算法誤差的65.5%～66.7%左右，復(fù)化Cotes算法的計(jì)算誤差約為點(diǎn)積和算法誤差的61.15%～61.88%左右。而復(fù)化SimPson 算法的計(jì)算誤差約為復(fù)化Cotes算法誤差的93.33%左右?？梢缘贸霾捎酶唠A的數(shù)值積分算法能有效的降低數(shù)字化電能表計(jì)算誤差。

2）當(dāng)采樣率從4kHz提高到12.8kHz時(shí)，誤差降低效果明顯，尤其對(duì)簡(jiǎn)單的點(diǎn)積和算法。對(duì)每種算法，12.8kHz采樣率對(duì)應(yīng)的計(jì)算誤差約為4kHz采樣率時(shí)的30.881%。但考慮到數(shù)字化電能表硬件條件和經(jīng)濟(jì)條件的限制，如果采用高采樣率、高階積分算法可能會(huì)降低數(shù)字化電能表的穩(wěn)定性和可靠性，故可采用高采樣率、一階代數(shù)精度的點(diǎn)積和算法或采用正常采樣率、高階數(shù)值積分算法來(lái)確定電能表計(jì)量方案。