楊 靜

(北京航空航天大學(xué)，北京100191)

一、問(wèn)題的提出

傳統(tǒng)的壽險(xiǎn)精算模型是建立在概率空間上，視人的壽命為隨機(jī)變量，用概率測(cè)度進(jìn)行度量［1-3］.然而，在現(xiàn)實(shí)世界，壽險(xiǎn)中的不確定性往往表現(xiàn)為模糊性不確定性.如文獻(xiàn)［4］指出，就壽命分布而言，由于人的生存和死亡的不確定性是十分復(fù)雜的，而概率是一種滿(mǎn)足可加性(可列可加性)的測(cè)度，要描述一個(gè)人在某年齡的生存或死亡的可能性，概率的可加性條件是難以滿(mǎn)足，因此用模糊測(cè)度——可信性測(cè)度代替概率測(cè)度，建立了可信性空間上的壽險(xiǎn)精算模型.可信性測(cè)度是描述模糊性的新方法，文獻(xiàn)［5］視壽險(xiǎn)中的生命為可信性空間上的模糊變量，用具有自對(duì)偶、次可加性、正定性的可信性測(cè)度去度量，討論了其中的一些基本問(wèn)題，將壽險(xiǎn)精算理論擴(kuò)展到可信性空間上.本文在在可信性空間上，基于文獻(xiàn)［5-6］討論可信性空間上變動(dòng)生存年金的精算現(xiàn)值模型，分別建立每年期初支付變動(dòng)終身年金，期初支付變動(dòng)n年年金，期末支付變動(dòng)終身年金，期末支付變動(dòng)n年年金.

二、預(yù)備知識(shí)

定義1［6］設(shè)Θ是一非空集合，P(Θ)為Θ的冪集，P(Θ)中每一個(gè)元素稱(chēng)為一個(gè)事件.若集函數(shù)Cr:P(Θ)→[0，1]滿(mǎn)足:

(i)Cr{Θ}=1;

(ii)當(dāng) A? B 時(shí)，Cr{A}≤Cr{B};

(iii)對(duì)于任意A∈P(Θ)，Cr{A}+Cr{Ac}=1;

(iv)對(duì)于任何Ai∈P(Θ)，若，有.則稱(chēng)Cr為一個(gè)可信性測(cè)度.

三元組(Θ，P(Θ)，Cr)稱(chēng)為可信性空間［7］.

定義2［7］設(shè)ξ為一從可信性空間 (Θ，P(Θ)，Cr)到實(shí)直線(xiàn)R上的函數(shù)，則稱(chēng)ξ為一模糊變量.

定義3［8］設(shè)ξ為模糊變量，函數(shù)Φ:R→ [0，1]滿(mǎn)足

則稱(chēng)Φ為模糊變量ξ的可信性分布.

定義4［7］設(shè)ξ是定義在可信性空間(Θ，P(Θ)，Cr)上的模糊變量.那么，由可信性測(cè)度Cr可以導(dǎo)出其隸屬度函數(shù)為

定理1［9］設(shè)ξ為模糊變量且可信性分布為Φ，假設(shè)Cr{ξ≤x}≠Cr{ξ≤x+t}(t＞0 )，則有

定義5 設(shè)T(x)為x歲的人的余壽，則稱(chēng)Φx(t)=Cr{T(x)≤t}(t＞0)為余壽分布函數(shù)

Φx(t)表示x歲的人在未來(lái)的t年內(nèi)死亡的可信性，實(shí)際反映0歲的人活過(guò)x歲的條件下在x+t歲前死亡的可信性.

可信性空間中國(guó)際精算符號(hào)的定義［8］:

tqx表示x歲的人活不過(guò)x+t歲的可信性，即tqx=Φx(t)=Cr{T(x)≤t}

tpx表示x歲的人活過(guò)x+t歲的可信性，即tpx=1-tqx=Cr{T(x)＞t}=Sx(t)當(dāng)t=1時(shí)，我們記1qx=qx，1px=px

t|uqx表示x歲的人在x+t歲與x+t+u歲之間死亡的可信性，即

當(dāng)u=1時(shí)，我們記

定理2［7］ξ為可信性空間上的離散型模糊變量，若其隸屬度函數(shù)為

不失一般性，不妨假設(shè)a1≤a2≤…≤an.則模糊變量ξ的期望值

三、主要結(jié)果

(一)期初付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

一些符號(hào)規(guī)定如下:

K——x歲的被保人自保單生效后的取整余壽

Y——到被保險(xiǎn)人死亡之時(shí)保險(xiǎn)人所付的年金現(xiàn)值

v——折現(xiàn)因子

這里的K，Y均為可信性空間的離散型模糊變量

變動(dòng)的生存年金:

在第一年支付1單位元的現(xiàn)值，第二年支付2單位元的現(xiàn)值，以此下去直至被保險(xiǎn)人死亡.

需要說(shuō)明的是人的壽命是有限的，我們假設(shè)被保人在整數(shù)極限年[W]歲上死亡，另對(duì)被保人來(lái)說(shuō)，其第k+1年死亡的可信性為

x歲的被保人取整余壽K，則到死亡發(fā)生時(shí)為止的所有已支付的年金現(xiàn)值

這里的模糊事件{Y=yk+1}等介于事件{k(x)=k}

故有uk+1=[2cr{Y=yk+1}]∧1=[2cr{K(x)=k}]∧1=(2k|qx)

不失一般性，不妨假設(shè)y1≤y2≤…≤yk+1≤….于是由定理2的結(jié)論，得該年金的精算現(xiàn)值模型

(二)期初付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

(三)期末付變動(dòng)終身生存年金的精算現(xiàn)值模型

(四)期末付變動(dòng)n年生存年金的精算現(xiàn)值模型

四、結(jié)論

通過(guò)對(duì)可信性空間上年金的討論，給出了可信性空間上生存年金精算現(xiàn)值模型，分別建立了年初，年末支付變動(dòng)終身生存年金精算現(xiàn)值模型和年初，年末支付n年變動(dòng)生存年金精算現(xiàn)值模型.從而使得可信性空間上壽險(xiǎn)精算模型進(jìn)一步得到完善.

［1］N.L.Bowers，H.U.Gerber，J.C.Hickman，D.A.Jones，C.J.Nesbitt，Actuarial Mathematics.The Society of Actuaries，Itasca，IL，1986.

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