周 陽，黃維平

（中國海洋大學(xué)山東省海洋工程重點實驗室，山東 青島266100）

對渦激振動的研究由來已久，主要針對物體在一定速度的流體中，其尾流產(chǎn)生交替的渦泄，導(dǎo)致物體兩側(cè)壓強的交替變化，從而引起結(jié)構(gòu)的振動，對于Spar平臺等大直徑浮式結(jié)構(gòu)，尾流的渦旋脫落周期較長，且其自身剛度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系泊系統(tǒng)的剛度，發(fā)生渦激振動時，其運動幅度以殼體的整體運動為主，這種振動稱為渦激運動（Vortex－Induced Motion，VIM）。目前海洋工程方面，主要是針對立管和海底管線等大長細(xì)比的柔性結(jié)構(gòu)進(jìn)行渦激振動研究［1－2］。但是，對于Spar平臺這種大型新型海洋結(jié)構(gòu)物的渦激運動研究才剛起步［3－7］。國際上已有一些學(xué)者對渦激運動進(jìn)行了運動特性研究［8－10］，其中包括側(cè)重于工程應(yīng)用角度的對海洋平臺等結(jié)構(gòu)物進(jìn)行的渦激運動整體預(yù)報的相關(guān)研究［8－9］，還包括側(cè)重于考察非流線型柱狀主體周圍的復(fù)雜流動現(xiàn)象、渦的生成和脫落特征方面的機理性研究［10］。

渦激運動包括橫流向和順流向的兩向渦激運動。大部分軟件對渦激運動進(jìn)行計算時，會忽略流固耦合的作用，即使考慮流固耦合，也只是考慮結(jié)構(gòu)位移對流場變化帶來的影響，而不考慮結(jié)構(gòu)速度帶來的影響，即非線性阻尼帶來的影響。為了更好的研究流固耦合對于Spar平臺兩向渦激運動的影響，本文運用Matlab程序分別對Spar平臺順流向和橫流向渦激運動進(jìn)行了流固耦合數(shù)值模擬，探討結(jié)構(gòu)速度和兩向渦激運動之間的關(guān)系，并對結(jié)構(gòu)非線性阻尼的影響進(jìn)行了探討。

1 模型介紹

本文主要針對一硬艙外徑為28m，長為70m，連接段外徑為14m，長為84m，軟艙外徑為28m，長為15m的簡易Spar平臺模型進(jìn)行分析，其中干舷為16m（見圖1）。系泊系統(tǒng)由9根系泊纜組成，9根系泊纜分成3組對稱布置（見圖2），其水平剛度為93.745kN／m。進(jìn)行了流速為0.2～2m／s的情況下的兩向渦激運動的數(shù)值模擬。

圖1 Spar平臺模型Fig.1 Model of Spar platform

2 數(shù)值模擬方法

本文將Spar平臺看做剛體進(jìn)行整體分析，運用Matlab軟件根據(jù)Newmark－β法編程完成平臺的兩向渦激運動響應(yīng)計算［11］。

圖2 Spar平臺系泊系統(tǒng)平面布置Fig.2 Floorplan of Spar mooring system

2.1 數(shù)模建立

由于數(shù)值模擬的需要，需要對模型進(jìn)行簡化，并引入一些假定。

平臺所受渦激升力包括兩部分，一部分為硬艙和軟艙渦泄時產(chǎn)生的兩向渦激升力，由于直徑相同，因此升力頻率一樣，故對于平臺的受力可以疊加在一起進(jìn)行。另一部分為連接段渦泄時產(chǎn)生的兩向渦激升力，由于直徑與硬艙和軟艙不同，因此其渦泄升力頻率不一樣，其作用力要單獨加在平臺上。

由于研究平臺渦激運動時，只考慮水平面內(nèi)的運動，因此系泊系統(tǒng)的剛度只考慮其水平剛度，由于位移比較小，同時忽略了平臺產(chǎn)生位移時對系泊系統(tǒng)水平剛度的影響，將水平剛度視為一個定值。

由于Spar平臺自上而下不是均勻的圓筒形，其渦激升力沿高度方向也不統(tǒng)一，因此，實際過程中，平臺會發(fā)生一定的橫搖和縱搖，為了計算需要，本文同時忽略了平臺發(fā)生橫搖和縱搖時對此次數(shù)值模擬的影響。

2.2 Newmark－β法參數(shù)選定

Newmark－β法中，根據(jù)拉格朗日中值定理，t＋Δt時刻的速度表示成

于是t＋Δt時刻的速度

由泰勒級數(shù)導(dǎo)出

利用式（3）和（4），寫出t＋Δt時刻的速度和加速度的表達(dá)式

把式（6）代入（5）并消去lui＋1和¨ui＋1得到關(guān)于ui＋1的求解方程

其中

求解方程（7）得到ui＋1，然后根據(jù)公式（6）可求得

根據(jù)上面建立的迭代公式，可歸納出Newmark－β法的計算過程：第一步形成K＊，第二步根據(jù)F＊i＋1求解方程（7）得到位移響應(yīng)ui＋1，并按照式（6）求速度和加速度響應(yīng)。逐步進(jìn)行迭代即可得到整個時間段的響應(yīng)情況，這是一種數(shù)值解的方法。在此次計算中，取α＝

3 流固耦合時兩向渦激運動的數(shù)值模擬

3.1 考慮非線性阻尼時順流向渦激運動響應(yīng)

平臺的順流向渦激運動是指渦旋脫落時對平臺引起沿著來流方向的曳力，導(dǎo)致平臺產(chǎn)生沿流方向的往復(fù)運動，相關(guān)圓柱形平臺的運動方程如下：

式中：CLI為脈動拖曳力系數(shù)，與Re有關(guān)；u為來流速度；x為立管順流向振動位移；lx為立管順流向振動速度為立管順流向振動加速度；wS為渦泄頻率；M為單位長度質(zhì)量；K為單位長度錨鏈水平剛度；C為結(jié)構(gòu)阻尼；Cm為附加質(zhì)量系數(shù)；CD為拖曳力系數(shù)。其中根據(jù)文獻(xiàn)［3，6］，選定CLI為0.05，CD為1.4，Cm為1。渦泄圓頻率其中St為斯托哈爾數(shù)，取0.25。

本文提及的非線性阻尼項指的是由于平臺和流體之間的相對運動而引起的拖曳力項，對于順流向的情況，非線性阻尼項為

由于Spar平臺中間段，硬艙和軟艙的直徑不同，計算時將中間段的渦激升力以及硬艙和軟艙的渦激升力根據(jù)式（9）沿長度方向積分分別加載于平臺之上，附加質(zhì)量力也如此處理。而與平臺質(zhì)量相關(guān)的慣性力，總平臺結(jié)構(gòu)阻尼以及總錨鏈水平剛度則以實際Spar平臺的參數(shù)為準(zhǔn)進(jìn)行加載，其中Spar平臺總質(zhì)量為38 000t，總結(jié)構(gòu)阻尼為4.18×105kg·s－1，總錨鏈水平剛度為93.745kN／m。此文對于Spar平臺的渦激運動數(shù)值模擬均采用這種加載方式進(jìn)行。

根據(jù)Newmark－β法對平臺的運動方程進(jìn)行編程計算，分析Spar平臺考慮流固耦合時在流速0.2～2m／s工況中，由于渦泄引起的順流向振動響應(yīng)。平臺的位移以幅值比的形式給出，即位移比硬艙直徑的形式，同時計算流速度以約化速度的形式給出（見圖3）。

圖3 順流向渦激運動幅值比隨約化速度的變化Fig.3 The relationship between in－line amplitude ratio of VIM and reduced velocity

從圖中可以看到，順流向的幅值比隨著約化速度的增加而增加，是一個遞增曲線，可見流速的大小對于平臺順流向的運動幅值起著關(guān)鍵的作用。但是順流向的運動響應(yīng)很小，即使在約化速度為15的情況下，其幅值比僅約為0.006，即位移為0.168m。所以目前對于Spar平臺的順流向響應(yīng)基本不予以考慮。

圖4是1m／s流速時順流向渦激運動位移響應(yīng)情況，可見Spar平臺在順流向產(chǎn)生了恒定的剛體位移23.78m，并在這個位置附近來回振蕩。

運用Matlab對數(shù)據(jù)采用快速傅里葉變換（FFT）進(jìn)行譜分析，得位移周期見圖5，清晰可見與渦激升力一致的運動周期56s。通過圖5可知，連接段處渦旋脫落對平臺整體順流向的運動響應(yīng)影響比較微弱，因為通過計算可知連接段處渦旋脫落所引起的順流向振動周期為28s，而這個數(shù)據(jù)在周期圖上并不是很明顯。

圖4 1m／s時平臺順流向位移圖Fig.4 Displacement time history in the in－line direction when the velocity is 1m／s

圖5 1m／s時的周期圖Fig.5 Periodogram when the velocity is 1m／s

3.2 考慮非線性阻尼時橫流向渦激運動響應(yīng)

平臺的橫流向渦激運動是指渦旋脫落時對平臺引起垂直于來流方向的升力，導(dǎo)致平臺產(chǎn)生垂直于來流方向的往復(fù)運動，相關(guān)圓柱形平臺的運動方程如下：

式中：CL為升力系數(shù)，與Re有關(guān)；y為立管橫流向振動位移；ly為立管橫流向振動速度為立管橫流向振動即為非線性阻尼項。

運用Matlab對平臺的運動方程進(jìn)行編程計算，分析Spar平臺考慮流固耦合時在流速0.2～2m／s工況中，由于渦泄引起的橫流向振動響應(yīng)（見圖6）。

圖6 橫流向渦激運動幅值比隨約化速度的變化Fig.6 The relationship between crosss－flow amplitude ratio of VIM and reduced velocity

從圖中可以看到，隨著約化速度的增加，橫流向的幅值比先增加后減小，在約化速度為5的附近出現(xiàn)一個峰值，此時硬艙渦泄引起的橫流向升力頻率接近平臺的固有頻率，結(jié)構(gòu)發(fā)生共振。從圖形可見，這與順流向的運動響應(yīng)有一定的不同，制約橫流向運動響應(yīng)幅值的不再是單一的流速，而是與結(jié)構(gòu)的固有頻率也有一定的關(guān)系，來流引起的升力頻率越遠(yuǎn)離固有頻率，響應(yīng)則越小。同時又可從圖中看到，橫流向的響應(yīng)幅值比明顯比順流向的大得多，在共振時，平臺的幅值比達(dá)到了0.11附近，即位移為3.08m，這使得橫流向渦激運動的研究成為Spar平臺兩向渦激運動的重點。

圖7是1m／s流速時橫流向渦激運動位移響應(yīng)情況，可見Spar平臺在位移為0處來回振蕩，做簡諧運動，幅值接近1m。

圖7 1m／s時平臺橫流向位移圖Fig.7 Displacement time history in the cross－flow direction when the velocity is 1m／s

運用Matlab對數(shù)據(jù)采用快速傅里葉變換（FFT）進(jìn)行譜分析，得位移周期圖8，清晰可見與渦激升力一致的運動周期56，112s和平臺的固有周期200s。其中周期56s是連接段渦激升力產(chǎn)生的，周期112s是硬艙和軟艙渦激升力產(chǎn)生的。從圖8可見，渦激升力周期與平臺固有周期比較接近，隨著流速的降低，平臺將會和渦激產(chǎn)生的升力產(chǎn)生共振，這和圖6顯示的結(jié)果一致。

圖8 1m／s時的周期圖Fig.8 Periodogram when the velocity is 1m／s

3.3 非線性阻尼對順流向渦激運動響應(yīng)的影響

為了進(jìn)一步了解流固耦合中非線性阻尼力對結(jié)構(gòu)運動的影響，不考慮非線性阻尼力時的結(jié)構(gòu)運動模型同樣通過Matlab建立起來，這里先討論非線性阻尼力對順流向渦激運動響應(yīng)的影響。

Spar平臺在海流作用下產(chǎn)生渦激運動，順流向的運動較橫流向的運動幅度小得多。通過Newmark－β法同樣建立不考慮非線性阻尼時的順流向模型，方程如下，可與公式（9）進(jìn)行對比：

運用方程（11）計算得平臺此時的運動響應(yīng)，同樣平臺的位移以幅值比的形式給出。為了方便比較，同時將考慮非線性阻尼時，平臺順流向的響應(yīng)情況在圖中給出（見圖9）。

圖9 順流向渦激運動幅值比隨約化速度的變化Fig.9 The relationship between in－line amplitude ratio of VIM and reduced velocity

通過上圖比較發(fā)現(xiàn)平臺考慮非線性阻尼時的順流向響應(yīng)比不考慮時來得小，而且響應(yīng)均隨著約化速度的增加而增加，在約化速度為2.5附近都有一定的突變增加，這是由于在這個約化速度時，平臺上部硬艙的順流向渦激升力頻率與平臺固有頻率接近。然而在共振時，顯然非線性阻尼的作用更為明顯，它能有效的降低平臺順流向共振時位移響應(yīng)的計算結(jié)果，這對于Spar平臺將來可能的順流向位移計算有一定的參考價值。

3.4 非線性阻尼對橫流向渦激運動響應(yīng)的影響

Spar平臺渦激運動時橫流向的響應(yīng)是目前研究熱點，是Spar平臺設(shè)計的重要指標(biāo)。平臺渦激運動時橫流向運動的幅值較順流向運動的幅值大得多，對結(jié)構(gòu)和系泊系統(tǒng)的影響更為顯著。對于Spar平臺渦激運動的橫流向響應(yīng)必須控制在一定范圍內(nèi)。

通過Matlab軟件對Spar平臺不考慮非線性阻尼時的情況進(jìn)行編程，方程如（12），可與公式（10）進(jìn)行比較。

將不考慮非線性阻尼時的橫流向響應(yīng)數(shù)據(jù)同樣以幅值比的形式給出，同時引入考慮非線性阻尼時的數(shù)值模擬結(jié)果進(jìn)行比較（見圖10）。

圖10 橫流向渦激運動幅值比隨約化速度的變化Fig.10 The relationship between crosss－flow amplitude ratio of VIM and reduced velocity

通過上圖比較發(fā)現(xiàn)平臺考慮非線性阻尼時的橫流向響應(yīng)比不考慮時的響應(yīng)來得小，這與順流向的比較情況是一致的，然而橫流向響應(yīng)隨著約化速度的增加先增加后減小，在約化速度為5附近出現(xiàn)峰值，這是由于在這個約化速度時，平臺上部硬艙的橫流向渦激升力頻率與平臺固有頻率接近。在共振時，顯然非線性阻尼的作用也是更為明顯，它能有效的降低平臺橫流向共振時位移響應(yīng)的計算結(jié)果。在峰值兩邊，兩條曲線基本重合，可見，當(dāng)平臺不發(fā)生共振時，非線性阻尼的作用對于平臺的橫流向運動響應(yīng)的計算結(jié)果影響很小，這對于Spar平臺橫流向位移計算有一定的參考價值。

3.5 模型數(shù)值驗證

為了驗證本文數(shù)值模擬結(jié)果的正確性，本文將考慮非線性阻尼的橫流向數(shù)值模擬結(jié)果與文獻(xiàn)［6］進(jìn)行了對比（見圖11）。

圖11 數(shù)值模擬對比圖Fig.11 Comparison diagram of numerical simulation

從圖中可以看出，本文計算結(jié)果和文獻(xiàn)［6］有著一定的吻合性，在約化速度4～6區(qū)間內(nèi)，幅值比均有明顯上升趨勢，由于本文考慮了非線性阻尼的影響，而且本身Spar平臺的結(jié)構(gòu)阻尼較文獻(xiàn)［6］中的結(jié)構(gòu)阻尼大，因此在鎖定區(qū)本文的橫流向幅值比比文獻(xiàn)［6］中的小是合理的。在約化速度小于4或者大于6時，本文的計算數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)［6］有著明顯的一致性，這很好的驗證了本文理論數(shù)值計算的正確性。

4 結(jié)論

通過對Spar平臺兩向渦激運動的數(shù)值模擬，得到以下結(jié)果：

（1）得到了Spar平臺考慮流固耦合時兩向渦激運動位移響應(yīng)情況，并通過頻譜分析得到了相應(yīng)的周期圖。其中橫流向周期圖能較好地反映出硬艙和連接段2個不同直徑處的渦泄周期，同時還能從圖中觀察到平臺的固有周期。

（2）順流向渦激運動響應(yīng)隨著約化速度的增大而增大。橫流向渦激運動響應(yīng)隨著約化速度的增大先增大后減小，圖形曲線與順流向的完全不同，在約化速度5附近出現(xiàn)峰值，此時發(fā)生共振，由于其幅值較順流向的大得多，因此橫流向運動成為Spar平臺渦激運動考慮的重點。

（3）計算非線性阻尼對Spar平臺兩向渦激運動影響時發(fā)現(xiàn)，非線性阻尼能降低Spar平臺兩向渦激運動的計算結(jié)果，并且在共振時，減小的幅度更大?？梢娫赟par平臺兩向渦激運動的計算中，只有在遠(yuǎn)離共振的情況下才可以忽略非線性阻尼。

（4）為了方便計算，本文忽略了渦泄引起的平臺的橫搖和縱搖問題，有待日后繼續(xù)深入研究。

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