顧曉東

“認識面積”是蘇教版數(shù)學教材三年級下冊的教學內容。這部分內容是在學生已經(jīng)初步認識了一些幾何圖形，并掌握了周長概念以及長方形和正方形周長計算方法的基礎上進行教學的。面積概念對學生來說是一個全新的幾何概念，也是一次概念認識難點的突破。本課教學的主要任務是幫助學生建立面、面積的概念，并讓學生主動探究平面圖形面積比較的幾種基本方法，為后續(xù)的面積單位認識、長正方形面積計算做好準備。

【案例】

在一次校本教研活動中，一位教師呈現(xiàn)了如下認識面積概念的教學過程：

1.摸物體的表面，感知面。

2.摸物體的表面，比較面的大小。

3.揭示面積的定義：物體表面的大小就是物體表面的面積。

4.回歸現(xiàn)實，說說身邊物體表面的面積。

5.引申到所學平面圖形，感受平面圖形的大小。

6.揭示平面圖形面積的定義。

7.引導學生探究比較平面圖形面積大小的幾種方法。

【思考】

這其中，看似讓學生經(jīng)歷了由對現(xiàn)實世界的感知轉向對數(shù)學概念的逐步抽象的過程。但細細體味，學生對面積概念的認識過程顯得不夠精致，尤其是對“面的大小”的認識仍然比較模糊。從課末回顧反思“哪些留在了腦子里”的學生回答中，均未提到認識了“什么是面？”“什么是面積？”等概念，只是說到了一些平面圖形面積比較的方法?？梢妼W生并沒有很好地在頭腦中建立起面積概念，沒有使自己的幾何概念認知結構得到有效拓展。究其原因主要是：

1.概念本質的把握不夠全面

小學階段所學的點、線、面、體都是基于歐幾里得幾何的，它們是學生最早接觸到的幾何概念。事實上，越是最基本的概念就越是難以說清楚，因為在描述的過程中無法借用其他的概念。在日常生活中，學生看到的物體都是立體的，而“面”則是一個平面概念，是從日常生活中的立體圖形中抽象出來的概念。這種抽象不僅舍去了物體的顏色、材質等物體本質要素，還忽略了其所占的空間：面不分厚薄。也就是說，這種抽象了的概念本身只是存在于人們的頭腦中，正如歐幾里得在《幾何原本》中所寫的：面只有長度和寬度；平面是它上面的線一樣的平放著的面。這樣一種抽象的、又帶有點物理化傾向的描述，揭示了“面”的概念本質。

此外，教師還忽視了“面的大小是面本身固有屬性”這一基本事實，單純借助于對不同物體表面大小的比較來得出“物體表面是有大有小”的這一結論，并直接據(jù)此下定義：物體表面的大小就是物體表面的面積。這里，需要澄清的認識是：“物體表面有大小”并非是單純由比較而得出的一種相對結果，而是面本身所固有的本質屬性。詞典中“大小”有一種意思是表示程度，因而“面的大小”應是指“面”自身的大小程度。“物體表面的大小”是物體表面自身存在的一個客觀屬性，指的是不同物體表面都有其各自確定的大小。由于對面積概念理解不夠全面到位，也就難以真正地讓學生準確建立起面以及面積的概念。

2.概念建構的過程顯得粗糙

現(xiàn)代小學數(shù)學教學倡導“有過程”地教學，要讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學知識的產(chǎn)生、形成過程。這樣的過程需要教師精心設計，也需要在課堂互動中精彩生成。結合上述對面與面積概念的本質解析，再對照上述教學過程，不由讓人覺得概念建構的過程顯得粗糙，尤其是缺乏讓學生充分調動各種感官，通過多樣化的實踐活動來真正撥動思維之弦，因而也就不能真正讓學生對概念的本質屬性加以深刻體悟和準確把握。

【改進教學】

結合上例的反思，我們覺得教學中應盡可能準確地把握概念本質，使概念建構過程精致化。這其中，對“面”的感知活動要充分、到位，抽象過程要精致、自然，在此基礎上水到渠成地建立起面積概念，讓學生充分經(jīng)歷一個精致的概念建構過程。基于這樣的認識，我們對“面”的認識過程進行了再設計與再實踐：

1.精致地感知“面”，把握面的特征。

（1）在摸“物體表面”中具體感知面的形象。

①摸摸課本的封面。（方法指導：用手掌認真地、慢慢地摸課本封面的全部。要求：在摸時要靜靜地感受它。）

②按同樣的方法和要求繼續(xù)摸摸課桌的面。

（2）在議“物體表面”中初步形成面的表象時，讓學生說說自己剛才摸物體表面的感覺。

生：它們的面都是平平的。

生：還很光滑的。

（3）在比劃“物體表面”中不斷豐富面的表象。

師：找一找身邊物體的表面繼續(xù)摸摸，感受一下它有多大，用手比劃一下。

生：我摸的是橡皮這一個面，只有這么大的。

生：我摸的是文具盒蓋子的面，有這么大。

2.精致地抽象“面”，建立面積概念。

（1）想象物體表面的大小。

師：接下來我們不摸了，想象一下老師說的這些物體的表面有多大，也可以用手比劃一下。比如我們常見的一張試卷的面、一張光盤的面有多大？

學生一一用手比劃著大小。

（2）指出黑板面，揭示面積概念。

師：黑板面在哪兒？請上臺指一指。

學生上臺在黑板上指了一下。

教師在他指的那里畫了個小圈，問：哦，這一塊就是黑板面嗎？

學生又重新指了指，教師順勢又畫了一個大一點的圈，問：是這里嗎？大家都不認同。

師：到底哪里是黑板面？

另有學生跑上前來用手繞著黑板一周，指出：這一周邊線圍成的面，就是黑板面。

師：對啊，黑板四周一圈邊線圍起來的面才是黑板面。如果讓你上來摸黑板面，要摸多久？

生：要摸好久了。因為黑板面很大。

師小結：從剛才的活動中，我們可以知道，物體都有自己的表面，而且都有各自的大小，有的大，有的小。物體表面的大小就是物體表面的面積。

讓學生照樣子說說數(shù)學書封面、課桌面等的面積。（略）

（3）描下物體表面，認識平面圖形面積。

讓一位學生到講臺前，蒙上眼睛，摸一個皮鞋盒的上面和側面，并說說哪個面積大。

師：我們剛才所認識的“面“都是在物體上的，大家能想個辦法把這兩個面“請”到黑板上來嗎？

生：把它們描在黑板上。（教師按照學生意思描下來）師：這兩個都是我們以前所學過的平面圖形。剛才摸的皮鞋盒兩個面的大小就是這兩個平面圖形的大小。平面圖形的大小也就是平面圖形的面積。

師：大家會用粉筆來表示出這兩個平面圖形的面積嗎？（學生上臺涂出平面圖形的大小。）

師小結：平面圖形的大小就是平面圖形的面積。

3.精致地鞏固“面”，完善面積認識。

（1）在線與面的對比中直觀鞏固面的特征。

師（課件出示一條線段）：大家能上來指出這個圖形的面積嗎？

生：不行，它是一條線段，只有長度。

師（課件出示一個封閉平面圖形）：這個圖形有面積嗎？上臺指指。（學生上臺用手掌比劃著指出。）

（2）在線向面的變形中抽象、鞏固面的概念。

師：老師想來變個魔術，讓這條線變出面積來。（課件展示線圍成封閉圖形的過程）現(xiàn)在這條線段變成什么圖形了？

生：封閉平面圖形。

師：現(xiàn)在這個圖形有面積了嗎？大家比劃一下這個圖形面積的大小。（學生比劃）

師（課件繼續(xù)圍成一個不封閉的圖形）：這個圖形有它的面積嗎？

生：沒有，因為它沒有封閉起來，摸的時候可以向外面摸出去，不能確定面的大小。

師小結：是啊，只有一條線圍成一個封閉圖形時，它才可以確定面的大小，也才有它的面積。

【反思】

圖形與幾何領域的基本概念源自于日常生活，它是生活中具體實物的幾何抽象物。小學生所學習的幾何圖形概念都是最基礎的概念，比如線、面等，他們頭腦中尚無相關的前知識系統(tǒng)進行合理遷移、擴充，學生建構這些基本概念主要是依靠幾何抽象而實現(xiàn)的。我們需要從小學生數(shù)學學習與發(fā)展的實際情況出發(fā)，精心設計幾何概念建構的過程，并努力使其精致化，讓學生自然地實現(xiàn)由生活經(jīng)驗向數(shù)學概念的順利過渡。

1.精致化的前提是精確把握概念本質

理解和掌握概念的過程實際上是掌握同類事物的共同、本質屬性的過程。就面積概念的建構而言，其重要的基礎是“面”的認識和建構。教材中并沒有直接呈現(xiàn)“面”的概念，只是讓學生摸摸有關物體的表面。在此，教師應該進一步發(fā)掘、精確把握“面”概念的本質內涵，先讓學生準確形成對“面”的認識。上述改進教學中，教師豐滿并精致了面的認識過程，在學生動手操作感悟的基礎上，自由表達對物體面的感性認識，突出面是平平的、光滑的這些共同特征，進而通過比劃、想象活動，認識到每個物體面都是有自身大小的。如前文所說，面的大小是面本身固有的屬性，體會面的大小并不是單純通過不同面的比較而得出的，而是通過讓學生在感受體驗的基礎上，用自己的方式表達出面的大小。在這樣的活動中學生能比較全面地把握面的特征。面積概念的核心就是“面的大小”，因而準確建立面的概念之后，面積概念的理解也就水到渠成、瓜熟蒂落了。此外，面積與長度這兩個基本的幾何概念具有本質上的不同，教學中應該適度地讓學生在矛盾沖突中得到較為深刻的體驗和感悟。

2.精致化的重點是精細設計、建構層次

與原先案例相比，改進后的案例突出了對概念建構過程的精細設計。這種精致化主要體現(xiàn)在教師結合兒童概念學習的認知心理特征，對概念建構過程作出了清晰的層次設計。一是在動手操作中感悟。先讓學生在實物的觸摸中感受面的特點，然后要求學生表達出觸摸的感受，在說、議的過程中初步領悟面的特征，學生對面的感悟呈現(xiàn)出多樣化的表述，在此基礎上，繼續(xù)加強操作感悟，讓學生比劃出面的大小，逐步形成面的表象。這樣的操作過程層層深入，學生的體驗感悟逐步深入，接近本質。二是在想象再現(xiàn)中抽象?？臻g想象能力是空間觀念的核心，想象是培養(yǎng)空間觀念的重要手段。直接想象并比劃出所說物體面的大小，這是對學生頭腦中已有面的表象積累的再現(xiàn)考驗，也是學生對面概念的深層次體驗。在指出黑板面大小的過程中，有意地引導學生的空間思維逐步向整個黑板面過渡，“逼迫”學生感受、抽象出面的大小是指周圍一圈邊線圍出來的內部平面大小，可以說此時學生對面概念的認識基本到位了。在這個過程中，注重發(fā)揮空間想象能力，讓學生實現(xiàn)從概念表象到概念本質的逐步抽象。三是在對比溝通中深化。改進教學中及時地讓學生對比一維圖形和二維圖形的不同，其實質是進一步加強對二維空間面積概念的深化認識。通過對比，讓學生認識到線是以長短而論的，面是以大小而論的，進而在變化過程中直觀地感受到“面是有邊界的”“面是由線圍起來的”，有了邊界才使“面有了確定的大小”，每個面的大小是這個面的面積。因而深化了對面積概念本質的理解。

3.精致化的關鍵是精心打磨活動細節(jié)

教學細節(jié)能使數(shù)學學習活動更具有效性。教學細節(jié)是指教學過程中富有教育、教學價值的細小環(huán)節(jié)和情節(jié)。每一處自然而真實的教學細節(jié)都會讓課堂教學變得更加豐滿、更富魅力。學生在這些細節(jié)中往往能夠得到比較充分的體驗和感悟。在上述教學改進中，教師針對學生對面和面積概念建構的關鍵之處，精心設計和打磨若干個教學細節(jié)活動，幫助學生精致化地建構數(shù)學概念。教師設計了比劃“面”的活動細節(jié)：讓學生摸摸身邊實物上的面，然后用手比劃出“面有多大”，接著讓學生想象生活中其他物體的面，繼續(xù)進行比劃，旨在通過動手實踐活動來進一步豐富、積累學生頭腦中面的表象，初步把握面的本質。教師通過多次追問，“逼迫”學生自主地清晰和完善面的概念，領悟到一圈邊線圍出來的部分才是“面”，在這樣一種樸素的認識中進一步把握概念的本質內涵。在引導學生體會線與面的不同時，教師還精心設計了由線變面的動態(tài)變化細節(jié)，首先讓學生對線、面進行直接對比，體會一維圖形和二維圖形的不同之處，接著通過“變魔術”的動態(tài)呈現(xiàn)，讓學生直觀地感受到線與面的密切關聯(lián)，認識到線是以長短而論的，面是以大小而論的，進而體會到“面是有邊界的”“面是由線圍起來的”，有了邊界才使“面有了確定的大小”，每個面的大小就是這個面的面積。在這些細節(jié)活動中，進一步抽象了面積的本質特征，加深了學生的數(shù)學理解。

【責任編輯：陳國慶】