牛頓迭代算法在聲場定位中的應(yīng)用

劉 霞，吳 崧

武漢工程大學電氣信息學院，湖北武漢 430205

0 引言

聲場定位技術(shù)是確定聲源相對于傳感器的距離和位置的新技術(shù)，涵蓋了語言科學、聲學、信號處理、電子學等學科，有著諸多方面的應(yīng)用.根據(jù)聲音探測方式的不同，聲音定位分為主動聲定位和被動聲定位兩種方式［1］.主動聲定位有發(fā)射、接收裝置，譬如雷達［2］，使用雷達向外發(fā)射信號，然后根據(jù)回波的性質(zhì)判斷待測目標的位置.被動聲定位，只有接收裝置，是利用目標上的輻射信號進行定位，與主動聲定位相比較，具有隱蔽性強、安全性高等特點［3］，是現(xiàn)階段聲音定位技術(shù)研究的熱點.

聲場定位系統(tǒng)主要是利用各個傳感器接收聲音信號，經(jīng)過信號濾波、放大等手段對信號進行處理，然后根據(jù)聲音信號到達各個傳感器的時間延時差TDOA(Time Difference of Arrival，以下簡稱:TDOA)計算出聲源相對于傳感器的位置［4］.利用時間延時差計算具體位置的算法有多種，最簡單的就是勾股定律，根據(jù)直角三角形三邊關(guān)系，計算出聲源相對于傳感器的位置.但是該方法求解方程非常困難，精度不高.牛頓迭代算法是牛頓在17世紀提出的一種在實數(shù)域和復(fù)數(shù)域上近似求解方程的方法，主要針對方程不存在求根公式的情況.牛頓迭代算法是求方程根的重要方法之一，其最大優(yōu)點是在方程f(x)=0的單根附近具有平方收斂，經(jīng)過多次迭代，即可計算出結(jié)果［5］.

1 系統(tǒng)總體設(shè)計

1.1 聲場定位系統(tǒng)的功能設(shè)計

本系統(tǒng)在一個矩形區(qū)域的4個頂角A、B、C、D分別設(shè)置1個傳感器，矩形區(qū)域內(nèi)部設(shè)置1個可任意移動的揚聲器，如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of system

發(fā)聲模塊發(fā)出特定頻率的聲音信號，傳感器A、B、C、D接收到聲音信號后進行信號濾波、放大等處理，單片機根據(jù)處理過的信號計算得到信號到達各點的時間差，再通過特定的算法，即可計算出聲源在矩形區(qū)域中的具體位置.

1.2 系統(tǒng)基本原理

基于時間延時差的被動聲音定位算法，其基本原理是在空間內(nèi)，將4個傳感器分別布置成一定的形狀，來接收聲源的聲音信號，通過計算每相鄰兩個傳感器之間所接收到的信號時間延時差，并結(jié)合所布置的聲學陣列的幾何關(guān)系，來計算得到聲源位置坐標.如圖2所示的示意圖中，聲源S的位置坐標為(x，y)，聲源S到4個傳感器之間的距離分別為 L1、L2、L3、L4.

圖2 系統(tǒng)坐標示意圖Fig.2 Coordinate schematic diagram of system

2 算法設(shè)計

2.1 牛頓迭代算法

設(shè)xk是f(x)=0的一個近似根，把f(x)在xk處作泰勒展開可得:

式(1)中若取前兩項來近似代替f(x)，則得到近似線性方程:

利用上述方法，可以將牛頓迭代算法推廣到二元函數(shù)，從而對系統(tǒng)的聲源位置坐標求解.

2.2 聲場定位中應(yīng)用牛頓迭代法

當聲源發(fā)聲時，A、B、C、D點會根據(jù)聲源S的具體位置按一定先后順序接收到聲音信號，例如點A先收到信號，則B和A之間的時間差為△T1，D和A之間的時間差為△T2.設(shè)A點為坐標原點，根據(jù)三角函數(shù)關(guān)系以及聲音在空氣中傳播的時間與距離成正比的關(guān)系得到式(4)和式(5):

式(4)和式(5)中，V為聲音在空氣中傳播的速度.設(shè)

式(6)和式(7)分別對x，y求偏導數(shù)，得:

任取一點(x0，y0)，將式(6)和式(7)分別在該點處做泰勒展開，并取其一階導數(shù)來近似代替f(x，y)，即 f(x，y)的線性化，得近似線性方程:

式(14)和式(15)，就是求解坐標的迭代公式.在求解過程中，(x0，y0)已知，可以計算出(x，y)的值，再將其帶入以上兩個方程，經(jīng)過多次迭代運算，即可得到精確的位置坐標.

3 測試與分析

3.1 上位機測試

利用上位機軟件可以很方便的測試牛頓迭代算法的可行性和精確性.編寫的上位機軟件界面如圖3所示.

圖3 上位機界面Fig.3 PC interface

由于是在上位機中進行模擬測試，所以需要設(shè)定S點到A、B、C、D點的距離數(shù)據(jù)和時間延時差△T1，△T2用于算法的測試.實驗中，給定待測坐標為(30，80)，生成測試所需的數(shù)據(jù)為L1=85.44，L2=476.76，L3=542.033，L4=271.662，△T1=1.150 94，△T1=0.547 1.點擊“求解”按鈕進行迭代運算，位置坐標結(jié)果見表1.

表1 上位機測試數(shù)據(jù)Table1 Test data of computer

從表1可以看出，只需經(jīng)過3次迭代運算，即能精確得到待求的位置坐標，并且在第1次迭代運算時，得到的數(shù)據(jù)就已經(jīng)非常接近實際值.

3.2 實物測試

在350 mm×500 mm的坐標紙上進行測試，傳感器位于矩形區(qū)域的4個頂角，聲源模塊位于矩形區(qū)域內(nèi)，讓聲源發(fā)出1 s左右的聲音信號，單片機接收信號并進行運算.編寫單片機程序用于實物測試，圖4為系統(tǒng)軟件流程圖.

圖4 程序流程圖Fig.4 Diagram of program flow

經(jīng)過多次試驗所得結(jié)果如表2所示.

表2 實物測試數(shù)據(jù)Table 2 Test data

試驗表明，系統(tǒng)能夠可靠的實現(xiàn)坐標定位，但是略有誤差.這種誤差大多來源于傳感器后級的信號處理，若4個信號處理部分不能完全一致，則時間延時差就不能準確測量，從而導致誤差的存在.但是定位精度仍能達到±15 mm，可見定位性能穩(wěn)定可靠.

4 結(jié)語

筆者提出了一套被動定位方式的聲場定位系統(tǒng)，利用聲音到達的時間延時差進行處理對聲源進行精確定位.由于聲音頻率的局限性以及室內(nèi)具體因素的影響，目前只能用在聲音干擾小的環(huán)境且聲源聲音頻率單一的情況.但系統(tǒng)采用的牛頓迭代算法，具有非常強的實用性.利用牛頓迭代算法的快速收斂性，在迭代過程中，只需要迭代幾次就可以快速、精確計算得到聲源坐標.上位機模擬測試和實物測試表明，牛頓迭代算法在聲場定位中有著重要的應(yīng)用價值.

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