關(guān)于正四面體的“點(diǎn)點(diǎn)滴滴”

張永純

【摘要】正四面體是一種簡(jiǎn)單、對(duì)稱的多面體，由于它的各條棱都相等，所以有十分多的性質(zhì)，也正因?yàn)樗奶厥庑?，正四面體也成為歷年高考的重點(diǎn)考查內(nèi)容.關(guān)于正四面體的計(jì)算很復(fù)雜，牽扯到空間與平面，如果掌握了一些基本的性質(zhì)和正四面體的有關(guān)數(shù)據(jù)，這會(huì)大大減少計(jì)算量，增加了正確的可能性.下面我會(huì)為大家介紹一些關(guān)于正四面體的基本定義、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)的有關(guān)推導(dǎo)、典型例題的解法.

【關(guān)鍵詞】正四面體;基本性質(zhì);例題講解;證明

一、正四面體的基本定義

正四面體是由四個(gè)完全相同的正三角形組成的空間封閉圖形，它有四個(gè)面、四個(gè)頂點(diǎn)、六條棱，并且所有的棱長(zhǎng)都相等，正四面體是最簡(jiǎn)單的正多面體.由于正四面體又符合正三棱錐的性質(zhì)，所以它又是正三棱錐，但它又很特殊，正三棱錐要求底面為正三角形，其余三個(gè)面是等腰三角形即可，所以說(shuō)正四面體是特殊的正三棱錐.

二、正四面體的基本性質(zhì)

1.正四面體的重心，外接球、內(nèi)切球的球心，四條高的交點(diǎn)為一個(gè)點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)就稱為中心.

2.正四面體的對(duì)邊相互垂直.

3.正四面體有七個(gè)與四個(gè)面都相切的旁切球和一個(gè)在其內(nèi)部的內(nèi)切球，其中有三個(gè)旁切球球心在無(wú)窮遠(yuǎn)處.

4.正四面體的體積等于相應(yīng)的正方體體積的13，正四面體的高等于相應(yīng)的正方體體對(duì)角線的23.

5.若某個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)為L(zhǎng)，則正四面體的全面積S=L2，體積V=L312.

6.正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線的長(zhǎng)D=a2.

7.正四面體的內(nèi)切球半徑V=/12，外接球半徑R=/4.

8.每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心O是四面體的各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于球半徑.正四面體的內(nèi)切球的半徑是正四面體中心與正四面體的面中心的連線段.

9.每個(gè)正四面體都有外接球，也是正四面體外接正方體的外接球，故該外接球的直徑就是正方體的體對(duì)角線，也即外接球的半徑等于正方體體對(duì)角線的一半.每個(gè)四面體外接球的球心O是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)距離等于球半徑.

10.正四面體的高為正方體對(duì)角線長(zhǎng)的三分之二.

11.正四面體的高為a3（正四面體的棱長(zhǎng)為a），中心點(diǎn)將高分為1∶3兩部分.

12.對(duì)棱中點(diǎn)的連線段長(zhǎng)為棱長(zhǎng)的12.

三、基本性質(zhì)的有關(guān)推導(dǎo)

1.正四面體的相對(duì)棱的兩條異面直線垂直

證明：過(guò)點(diǎn)S在面SBC上作SE垂直于BC，同時(shí)E也是BC的中點(diǎn)，連接AE，可證AE垂直于，可證BC垂直于面AES，所以BC垂直于AS，即對(duì)棱垂直.同理也可以證明出其他幾組對(duì)棱垂直.

2.設(shè)正四面體的邊長(zhǎng)為a，則對(duì)棱的中點(diǎn)是這兩條棱的公垂線且長(zhǎng)為/2.

證明：設(shè)E，F(xiàn)分別為AS，BC的中點(diǎn)，連接EF，則SF，AF相等且值為/2，E為AS的中點(diǎn)，可推出EF垂直于AS，同理可證EF垂直于BC，所以EF為AS，BC的公垂線，所以SF=/2，SE=a2，可根據(jù)勾股定理知EF=a2.

3.相鄰的兩個(gè)面的二面角相等且余弦值為13.

證明：此余弦值可用射影面積法求.cosA=S射影S側(cè)面=S三角形AOBS三角形ASB=S三角形ABC3S三角形SAB=13.

4.同樣設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，正四面體的外接球的半徑與正四面體的棱長(zhǎng)的關(guān)系是：R=a4.

證明：設(shè)AS，BC的中點(diǎn)分別為E，D，連接DE，則DE為AS，BC的公垂線，且與高SO的交點(diǎn)O′是外接球的球心，連接AO′，AD.在直角三角形ADE中，由于AD=a2，AE=a2，可知DE=a2，所以EO′=a4，由勾股定理得，外接球的半徑R=AO′=a4.

四、典型例題的基本解法

例1 已知一個(gè)正三棱錐S-ABC的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等，如果E，F(xiàn)分別是SC，AB的中點(diǎn)，那么異面直線EF與SA所成的角為（ ）.

A.90° B.60° C.45° D.30°

解析 由題目“側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等”可知，S-ABC為正四面體，這個(gè)正四面體可以補(bǔ)成一個(gè)正方體，這時(shí)，EF在正方體的兩底面的中心連線上，與正方體的側(cè)棱SD平行，因?yàn)椤螦SD=45°，所以選C.注意這種題目最好畫圖，可以幫助分析.

例2 棱長(zhǎng)為2的正四面體的體積為（ ）.

解析 可能大家看到這個(gè)題，一般做法就是畫出圖形，然后一點(diǎn)一點(diǎn)計(jì)算，但是如果你掌握了正四面體的有關(guān)性質(zhì)，那么計(jì)算起來(lái)就簡(jiǎn)單了很多，最典型的做法就是將其補(bǔ)成一個(gè)正方體，這樣就會(huì)簡(jiǎn)化很多，這樣正方體的棱長(zhǎng)就可以求出來(lái)，從而求出正方體的體積，這樣正四面體的體積就可以求出來(lái)了.這種方法要比單純計(jì)算簡(jiǎn)單很多.

五、小 結(jié)

在解有關(guān)正四面體的題目時(shí)，要記得將正四面體與正方體、球結(jié)合起來(lái)，運(yùn)用有關(guān)知識(shí)，記住以上基本性質(zhì)與有關(guān)數(shù)據(jù)，就能快速且正確地解出有關(guān)題目，這樣既節(jié)省了時(shí)間，也增加了準(zhǔn)確率.