正四面體
- 什么樣的圓柱和圓錐可以放入正方體及正四面體內(nèi)?
,而正方體、正四面體、圓柱、球等都是數(shù)學中常見的“空間想象的支架”[1],也是生活中隨處可見的圖形.此題要求學生以“支架”為支撐構(gòu)建空間圖形,需要較強的空間想象的能力.筆者認為,不給出圖形恰是此題的點睛之筆,以便更好地考察直觀想象和邏輯推理等數(shù)學學科核心素養(yǎng).此外,要想順利解答此題還需要一定的數(shù)據(jù)估計能力.原題如下:試題下列物體中,能夠被整體放入棱長為1(單位: m)的正方體容器(容器壁厚度忽略不計)內(nèi)的有( )A.直徑為0.99m 的球體B.所有棱長均為
中學數(shù)學研究(廣東) 2023年23期2023-12-28
- 例談一道立體幾何問題的兩種解法
判定定理以及正四面體的結(jié)構(gòu)特征.題目涉及了不確定的點F，導致問題的難度增加.我們需從點F的位置入手，根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征、直線與平面所成的角的定義、線面垂直的性質(zhì)定理、面面垂直的判定定理，來尋找使得四個選項中的結(jié)論成立的點F的位置，從而得出正確的選項.解法一：直接法直接法是指直接從條件出發(fā)，根據(jù)相關(guān)的定理、定義、性質(zhì)、公式等，通過合理的運算和嚴密的推理，最后推出正確的結(jié)果.對于選擇題，需在推出結(jié)果后，再對照選項，找出正確的答案.對于本題，我們可根據(jù)題意畫
語數(shù)外學習·高中版下旬 2022年7期2022-05-30
- 例說與球有關(guān)的切、接問題
題例1 已知正四面體ABCD的棱長為2,E,F,G分別為AB,BC,CD的中點,則正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面面積是( )。解：將正四面體ABCD放入正方體中,如圖1所示。圖1因為E,G分別為AB,CD的中點,所以E,G分別為左右側(cè)面的中心,所以正方體的外接球即為正四面體的外接球,其球心為線段EG的中點,所以正四面體ABCD的外接球被平面EFG所截的截面即為大圓。二、柱體的外接球問題例2 已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2 的
中學生數(shù)理化·高一版 2022年4期2022-05-07
- 正多面體一個定值問題的初等證明
任意一點P到正四面體各棱的距離的平方和為定值.證明首先證明正四面體中成立.如圖1所示,正四面體A1A2A3A4的中心為O,棱長為a,點P為正四面體同心球上的任意一點,到各邊的距離分別為hi(i=1,2,3,4,5,6),在ΔA1PA2中,有ah1=PA1·PA2sin ∠A1PA2.圖1由于正六面體、正八面體、正十二面體及正二十面體分別關(guān)于其中心對稱,易見,欲證成立,只需證明引理在正六面體中成立即可.如圖2,設正方體的棱長為2a,建立如圖所示的空間直角坐標
中學數(shù)學研究(廣東) 2022年3期2022-03-25
- 正四面體鋼架在小型決口封堵中的技術(shù)應用
的意義。1 正四面體鋼架封堵原理該方法采用的正四面體鋼架，使用的鋼管為建筑工地常用的腳手架鋼管，直徑為50 mm，長度為1.20 m，由6根同規(guī)格的鋼管通過螺栓連接成鏤空正四面體結(jié)構(gòu)。螺栓的連接部位和鋼管端頭的距離為20 cm。鑒于正四面體鋼架本身具備良好的穩(wěn)定性，無論在水流中如何翻滾，仍舊可以起到良好的支撐作用。同時，由于鋼管密度較大，在入水之后可以迅速下沉，鋼管突出的20 cm部分可以憑借重力作用插入土層，進一步增加鋼架本身的穩(wěn)定性。在決口部位投入一定
水利科學與寒區(qū)工程 2021年6期2021-12-22
- 淺議高中數(shù)學課中空間幾何的解題技巧
。例如：一個正四面體A-BCD 的棱長為a，求這個正四面體的體積和外接球的半徑。解析：由于正四面體的邊長是相等的，可以聯(lián)想到正方體的六個面的對角線是相等的。于是可以做輔助線，將正四面體畫成正四面體DE。根據(jù)已知正四面體的棱長為a，所以將其視為邊長為a 的正方體，正四面體的體積則為正方體體積的三分之一；正方體的中心就是這個正四面體的外接球中心，再具體進行求解。這種求解法更為便捷、高效。2.類比法。如，江蘇2009 年高考題目：在平面上，如果有兩個正三角形的邊
散文百家 2021年2期2021-11-13
- 離散型隨機變量概率分布運算大揭秘
角面的情況？正四面體有幾個？體積怎么求？4=70種取法，其中四點共面的有6 個表面正方形，6 個對角面，計12 個．三棱錐(四面體)有70?12=58個，正四面體D1?AB1C類型有2 個，其體積為非正四面體有56 個，其體積均為所以X的可能值為0(12 個)，(56 個)，(2個)，其概率分布列如右表．所以X 0 1 6__1 3__P 6 4 1_________35__5____35_你有沒有算得很慢？找到原因了嗎？可以是因為沒有找出四點共面的四邊形
新世紀智能(數(shù)學備考) 2021年6期2021-08-04
- 多面體與球的組合體問題解題思路整理
R=.（6）正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1常見題型解題策略：一、規(guī)則的柱體，如正方體、長方體、正棱柱等能夠和球進行充分的組合，以外接和內(nèi)切兩種形態(tài)進行結(jié)合，通過球的半徑和棱柱的棱產(chǎn)生聯(lián)系，然后考查幾何體的體積或者表面積等相關(guān)問題。1. 球與正方體如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1，設正方體的棱長為a，E，F(xiàn)，H，G為棱的中點，O為球的球心.常見組合方式有三類：一是球為正方體的內(nèi)切球，截面圖為正方形EFGH和其內(nèi)切圓，則;二是與正方體各棱
學習與科普 2021年12期2021-07-28
- 生雞蛋下落的保護裝置設計*
究選擇了基于正四面體結(jié)構(gòu)為核心的保護裝置，如圖1 所示。圖1 正四面體保護裝置3 實驗裝置及方法3.1 實驗裝置在實際實驗操作中，保護裝置的設計考慮了固定、緩沖、減震等方面。首先將雞蛋嵌入由木棍及細線纏繞而成的正四面體裝置中，并保證雞蛋剛好嵌入且在下落的過程中不脫落。同時，為了在實驗完成的情況下保證實驗裝置尺寸最小，盡量將雞蛋直接嵌入到正四面體中，并通過多次實驗找到雞蛋不摔碎下最小的正四面體尺寸。其次，采取在制作四面體裝置時延長木棍長度的辦法使其成為緩沖裝
廣西物理 2021年1期2021-07-08
- “球的體積公式及其應用”的教學設計、實踐與反思
球與正方體、正四面體的幾個特殊的位置關(guān)系的問題.1.3 教學難點構(gòu)造符合祖暅原理條件的幾何體的過程.2 教學過程(片段)2.1 探究新知已知球的半徑為R,求球的體積V.師: 我們需要利用祖暅原理,祖暅原理中關(guān)鍵是兩個幾何體底面積相等,高相等,而球沒有底面,所以我們先來求半球的體積.問題1: 我們根據(jù)祖暅原理,來推導半球的體積公式,那么我們需要構(gòu)造一個怎樣的幾何體呢? 這個幾何體需要滿足什么條件呢?生1: 在任意等高處用一組平行平面去截兩個幾何體時,截面面積
中學數(shù)學研究(廣東) 2021年6期2021-04-20
- 最密堆積中空隙分布的學習技巧
，并不能掌握正四面體和正八面體兩類空隙的分布規(guī)律以及其與典型二元離子晶體結(jié)構(gòu)的關(guān)系。本文將介紹密置雙層、最密堆積以及典型二元離子晶體結(jié)構(gòu)中空隙分布的規(guī)律及其內(nèi)在的關(guān)聯(lián)。掌握這個關(guān)鍵點，就可以很好地理解最密堆積中空隙分布的規(guī)律性、進而理解典型二元離子晶體結(jié)構(gòu)的規(guī)律性，對提升晶體結(jié)構(gòu)的學習效果大有幫助。1 密置雙層與最密堆積中空隙的分布1.1 密置層中的三角形空隙等徑圓球按一維方向緊密排列成為密置列，將相互平行并共平面的密置列緊密靠攏形成密置層，密置層是等徑圓
大學化學 2021年12期2021-02-12
- 利用玲瓏畫板培養(yǎng)學生數(shù)學立體思維*
的有正方體與正四面體的內(nèi)切球與外接球問題,屬于本課教學的重難點,需要學生具備較強的幾何直觀能力和空間想象能力.2.1 問題設計教師創(chuàng)設實際情境,利用玲瓏畫板設計正方體立體模型,以正方體中心為球心構(gòu)造一個球體,如圖1. 拖拽球體頂部的控制點可以將球體放大縮小,隨著半徑的變化,球體會先后與正方體的面、棱、頂點接觸,學生從中可以直觀了解何為正方體的內(nèi)切球、棱切球及外接球. 拖動下方“旋轉(zhuǎn)”控制點或點擊自動按鈕可以從不同角度觀察模型中正方體與球的位置關(guān)系.下面結(jié)合
中學數(shù)學研究(廣東) 2020年22期2021-01-11
- 淺談與球有關(guān)的難點問題突破
點的作用.但正四面體作為特殊的正三棱錐,我們要掌握其性質(zhì),這樣在解決有關(guān)正四面體的問題時,就可以不用作出幾何圖形了.比如,正四面體的外接球和內(nèi)切球的球心是重合的,同時球心將高四等分,其中外接球半徑為高的內(nèi)切球半徑為高的,且棱長為a的正四面體的高為例4將6個半徑為r的球中的5個球放入由一個半徑大于2r的球面和這個球的內(nèi)接正四面體的四個面分割成的五個空間內(nèi),且此正四面體的棱長為,另一個球放入棱長為x的正八面體內(nèi),當r取得最大值時,x的最小值為________.
高中數(shù)理化 2020年23期2021-01-11
- 還原直觀圖 巧解幾何題*
)棱長為2的正四面體的四個頂點都在同一球面上,若過球心的一個截面如圖3,則圖3中的三角形(正四面體的截面)的面積是( )分析由圖3可知,過球心的截面三角形是等腰三角形,該等腰三角形的底邊是截面圓的弦,它必是球面內(nèi)接正四面體的一條棱;該等腰三角形的頂點必是這條棱所對的棱的中點.解還原球面O的內(nèi)接正四面體ABCD，如圖4,記E為棱CD的中點,則圖3中的截面是?ABE.三、由側(cè)面展開圖還原幾何體的直觀圖分析圖5中點D,E,F即為原三棱錐的頂點P,還原三棱錐P-A
高中數(shù)學教與學 2020年23期2020-12-28
- 離子半徑比規(guī)則對離子晶體結(jié)構(gòu)影響的探討
但當D值大于正四面體空隙的最小值時，離子晶體的結(jié)構(gòu)類型將會發(fā)生變化，配位數(shù)相應的也會增加.二、正四面體空隙將4個等徑大小的球堆積成正四面體結(jié)構(gòu)，中心位置出現(xiàn)1個空隙.將1個半徑小的球填入此空隙剛好使得小球與4個大球相切.根據(jù)幾何關(guān)系可以算出D的臨界值,如圖2所示.圖2同理，當0.1150.225且到一定值時陽離子將陰離子撐開晶體結(jié)構(gòu)穩(wěn)為正四面體構(gòu)型，陽離子配位數(shù)為4.例如：立方ZnS和六方ZnS型(如圖3所示).(1)若S2-作面心立方最密堆積，此時根據(jù)“
數(shù)理化解題研究 2020年28期2020-10-19
- 構(gòu)造完美幾何體，巧解立體幾何題
體、長方體、正四面體等這些形狀優(yōu)美、性質(zhì)特殊的幾何體稱為完美幾何體。這些幾何體有著十分重要的地位和不可替代的作用。對于有些幾何問題，我們往往可以通過對比與聯(lián)想，將其中的幾何圖形構(gòu)造出完美幾何體，借助完美幾何體的特殊性質(zhì)，使問題快速獲解，同時，也能讓我們感受到數(shù)學的奇異美。下面舉例加以說明。一、構(gòu)造正四面體求二面角利用定義求二面角較為復雜。對于有些具有正四面體特征的二面角問題，我們?nèi)裟軐⑵錁?gòu)造成正四面體，利用正四面體的特征和性質(zhì)求解，則可以化難為易。將不規(guī)則
語數(shù)外學習·高中版下旬 2020年2期2020-09-10
- 立體幾何中動態(tài)問題的解題策略
盒內(nèi)放置一個正四面體，且能使該正四面體在鐵盒內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，則該正四面體的體積的最大值是______.解析：如圖，設正四面體A-BCD的棱長為x，過A作AO1⊥底面BCD于O1，連接BO1并延設正四面體A-BCD的外接球的半徑為r，要使正四面體可以在棱長為12的正方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動，四、動態(tài)中與形成的角有關(guān)的問題例 4.在四面體PABC中，PA=PB=PC=AB，如果PA與平面ABC所成的角等于60°，則PC與平面PAB所成的角的最大值是 .解析：如圖所示，過點P
考試與招生 2020年2期2020-02-12
- 2019年高考數(shù)學模擬試卷(六)參考答案
是等視體;④正四面體的三視圖不同，即使嵌套在正方體中三視圖可以是三個正方形，但對角線虛實線不同。故選C。18.（1）在梯形PBCD中，取AD的中點M，則CM=MD =2，所以AB⊥AD。又因為二面角P-AB-D為直二面角，所以PA⊥平面ABCD，PA⊥CD。在直角梯形ABCD中，由勾股定理得AC⊥CD。又PC∩AC=C，所以CD⊥平面PAC。又因為CD（平面PCD，所以平面PAC⊥平面PCD。（2）由（1）得AB⊥平面APD，以A為原點，射線AB，AD，A
中學生數(shù)理化·高三版 2019年8期2019-12-02
- 直觀把握數(shù)學本質(zhì) 動態(tài)提升思維品質(zhì)
——從教材中一個立體幾何問題例談變式教學
思路嵌入至“正四面體”和“正方體”這兩個最常見的直觀載體中，以期引導學生梳理立體幾何中的重難點定理和應用，深化學生對“點、線、面”位置關(guān)系的認知，從而達到“示以思維之道”教學目的.2 課堂教學實錄2.1 設置變式情境，培養(yǎng)類比思維方式師：各位同學，在平面幾何里有這樣一個問題：【問題1】“若P是邊長為a正三角形內(nèi)一點，求P點到該三角形三邊的距離之和”.你能給出解題思路嗎？圖1師追問：從中你可以看出有何種結(jié)論？生：正三角形內(nèi)任意一點到三邊的距離之和是一定值，為
數(shù)學通報 2019年10期2019-11-26
- 也談正四面體的前世今生
的幾何體，而正四面體是其中最簡單的正多面體，并且它與另外一個特殊的幾何體——正方體有著千絲萬縷的聯(lián)系，因此在各種考試中它深受命題老師的青睞。要想在碰到四面體時能猶如庖丁解牛一般地游刃有余，教師有必要且必須弄清楚它的來龍去脈，也就是它的前世今生是什么。關(guān)鍵詞：高中數(shù)學;關(guān)系問題;正四面體圖1：如圖取正方體的四個頂點M，B，D，S并連接MB，MS，MD，SD，SB，DB。因為四面體M-BDS的各棱均為正方體的面對角線，因此各棱長均相等，所以四面體M-BDS為正
新課程·下旬 2019年8期2019-09-12
- 推理與證明綜合演練卷答案與提示
角形的邊對應正四面體的面，也即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點對應的就是正四面體中各正三角形的中心。故選C。7.A 分別令n=1，2，3，所以8.C9.D 用反證法證題時一定要將對立面找全。在①中應假設p+q＞2，故①的假設是錯誤的。而②的假設是正確的，故選D。10.Af(x)=x3+x是奇函數(shù)，且在R上是增函數(shù)。由a+b＞0，得a＞-b。所以f(a)＞f(-b)，即f(a)+f(b)＞0。同理f(a)+f(c)＞0，f(b)+f(c)＞0，所以
中學生數(shù)理化(高中版.高二數(shù)學) 2019年4期2019-05-13
- 關(guān)于四面體一個不等式猜想的證明
想設rij是正四面體A1A2A3A4內(nèi)任意一點P到棱AiAj(1≤i②當且僅當P為正四面體A1A2A3A4中心或頂點時取等號.本文將證明不等式②成立，從而否定了唐立華提出的猜想.為此我們需要以下引理.③根據(jù)△ABC的對稱性，不等式③等價于④下面證明不等式④，為敘述方便記:下面對以上五項作估值：所以192ABCM-[(3M+C-A-B)2-4AB-12MC]2≥0.證畢.不等式②的證明記∠PAiAj=αij(i≠j)，則+R2(sinα21+sinα23+s
中學數(shù)學教學 2019年1期2019-02-21
- 可折疊正四面體地震避難所設計研究
發(fā)一種可折疊正四面體結(jié)構(gòu)地震避難所，采用新型動態(tài)支點鉸鏈結(jié)構(gòu)設計，結(jié)合有限元分析，獲取空間正四面體內(nèi)部應力分布。結(jié)果表明：頂部承壓時，正四面結(jié)構(gòu)中上部區(qū)域應力較大，可適當增加此部分結(jié)構(gòu)厚度保證安全;樓板沖擊荷載作用樓層越多，正四面體所受應力越大，但其超過4層作用后結(jié)構(gòu)所承受應力值增長幅度有限，進而從側(cè)面體現(xiàn)正四面結(jié)構(gòu)對超荷載作用緩沖能力強，結(jié)構(gòu)安全穩(wěn)定。關(guān)鍵詞：地震;折疊;正四面體;應力中圖分類號：P315? ? ? ? ? ? ? 文獻標志碼：A0 引言
中國新技術(shù)新產(chǎn)品 2018年19期2018-12-08
- 高中數(shù)學《立體幾何》單元教學微型專題
異面三垂直法正四面體中，三對側(cè)棱互為異面直線，且三對側(cè)棱之間兩兩垂直，稱其為“異面三垂直”，此時正四面體的外接球可以視作以正四面體棱為面對角線的正方體的外接球。例3：求棱長為的正四面體的外接球的表面積。分析：正四面體中，三對側(cè)棱、、 “異面三垂直”，此時四面體的外接球可以視作如圖所示的正方體的外接球。解：如圖將正四面體放到正方體中，則正四面體的外接球既長方體的外接球。正四面體邊長為 正方體的棱長為，正方體的體對角線為。外接球半徑外接球表面積基金項目：甘肅省
天津教育·下 2018年5期2018-10-21
- 立體幾何中的常見模型化方法
就可得到一個正四面體.解 如圖4所示，構(gòu)造一個棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1，連接AB1，AD1，AC，CD1，CB1，B1D1，則四面體B1-ACD1為符合題意的四面體，它的外接球的直徑AC1=，所以此正方體外接球的表面積S=4πR2=3π.選A.解后反思 正四面體的體積也可通過這種切割的方法求得.由圖形分析可知，正四面體的體積是它的外接正方體體積的}.若正四面體的棱長為a，則其體積為變式3 四面體A-BCD中，共頂點A的三條棱兩兩互相垂直，
高中生·天天向上 2018年5期2018-07-24
- 用類比思想來認識初、高中幾何的幾個結(jié)論
二維平面)和正四面體的內(nèi)切球與外接球(三維空間)平面幾何中： 等邊三角形有且只有個內(nèi)切圓與一個外接圓，其圓心為等邊三角形的中心.如圖1等邊△ABC的邊長為a，則有以下四個結(jié)論:空間幾何中：正四面體有且只有一個內(nèi)切球和一個外接球，其球心是正四面體的中心.如圖2若正四面體的棱長為a，亦有上述類似的四個結(jié)論:下面求解一下.如圖2，過A作AO′⊥面BCD,垂足為O′.連結(jié)O′D.在Rt△AO′D中：∴正四面體的高設正四面體的中心為O，則O即為其內(nèi)切球的球心，亦為外
數(shù)理化解題研究 2018年4期2018-05-09
- 跳不出“長方體”掌心的“三棱錐”
意識到把這個正四面體置于一個正方體結(jié)構(gòu)中(如圖2)，則瞬間得到結(jié)果，所求距離就是該正方體的棱長，為1，選A.點評正四面體的可以通過正方體切割得到，當然正四面體也可以還原為正方體. 正四面體的六條棱就是這個還原正方體的六條面對角線.從而它們之間的關(guān)系顯而易見. 同學們試試這個問題：已知正四面體的俯視圖如圖3所示，其中四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則這個正四面體的體積為 .二、共點的棱兩兩垂直的三棱錐?長方體圖4點評這是2012年高考遼寧理科試題，以側(cè)棱兩
數(shù)理化解題研究 2018年4期2018-05-09
- 處理球的“內(nèi)切”“外接”問題
接球問題例1正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？分析運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖，通過點、線、面關(guān)系解之.解如圖1所示，設點O是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為a.由圖形的對稱性知，點O也是外接球的球心.設內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為R.正四面體的表面積S表=4×34a2=3a2.正四面體的體積VA-BCD=13×34a2×AE=312a2AB2-BE2=312a2a2-33a2=212a3.∵13S表·r=VA-BCD，∴r=3VA-BCDS表=
數(shù)學學習與研究 2017年24期2018-01-11
- 正多邊形與其同心圓有關(guān)的兩個性質(zhì)的推廣研究
文以正方體、正四面體為研究對象,把性質(zhì)(I),(II)在空間推廣,得到定理1設球面O為正方體ABCD-A1B1C1D1的同心球面(即球心在正方體中心的球面),P為球面O上任意一點,則P到正方體各頂點的距離平方之和為定值;P到正方體各面所在平面的距離平方之和為定值.圖2證明 設正方體棱長為2a,建立如圖空間直角坐標系,球面O方程：x2+y2+z2=R2,P(x0,y0,z0),A(a,a,a,),B(-a,a,a),C(-a,-a,a),D(a,-a,a),
中學數(shù)學研究(廣東) 2017年21期2017-12-06
- 為什么粽子是正四面體？
第一，正四面體的粽子符合簡潔原則，只用1葉或2葉就能包成，而長方形大概需要3至4片葉子。第二，它符合力學原則和相對密封性原則。四個面都能用到完整的葉片，不需要多余的彎折，包法對葉脈的力學結(jié)構(gòu)比較“溫和”。如果是方形的粽子那么任何一個面要與其他面都不銜接，想不讓米漏出來需要把葉子都折起來內(nèi)扣。第三，它符合力學原則，有類似三角形穩(wěn)定性的性質(zhì)，在入水過程中可保結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。第四，它考慮了煮熟粽子的加熱效率，正四面體是除了球體以外表面積最大的多面體。第五，正四面體的粽
東方企業(yè)家 2017年8期2017-08-29
- 鈀正四面體納米晶及超薄納米片的可控合成
0074)鈀正四面體納米晶及超薄納米片的可控合成賀 星，李冬曉，聶碧陽，趙燕熹，黃 濤*(中南民族大學化學與材料科學學院 催化材料科學國家民委-教育部重點實驗室，湖北 武漢430074)以Pd(acac)2為前驅(qū)體、聚乙烯吡咯烷酮(PVP)為穩(wěn)定劑、N,N-二甲基甲酰胺(DMF)為溶劑、CO和葡萄糖(C6H12O6)為協(xié)同還原劑及形貌控制劑，通過調(diào)節(jié)前驅(qū)體用量，在100 ℃下油浴反應3 h，可以控制得到正四面體Pd納米晶或超薄Pd納米片，最適宜Pd(aca
化學與生物工程 2017年3期2017-06-01
- 利用“三維構(gòu)型”深化晶體組成結(jié)構(gòu)
體結(jié)構(gòu)1.“正四面體”常見構(gòu)型（1）以CH4 、CCl4等為代表的單分子構(gòu)型（如圖1所示），該“正四面體”的形成是以碳原子為中心，4個氫原子或4個鹵原子形成正四面體構(gòu)型。（2）以P4為代表的單分子構(gòu)型（如圖2所示），該“正四面體”的形成是以4個磷原子形成正四面體構(gòu)型，每個磷原子與另外的3個形成三個共價鍵。（3）以金剛石、晶體硅為代表的立體網(wǎng)狀正四面體構(gòu)型（如圖3所示），該構(gòu)型是以每一個原子為中心，另外的4個原子與之相連，從而形成正四面體的構(gòu)型，這也是形成該
中學化學 2017年3期2017-03-28
- 多面體的外接（內(nèi)切）球半徑的求法舉要
π.4用結(jié)論正四面體的外接球與內(nèi)切球的球心重合于正四面體的高線上一點，外接球與內(nèi)切球的半徑之和等于正四面體的高，外接球的半徑等于內(nèi)切球半徑的3倍，外接球的半徑等于正四面體棱長的64，內(nèi)切球的半徑等于正四面體棱長的612.例4如圖6所示為某幾何體形狀的紙盒的三視圖，在此紙盒內(nèi)放一個小正四面體，若小正四面體在紙盒內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動，則小正四面體的棱長的最大值為（）A.33B.13C.24D.324解析顯然由三視圖還原而成的紙盒是棱長為3的正四面體，利用上述結(jié)論可得
中學數(shù)學雜志(初中版) 2016年6期2017-01-05
- 兩招制勝幾何體與球的切、接問題
.方法1 過正四面體的高AG所在直線和正四面體的一條側(cè)棱AB作出組合體的截面如圖1,找準球心位置,構(gòu)造三角形求解半徑.在Rt△ABG中,由勾股定理可求得在 Rt△ABE中,由射影定理可求得AE即直徑2R＝圖1 圖2 正四面體外接球的球心在高線上,半徑是正四面體高的3/4.兩招制勝 幾何體的外接球問題:一方面,可以考慮作組合體的合適的截面,在截面中找到球的半徑和所給棱長的關(guān)系;另一方面,也可以考慮所給幾何體是哪個常見幾何體(長方體、正方體、棱柱)的切割后的圖
高中數(shù)理化 2016年23期2016-12-19
- 對稱相交圓柱的研究
了四個圓柱沿正四面體對稱軸方向，六個圓柱沿正方體面對角線方向，六個圓柱沿正十二面體面心連線方向，它們公共相交部分的頂點坐標，表面積和體積.利用數(shù)學軟件，繪出了它們的三維圖形.相交圓柱； 正多面體； 體積1 引 言高等數(shù)學中的多重積分以及曲面積分，一個很重要的應用是求封閉曲面圍成立體的表面積和體積.這些曲面，除了最典型的球面，圓柱面等，還有旋轉(zhuǎn)曲面[1]和二次曲面[2].還有一種曲面，看起來很簡單，但實際計算很麻煩.這種曲面就是圓柱面的組合，所包圍的立體稱為
大學數(shù)學 2016年5期2016-12-19
- 球的接、切問題處理策略
目的。例7 正四面體的內(nèi)切球、與棱相切的球、外接球這三類球的半徑之比為。解析 設正四體的棱長為1，外接球和內(nèi)切球半徑依次為R、r，由正四面體三個球心重合及其特征，則正四面體的高評注 正四面體的棱長為a，高為h，外接球、內(nèi)切球的半徑分別為R、r，相鄰兩個表面所成的角為θ，則，其推導方法中隱含著等體積變換和分割法。如果將正四面體納入正方體中得到其伴隨正方體，正四面體的體積等于其伴隨正方體體積的，正四面體的外接球和其伴隨正方體的外接球是同一個球，正四面體的棱長等
青蘋果 2016年12期2016-11-02
- 對正四面體的研究性學
中 范世祥對正四面體的研究性學安徽省和縣三中范世祥正四面體是中學數(shù)學立體幾何中最經(jīng)典的幾何體之一，以此為載體的試題屢見不鮮。本文針對正四面體進行研究性學習，研究的內(nèi)容和方法對立體幾何的學習有啟發(fā)和遷移作用。一、正三角形的研究正四面體的每個面都是正三角形，根據(jù)空間問題平面化思想，為了更好地研究正四面體，我們先從正三角形開始說起。問題1已知正三角形的邊長為a，分別計算它的高、面積、外接圓的半徑以及內(nèi)切圓的半徑。解析如圖1，結(jié)合解三角形知識，容易求出以下四個參數(shù)
青蘋果 2016年11期2016-08-31
- 一道習題的思考
疊后得到一個正四面體.我們先來思考：在平面中,若正三角形ABC邊長為a,如何求它的內(nèi)切圓和外接圓面積呢?圖2在正三角形中,我們可以通過等面積法求出其內(nèi)切圓半徑,再根據(jù)其內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑之和等于正三角形的高,求出其外接圓半徑.那么推廣到正四面體能不能用類似的方法解決其內(nèi)切球半徑和外接球半徑問題呢?圖3例題中將等腰梯形如圖折疊就可以得到棱長為a的正四面體,下面我們來求它的內(nèi)切球半徑和外接球半徑.設正四面體內(nèi)切球半徑為R,球心O把正四面體分成四個三棱錐O-
中學數(shù)學教學 2016年3期2016-07-08
- 一題多解 啟迪思維
中隱藏著一個正四面體。解法3：如圖3連接AO，BO，由已知得AO=BO=CO=AB=BC=AC=1，∴三棱錐O-ABC是正四面體?！逜O是?SAC的中線∴∴（棱長為的正四面體的體積為）分析4：利用相似性求錐體的高。 解法4：由解法3知：三棱錐O-ABC是棱長為1的正四面體，∴SC（OC）在面ABC內(nèi)的射影為∠ACB的角平分CP∴過O做CP的垂線OD就是O-ABC的高，∴過P做SQ的垂線OQ就是S-ABC的高，∴（棱長為a的正四面體的高為）∴分析5：利用正四
都市家教·下半月 2016年2期2016-05-30
- 談構(gòu)造立體幾何模型解題
例4如圖4，正四面體O—ABC的各棱長均為1,點D,E分別為棱OA,BC的中點.(1)求DE的長；(2)點O到平面ABC的距離．分析由于正四面體可以放在正方體中得到,所以,我們可以將正四面體O—ABC放到一個正方體中，如圖5所示.(2)求點O到平面ABC的距離,可以采用等積法，即VO-ABC=V正方體-4VG-OAB.設點O到平面ABC的距離為h,則本文從四個方面闡述了利用構(gòu)造幾何模型的來進行解題.構(gòu)造幾何模型能使問題從一般到特殊,從抽象到具體,從陌生到熟
高中數(shù)學教與學 2016年6期2016-04-25
- 立體幾何中的“割”與“補”
證棱長為a的正四面體內(nèi)任意一點到各面距離之和為一常數(shù)a。證明：用分割的思想，如圖1，任取正四面體內(nèi)一點E，連接EA，EB，EC，ED.可以將正四面體A-BCD分割成四個小四面體E-ABC，E-ACD，E-ABD，E-BCD，并且分別設它們的高為h1，h2，h3，h4.易知，h1，h2，h3，h4就是E點到各面的距離則VA-BCD=VE-ABC+VE-ACD+VE-ABD+VE-BCD即S△BCD·h=S△ABC·h1+S△ACD·h2+S△ABD·h3+S
新課程學習·中 2015年4期2015-06-11
- 正四面體的置換群
行了計算,在正四面體自同構(gòu)群G 中，G=H∪x2H∪x3H∪x4H其中H 是保持頂點1不變的對稱變換的集合，且正四面體置換群的階數(shù)為24.1 預備知識1.1 群論知識定義1[1]設G 為群，H 是G 的一個非空子集，如果H 關(guān)于G 的運算也構(gòu)成群，則稱H 為G 的一個子群，記作H≤G.定義2[1]設H 為群G 的一個子群，a∈G.其中叫做子群H 的一個左陪集.定義3[2]設σ 為集合A 的一個一一變換，其中A 是一個含有n 個元素的集合，不妨記為A={1,
長治學院學報 2015年2期2015-04-26
- 補 形
——求解三棱錐外接球半徑的一條重要途徑
例2.已知一正四面體的棱長為4，則其外接球體的體積為________.思路：補成“正方體”解析：由于連接正方體的六條面對角線可以形成一個正四面體，因此，可將正四面體補成一個正方體，且它們擁有相同的外接球體（圖4）.再過該正方體的一組對面上的對角線作軸截面，易得外接球體的半徑為，從而其體積為圖4例3.已知三棱錐P-ABC 中，底面ABC 為正三角形，邊長為2，側(cè)棱PA⊥底面ABC，且PA=2，則其外接球體的半徑為 .圖5 圖6 圖7思路一：補成“直三棱柱”思
新課程(中學) 2015年11期2015-04-14
- 柏拉圖的多面體世界
體只有五種：正四面體、正六面體（立方體）、正八面體、正十二面體和正二十面體。這五個正多面體被稱為“柏拉圖多面體”。它們當然不是柏拉圖發(fā)明的，但是最早對它們進行研究的就是柏拉圖和他的“弟子們”。柏拉圖不僅是個著名的哲學家，看來還很有數(shù)學頭腦呢！不過，柏拉圖研究正多面體并不是為了研究數(shù)學問題。他用這五個立體圖形來解釋世界，正四面體代表火，正六面體代表土，正八面體代表氣，正十二面體代表水，正二十面體代表宇宙。這跟我們古代的金木水火土真是相似啊。動手制作自己的柏拉
數(shù)學大王·中高年級 2014年1期2015-02-12
- 關(guān)于正四面體的“點點滴滴”
永純【摘要】正四面體是一種簡單、對稱的多面體，由于它的各條棱都相等，所以有十分多的性質(zhì)，也正因為它的特殊性，正四面體也成為歷年高考的重點考查內(nèi)容.關(guān)于正四面體的計算很復雜，牽扯到空間與平面，如果掌握了一些基本的性質(zhì)和正四面體的有關(guān)數(shù)據(jù)，這會大大減少計算量，增加了正確的可能性.下面我會為大家介紹一些關(guān)于正四面體的基本定義、基本性質(zhì)、基本性質(zhì)的有關(guān)推導、典型例題的解法.【關(guān)鍵詞】正四面體;基本性質(zhì);例題講解;證明一、正四面體的基本定義正四面體是由四個完全相同的
數(shù)學學習與研究 2014年21期2014-10-21
- 數(shù)軸在化學中的應用
磷（P4）為正四面體形，4個磷原子位于正四面體的頂點，故每摩爾P4含有的共價鍵的數(shù)目為6NA；CH4也為正四面體形，碳原子位于體心，四個氫原子位于正四面體的頂點，故每摩爾CH4含有的共價鍵的數(shù)目為4NA；金剛石為空間網(wǎng)狀正四面體形，每個碳原子與周圍的四個碳原子成鍵，由于每個碳碳鍵被兩個碳原子共用，相當于每摩爾碳原子，構(gòu)成2NA個共價鍵；SiC、SiO2的空間構(gòu)型與金剛石類似，每摩爾SiC、SiO2共價鍵的數(shù)目為4NA個； 石墨烯為單層石墨，結(jié)構(gòu)簡式如右圖所
中學化學 2014年1期2014-04-23
- 巧建模型 快速解題
：碳原子位于正四面體的中心，4個氫原子分別位于正四面體的四個頂點上（各個面都是正三角形的四面體叫做正四面體，到正四面體四個頂點的距離都相等的點叫做正四面體的中心）.設碳原子與4個氫原子連成的四條線段兩兩組成的角為θ，則cosθ=_____________.圖1分析：本題如果放在正四面體中直接求解，比較麻煩.先構(gòu)造一個正方體，如圖2，A-BCD為正四面體，正方體的中心就是碳原子，∠DOC即為θ.圖2評注：正四面體內(nèi)接于正方體，一般能用正四面體解決的問題都可以
中學數(shù)學雜志 2012年7期2012-08-28
- 四面體中的Cordon不等式
僅當四面體為正四面體A1A2A3A4時,等號成立.定理的證明需要用到以下2個引理.引理1[2]在四面體A1A2A3A4中，引理2設四面體A1A2A3A4的體積為V，則即由文獻[3],可知從而由式(4)及式(5),可得當四面體A1A2A3A4為正四面體時，R=3r.由此可得如下推論1.推論1在正四面體中，定理2設四面體A1A2A3A4的側(cè)面面積分別為S1,S2,S3,S4，相應面上的高分別為h1,h2,h3,h4，外接球和內(nèi)切球半徑分別為R,r,則其中∏表示
中學教研(數(shù)學) 2010年6期2010-11-23
- 極端位置成為解決幾何問題的“突破口”
最小值.例2正四面體ABCD的棱長為1，棱AB∥平面α，則正四面體上的所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積的取值范圍是________.(2006年浙江省數(shù)學高考試題)另解構(gòu)造一個正方體,如圖2.若將平面AEBF看作平面α，則正四面體上所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形為正方形AEBF.因為AB=1，所以若將ABH看作平面α，則正四面體上所有點在平面α內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形為三角形ABH.因為AB=1，所以圖2圖3例3如圖3,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各取一動
中學教研(數(shù)學) 2010年5期2010-11-22
- 也談平面與空間的類比
形ABC，③正四面體A—BCD的中心G的位置.［1］結(jié)論：①線段AB的中心G在線段的中點，即GA∶GB=1∶1.②正△ABC的中心(也就是重心)G滿足GA∶GM=2∶1，其中M點為邊BC的中心(即中點).③正四面體A—BCD的中心G滿足GA∶GM=3∶1，其中M為底面正△BCD的中心.證明(略).從線段到正三角形到正四面體，是從一維直線到二維平面到三維空間的拓廣，而結(jié)論從1∶1到2∶1到3∶1也是“類比”的猜測.把這種猜測的似真性當作肯定性那是愚蠢的，但是
中學數(shù)學研究 2008年1期2008-12-10
- 構(gòu)造正四面體巧解立體幾何問題
的幾何體——正四面體，并將問題放入其中，充分利用正四面體的點、線、面及角的特殊性，將使得問題更清晰，從而較容易的解決這個問題.本文就此舉例說明構(gòu)造正四面體在解題中的作用.一、構(gòu)造正四面體求點與面的距離問題例1 A、B、C、D是空間不共面的四點，與這四點距離相等的平面?zhèn)€數(shù)最多有個.解：如圖1，以A、B、C、D為頂點構(gòu)造一個正四面體，在以A為頂點，BCD為底面的正三棱錐中，過高的中點且平行于底面的平面與這四點的距離相等，當交換頂點時，這樣的平面有4個，又因為過
中學數(shù)學研究 2008年9期2008-12-09
- 正多面體種類的另一種證明
只有五種，即正四面體，正六面體，正八面體，正十二面體，正二十面體.我們的教科書上是利用歐拉公式證明了這個結(jié)論.現(xiàn)在，我們用一種相對基礎的方法來進行證明.設正多面體的每個面為正n邊形，每個頂點引出m條棱，那么由多邊形和立體圖形的意義可知：m和n為大于或等于3的正整數(shù).考慮任何一個頂點A，由它引出m條棱，故有m個相等的角以A為頂點，而這m個角的和應小于π.這個我們利用余弦定理和余弦函數(shù)在(0,π)上的單調(diào)性可以很容易地證明.我們的證明就是建立在這個結(jié)論上的.正
中學數(shù)學雜志(高中版) 2008年5期2008-11-24
- 兩類幾何體求值問題的極限解法
例5 若P是正四面體內(nèi)一點，則點P到各面距離之和等于(）A.正四面體的棱長B.正四面體的斜高C.正四面體的高D.正四面體相對棱的距離解析 可取正四面體的頂點為點P的極限點，頂點到各面距離之和就是頂點到底面距離，即為高.因而P到各面距離之和為正四面體的高.選C.例6 正三棱錐A-BCD中，點E在棱AB上，點F在棱CD上，并且AEEB=CFFD=λ(λ>0),設α為異面直線EF與AC所成的角，β為異面直線EF與BD所成的角，則α+β的值是(）A.π6 B.π4
中學數(shù)學雜志(高中版) 2008年4期2008-07-31
- 正四面體外接球和內(nèi)切球的半徑的求法
鳳華題 已知正四面體ABCD的棱長為a，求其外接球的半徑R和內(nèi)切球的半徑r.分析 如圖1，因為正四面體ABCD的外接球的球心O到點B，C，D的距離相等，所以O在平面BCD內(nèi)的射影O1到點B，C，D的距離也相等. 又因為在正四面體ABCD中△BCD是正三角形，所以O1是△BCD的中心，進而在正四面體ABCD中,有AO1⊥平面BCD，所以球心O在高線AO1上;同理:球心O也在其它面的高線上. 又正四面體ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD
中學數(shù)學雜志(高中版) 2008年1期2008-02-23