超－π－Brauer特征標理論

鐘艷林，鄭秉文

(1.閩南理工學院;2.北華大學)

0 引言

對于Brauer特征標，有人建立這樣的理論:設G是有限群，p為一個固定的素數(shù)，G0為G的p－正則元的集合，而cl(G0)表示G的p－正則元所在的共軛類的集合.IBr(G)表示G的不可約p－Brauer特征標的集合.

假設IBr(G)被劃分為族Y，并且假定對每一個，選擇一個非零Brauer特征標θY，其不可約Brauer成分都在Y中.若可以找到G0的一個劃分為K的族使得Brauer特征標θY在K∈K上取常值，并且|Y|=|K|.還要求{1}∈K.在這種情況下，稱θY為G的超 －Brauer特征標.

1 新的一節(jié)

對于π－Brauer特征標是否也可以建立類似的理論呢?在該文中，將討論關于π－Brauer特征標的一些結論.設G為π－可分群，G*為G的π－正則元的集合，cl(G*)表示G的π－正則類的集合.Iπ(G)表示G的不可約π－Brauer特征標的集合.首先來看幾個引理.

定義1 設π是一個素數(shù)集合，如果|G|的每個素因子均在π中，稱有限群G為π群［1］.

定義2 稱有限群G為π群，如果存在G的一個正規(guī)群列G=N0≥N1≥N2≥…≥Nr=1，使 Ni/Ni+1為 π 群，i=0，1，2，…，r－ 1.

引理3 設χ∈Bπ(G)，G為π －可分群，則Oπ'(G)? kerχ.

引理4 設G為π－可分群.對每個子集Y∈Y，θY是一個非的π－Brauer特征標，它的不可約成分都在Y中.假如|Y|=|K|，并且θY在集合K∈K中取常值.那么下面結論等價:

(1)子集{1}∈K.

(2)每個π－Brauer特征標θY是δY的一個倍數(shù)..

(3)任意的φ∈I*(G)是某一個π－Brauer特征標θY的一個成分.

證明 注意到Iπ(G)是π－正則共軛類函數(shù)空間的一組基底并且子集Y∈Y是無交的，因此θY是線性無關的.設S是在子集K∈K上取常值的復值函數(shù)空間.因為所有的θY屬于S并且|Y|=|K|，故{θY|Y∈Y}是空間S的一組基底［2］.

假設(1)成立，注意到ρ*在K的所有成員上去常值，于是存在適當?shù)膹蛿?shù)aY使得

因為Iπ(G)是線性無關的，且Y∈Y是兩兩無交的，從而對所有的Y∈Y，aYθY=δY，于是(2)得證.而且，通過比較次數(shù)還可以得到aY是一個有理數(shù).

因δY是非零的π－Brauer特征標，由(2)可立刻推(3).

現(xiàn)假定(3)，由此來證明(1).設K∈K包含1，又設g∈K.由于每個π－Brauer特征標θY在K上取常值，于是θY(g)=θY(1).注意到Iπ(G)={ψ*| ψ*∈ Bπ'(G)}. 于是 θY=，其中aψ是一個正整數(shù).因為每個φ∈Iπ(G)是π－Brauer特征標θY的一個成分，于是g∈ker(φ)對所有的ψ∈Bπ'(G)都成立.由G為 π － 可分群可得g=1［3］.

引理5 設G為π－可分群，則σ∈Aut(C)置換作用在集合Bπ″(G)上.特別地，它置換作用在 Iπ(G)上.

證明 σ以χσ(g)=χ(g)σ的方式作用在Irr(G)上，其中σ∈Aut(G)and χ∈Irr(G).設χ∈ Bπ'(G)，(W，γ)∈ nuc(χ).不難證明，對任意的σ∈Aut(C)，(W，γσ)∈nuc(χσ)［4］.因為γ是π'－特殊的，所以γσ是π'－特殊的，進而χσ∈Bπ'(G).命題得證.

定理6 設G為π－可分群，K與Y分別為G*和Iπ(G)的劃分，且假定π－Brauer特征標δY在K∈K上取常值，其中Y∈Y，則|Y|≤|K|.如果 |Y|=|K|，則有

(a)π －Brauer特征標集合{δY|}Y∈Y生成一個在K的成員上取常值的定義在G*上的復值函數(shù)空間.

(b)劃分Y決定K，并且K是唯一最粗糙的與Y相諧調的G*的劃分.特別地，K的成員是π－正則共軛類的并.

(c)K的某個成員恰由G的單位元組成，而Y的某個成員恰由G的主π－Brauer特征標組成.

(d)如果r是一個與|G|π'互素的正整數(shù)并且g∈G*，則映射g→gr誘導出K上的一個置換.

(e)若劃分K也唯一確定Y，則復數(shù)域C的每一個自同構誘導出Y上的一個置換.

證明 用V表示在K∈K取常值的復值函數(shù)空間，則

是V的一個線性無關子集.因為dim(V)=|K|，所以|Y≤|K||.假定|Y=|K||.由此得出{δY|Y∈Y}成為V的基，從而(a)的證明完成.

現(xiàn)在，證明(b).用K0表示G*的唯一最粗糙的與Y相諧調的劃分.換句話說，在G*上定義關系 ～，u～v當且僅當對所有的Y∈Y，δY(u)=δY(v).于是K0的成員就是在此關系下的等價類.(特別地，如果u，v∈G*在G中共軛，則u～v，從而K0的成員是正則類的并.)因K的每個成員包含在K0的某個成員中，故|K0|≤|K|=|Y|.而由第一段的證明得出，|K0|≥|Y|，于是，|K0|=|Y|=|K|，K=K0.(b)的證明完成.

如果r是與|G|π'互素的正整數(shù)，則存在整數(shù) s，t∈Z 使得rs+|G|π't=1.假設gr=hr，其中 g，h ∈ G*，則 g=grs+|G|π't=hrs+|G|π't=h.由此推得映射g→gr定義了G*的一個置換.如果把這個映射應用到K的成員上，則可得G*的一個新的劃分L.因為(r，|G|π')=1，再由Galois理論，存在一個Galois自同構σ∈Gal(Q|G|π'/Q)使得對所有的φ∈Iπ(G)和g∈G*均有φ(gr)= φ(g)σ［5］.因此，若K∈K且Y∈Y，則當g跑遍K時，均可得到δY(gr)=δY(g)σ是常值.所以π－Brauer特征標δY在L的成員上取常值.因|L|=|K|=|Y|故由(b)得到L=K，從而(d)成立.

假設σ是復數(shù)域C的一個自同構.根據(jù)引理5可知，σ置換Iπ(G).將σ作用在Y的每一個成員上，從而得到Iπ(G)的一個新的劃分Z.如果z∈Z，則存在y∈Y使得z=Yσ.注意到δz=(δY)σ在 K∈ K上取常值.現(xiàn)在，因 |Z|=|Y|=|K|且K唯一確定Y，故Z=Y，從而σ在Y上誘導一個置換.從而(e)成立.

最后給出兩個具有非平凡超－π－Brauer特征標理論的π－可分群的例子.

例1 Let G=C3×D70，D70是70階的二面體群.容易知道 G是可解群.取π ={5，7}.使GAP［6］，G 的 π － Brauer特征標表見表1.

表1 G的π－Brauev特征標表

Iπ(G)的分劃 Y 是{{φ2}，{φ2}，{φ3，φ4}，{φ5，φ6}}，對應的超 － π － 正則類是{{1}，{2G}，{，}，{，}}. 此外對應的超 － π －Brauer 特 征 標 是 δ{φ1}=35φ1，δ{φ2}=35φ2，δ{φ3，φ4}=35φ3+35φ4，δ{φ5，φ6}=35φ5+35φ6.

例2 Let G=C77×A5.取π =(7，11).那么G是π－可分群.使用GAP，G的π－Brauer特征標表見表2.

表2 使用GAP，G的π－Brauer特征標表

G的超 － π － 正則類是{{1}，{2G}，{3G}，{，.}}，超 － π － Brauer特征標是 δ{φ1}=77φ1，δ{φ2，φ3}=231φ2+231φ3，δ{φ4}=308φ4，δ{φ5}=385φ5.

［1］ 徐明曜.有限群導引:第二版.北京:科學出版社，1999.

［2］ Chen X Y，Zeng J W.Super－Brauer characters and superregular classes.Monatsh Math，2011，163:15 －23.

［3］ Cossey J P，Lewis M L，Navarro G.The number of lifts of a Brauer character with a normal vertex.J Algebra，2011，328:484－487.

［4］ Liu Y J，Song X L.A note on degrees of irreducible －Brauer characters.Arch Math(Basel)，2008(3):199 －204.

［5］ Navarro G.Nilpotent Characters.Pacific J Math，1995，169:343－351.

［6］ The Gap Group，GAP:Groups，Algorithms，and Programming，Version 4.12，2009，http://www.gap－system.org.