關(guān)麗紅，常 晶，趙 昕

（1.長(zhǎng)春大學(xué) 理學(xué)院，長(zhǎng)春130022；2.空軍航空大學(xué) 基礎(chǔ)部，長(zhǎng)春130022；3.吉林農(nóng)業(yè)大學(xué) 信息技術(shù)學(xué)院，長(zhǎng)春130118）

考慮如下分?jǐn)?shù)階橢圓型方程Dirichlet邊值問(wèn)題：

其中：Ω??N（N≥2）是帶有光滑邊界?Ω的有界區(qū)域；（－Δ）s表示分?jǐn)?shù)階Laplace算子，s∈（0，1）；f∈C（ˉΩ×?，?）.目前，關(guān)于分?jǐn)?shù)階橢圓型方程解的存在性與多重性研究已有許多結(jié)果［1－6］.分?jǐn)?shù)階Laplace算子（－Δ）s是Lévy穩(wěn)態(tài)擴(kuò)散過(guò)程的無(wú)窮小生成元［7］，在美式期權(quán)、人口動(dòng)力學(xué)和黏彈性力學(xué)等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛［8－10］.本文研究分?jǐn)?shù)階橢圓型方程Dirichlet邊值問(wèn)題（1）非平凡解的存在性，應(yīng)用推廣形式的山路定理，在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)的情形下得到了問(wèn)題（1）非平凡解的存在性.

本文主要結(jié)果如下：

注1 文獻(xiàn)［3，5］分別研究了分?jǐn)?shù)階Schr?dinger方程（－Δ）su＋V（x）u＝f（x，u）在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)和超線性增長(zhǎng)時(shí)解的存在性；文獻(xiàn)［6］在非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)時(shí)得到了分?jǐn)?shù)階Laplace方程（－Δ）su＝f（x，u）解的多重性；文獻(xiàn)［1］在非線性項(xiàng)滿足臨界增長(zhǎng)時(shí)，得到了問(wèn)題（1）解的多重性；文獻(xiàn)［2］在非線性項(xiàng)滿足超線性增長(zhǎng)時(shí)，得到了問(wèn)題（1）解的多重性.本文在非線性項(xiàng)滿足漸近線性增長(zhǎng)時(shí)，研究問(wèn)題（1）非平凡解的存在性.

通常如果I∈C1（E，?），并且序列｛un｝?E 滿足I（un）→c，（1＋‖un‖）‖I′（un）‖→0當(dāng)n→＋∞，則稱(chēng)｛un｝為泛函I的一個(gè)Cerami序列，簡(jiǎn)記為（C）c序列.如果I的每個(gè)Cerami序列都有強(qiáng)收斂子列，則稱(chēng)I滿足（C）c條件.

下面證明定理1.由假設(shè)（H1）～（H3）易知泛函J具有山路幾何，即：

1）存在r，δ＞0，使得對(duì)所有滿足‖u‖＝r的u∈Hs0（Ω），都有J（u）≥δ；

2）J（tφ1）→－∞，t→＋∞.

為了應(yīng)用定理2，只需證明泛函J滿足（C）c條件.取｛un｝n∈??Hs0（Ω）為（C）c序列，即

往證序列｛un｝在Hs0（Ω）中一致有界.事實(shí)上，若不然，不妨設(shè)‖un‖→＋∞（n→＋∞）.由式（2）可得

由假設(shè)（H4），對(duì)任意的ε＞0，存在M＞0，使得

令zn＝un／‖un‖2.則存在｛zn｝的子列（不妨仍記為｛zn｝）及z0∈（Ω），使得zn?z0，且zn（x）→z0（x），a.e.x∈Ω.由式（4）可得因此，存在Ω1?Ω，使得且z0（x）≠0，a.e.x∈Ω1.因此，對(duì)a.e.x∈Ω1，有

這與式（3）矛盾.因此｛un｝在（Ω）中有界，從而利用標(biāo)準(zhǔn)的討論可知，存在u0∈（Ω），使得又由假設(shè)（H3）和Fatou引理可得應(yīng)用定理2，顯然u0即是問(wèn)題（1）的非平凡弱解.證畢.

衷心感謝吉林大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院李勇教授的鼓勵(lì)和悉心指導(dǎo).

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