閆 春 雷

（青島大學 數(shù)學科學學院，山東 青島266071）

凸性在數(shù)學規(guī)劃中應(yīng)用廣泛.為了減弱對凸性的要求，研究者們給出了幾類廣義凸函數(shù)的定義.Hanson［1］介紹了不變凸函數(shù)；Hanson等［2］給出了Ⅰ型與Ⅱ型不變凸函數(shù)的概念.文獻［3－8］將Ⅰ型不變凸函數(shù)推廣到可微或不可微多目標規(guī)劃的情形，取得了一些有意義的結(jié)果；Jeyakumar等［9］將不變凸的概念推廣到多目標規(guī)劃情形，給出了V－不變凸的概念；Antczak［10］結(jié)合V－不變凸［9］與r－不變凸［11］給出了V－r－不變凸的概念；Antczak［12］將V－r－不變凸推廣到局部Lipschitz函數(shù)，并在局部Lipschitz函數(shù)的V－r－不變凸條件下給出了非光滑多目標規(guī)劃問題的Karush－Kuhn－Tuker必要與充分最優(yōu)性條件及Mond－Weir與Wolf型對偶結(jié)果；Ahmad等［13］又將V－r－不變凸進行了推廣，給出了局部Lipschitz函數(shù)廣義V－r－不變凸的概念，并在廣義V－r－不變凸條件下給出了非光滑多目標規(guī)劃問題的Karush－Kuhn－Tuker充分最優(yōu)性條件及 Mond－Weir對偶性.

本文考慮非光滑多目標規(guī)劃問題，結(jié)合V－r－不變凸與Ⅰ型不變凸，通過給出局部Lipschitz函數(shù)的廣義V－r－Ⅰ型不變凸概念，在廣義V－r－Ⅰ型不變凸條件下得到了非光滑多目標規(guī)劃問題的Fritz－John和Karush－Kuhn－Tuker充分最優(yōu)性條件，并建立了混合型對偶問題，且在廣義V－r－Ⅰ型不變凸條件下給出了弱對偶性與嚴格逆對偶性.

1 預(yù)備知識

對于任意的x＝（x1，x2，…，xn）∈?n，y＝（y1，y2，…，yn）∈?n，有x＝y(tǒng)?xi＝y(tǒng)i（i＝1，2，…，n）；x＜y?xi＜yi（i＝1，2，…，n）；x≤y?xi≤yi（i＝1，2，…，n）；x?y?x≤y且x≠y.

定義1［14］設(shè)集合X??n非空，f：X→?是實值函數(shù)，x∈X，N為x的鄰域，如果存在某個常數(shù)K＞0，使得對任意的y，z∈N，有

則稱f在x處是局部Lipschitz的.

若不等式（1）對于任意的x∈X都成立，則稱f在X上是局部Lipschitz的.

定義2［14］X??n為非空開集，函數(shù)f：X→?在點x∈X處是局部Lipschitz的，d∈?n.若極限

存在，則稱此極限為f在x處沿方向d的廣義方向?qū)?shù).

定義3［14］X??n為非空開集，函數(shù)f：X→?在x∈X的廣義次梯度記為

考慮非光滑多目標規(guī)劃問題（VP）：

定義5［12］設(shè)f：X→?p為定義在非空開集X??n上的局部Lipschitz函數(shù)，r為任意實數(shù)，如果存在函數(shù)η：X×X→?n，αi：X×X→?＋＼｛0｝，i∈I，使得對于任意的x∈X，有

則稱函數(shù)f在u∈X處關(guān)于η是V－r－不變凸的.若x≠u時，式（2）不等號嚴格成立，則稱函數(shù)f在u∈X處關(guān)于η是嚴格V－r－不變凸的.

下面假設(shè)X為?n中非空開集，f：X→?p，g：X→?m為局部Lipschitz函數(shù).函數(shù)η：X×X→?n，αi：X×X→?＋＼｛0｝，βj：X×X→?＋＼｛0｝，νi：X×X→?＋＼｛0｝，ωj：X×X→?＋＼｛0｝，i∈I，j∈M，r為任意實數(shù).

定義6 如果存在函數(shù)η及αi，βj（i∈I，j∈M），使得對任意的x∈X，有：

則稱（f，g）在u∈X處關(guān)于η 是V－r－Ⅰ型不變凸的.

定義7 如果存在函數(shù)η及νi，ωj（i∈I，j∈M），使得對任意的x∈X，有：

則稱（f，g）在u∈X 處關(guān)于η 是（偽，擬）V－r－Ⅰ型不變凸的.

若當x≠u時，式（7），（9）中第二個不等號嚴格成立，則稱（f，g）在u∈X處關(guān)于η是（嚴偽，擬）V－r－Ⅰ型不變凸的；若當x≠u時，式（8），（10）中第二個不等號嚴格成立，則稱（f，g）在u∈X處關(guān)于η是（偽，嚴擬）V－r－Ⅰ型不變凸的.

定義8 如果存在函數(shù)η及νi，ωj（i∈I，j∈M），使得對任意的x∈X，有：

則稱（f，g）在u∈X 處關(guān)于η 是（擬，偽）V－r－Ⅰ型不變凸的.

若當x≠u時，式（12），（14）中第二個不等號嚴格成立，則稱（f，g）在u∈X處關(guān)于η是（擬，嚴偽）V－r－Ⅰ型不變凸的；若當x≠u時，式（11），（13）中第二個不等號嚴格成立，則稱（f，g）在u∈X 處關(guān)于η 是（嚴擬，偽）V－r－Ⅰ型不變凸的.

2 最優(yōu)性條件

且下列條件之一成立：

由條件1）得

又由條件1）得

式（16）＋式（17）得

根據(jù)次微分的運算性質(zhì)［14］，得

2）的證明類似1）.由條件2），式（16）中＜0換為≤0，式（17）中≤0換為＜0，仍可得到式（18），結(jié)論成立.

由條件1）或條件2）均能得式（16）成立.其余證明與定理1類似.

3 混合型對偶

考慮（VP）的對偶問題（VD）：

定理3（弱對偶）設(shè)x，（y，μ，λ）分別為（VP）和（VD）的可行解，如果下列條件之一成立：

又因為

由條件1）及次微分的運算性質(zhì)［14］，得

因為（y，μ，λ）為（VD）的可行解，有－λjgj（y）≤0，j∈J2.從而

由條件1）及次微分的運算性質(zhì)［14］，得

式（21）＋式（23）得

2）的證明類似1）.

定理4（弱對偶）設(shè)x，（y，μ，λ）分別為（VP）和（VD）的可行解，如果下列條件之一成立：

由條件1）及次微分的運算性質(zhì)［14］知式（21）成立.其余證明與定理3類似.

與式（20）矛盾.

2）的證明類似1）.

［1］Hanson M A.On Sufficiency of the Kuhn－Tucker Conditions ［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981，80（2）：545－550.

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