一題多變 鍛煉思維

趙健

下面我們從蘇科版《數(shù)學(xué)》九年級(jí)上冊(cè)第70頁(yè)練習(xí)第1題出發(fā)，通過(guò)一題多變來(lái)得到一類(lèi)數(shù)學(xué)題，從中你可以體會(huì)到數(shù)學(xué)題是怎么編擬出來(lái)的，從而不斷提高我們的應(yīng)變能力和思維水平.

原題：如圖1，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)下列條件，求∠BOC的度數(shù).

（1） ∠ABC=50°，∠ACB=60°；

（2） ∠A=50°.

對(duì)于本題的解答，同學(xué)們很容易得到（1）的答案為125°.而對(duì)于（2），由于∠ABC和∠ACB的度數(shù)是沒(méi)有辦法知道的，因此不能像（1）那樣直接求解，但由于已知∠A的度數(shù)，因此∠ABC+∠ACB的度數(shù)是可求的，進(jìn)而就可以通過(guò)整體處理來(lái)求出∠BOC的度數(shù).

在△ABC中，∵∠A=50°，∴∠ABC+∠ACB=130°. ∵∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，∴∠OBC+∠OCB=65°，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=180°-65°=115°.

由上可見(jiàn)， ∠A的度數(shù)與∠ABC+∠ACB的度數(shù)互為變式條件，因此這兩個(gè)問(wèn)題可以看成互為變式題.

應(yīng)用上述方法，可以得到如下一般性的結(jié)論1：

如圖1， 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，則∠BOC=90°+∠A.

如果繼續(xù)對(duì)本題進(jìn)行變換，又可得到許多的問(wèn)題，通過(guò)這些問(wèn)題的解答，就能更好地鞏固更多的知識(shí)和方法，從而達(dá)到鍛煉思維的目的.

變式1 上面是已知兩條內(nèi)角平分線(xiàn)，如果將其中的一條內(nèi)角平分線(xiàn)改變?yōu)橥饨瞧椒志€(xiàn)，則有：

如圖2，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB

=60°，∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O（我們把點(diǎn)O稱(chēng)之為△ABC的旁心），求∠BOC的度數(shù).

【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，可求得∠OBC和∠BCO的度數(shù)，進(jìn)而求出∠BOC的度數(shù).

解：∵∠ABC=50°，BO平分∠ABC，∴∠OBC=25°；∵∠ACB=60°，∴∠ACD=120°. 又CO平分∠ACD，∴∠ACO=60°，∠OCB=120°，∴∠BOC=35°.

【小結(jié)】由于已知∠ABC和∠ACB的度數(shù)，就可以得到∠A的度數(shù)，因此如將已知條件“∠ABC=50°，∠ACB=60°”變換為已知“∠A=70°”也可求出∠BOC的度數(shù).（請(qǐng)自己寫(xiě)出變式并求解）

由變式1，我們可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論2：

如圖2，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，則∠BOC=α.

變式2 若將兩條內(nèi)角平分線(xiàn)都變換為外角平分線(xiàn)，則有：

如圖3，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù).

【分析】由∠ABC=50°，∠ACB=60°，可以求出∠DBC和∠BCE的度數(shù)；由∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，可以求出∠OBC和∠BCO的度數(shù)，進(jìn)而可以求出∠BOC的度數(shù).

解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠DBC=130°，∠BCE=120°；∵BO平分∠DBC，所以∠OBC=65°；同理，∠OCB=60°，∴∠BOC=180°-∠OBC-∠OCB=55°.

【小結(jié)】本題也可以作出∠ABC和∠ACB的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O′，利用課本習(xí)題的解法或直接應(yīng)用結(jié)論1求出∠BO′C，再由鄰補(bǔ)角的角平分線(xiàn)互相垂直即可得到答案.同樣，將已知條件“∠ABC=50°，∠ACB=60°”變換為已知條件“∠A=70°”，也可以求出∠BOC的度數(shù).（請(qǐng)同學(xué)們自己寫(xiě)出變式并求解）

由變式2，我們可以得到一個(gè)更一般的結(jié)論3：

如圖3，在△ABC中，∠A=α，∠ABC的外角平分線(xiàn)和∠ACB的外角平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，則∠BOC=90°-α.

你還可以將角平分線(xiàn)變換為高和中線(xiàn)，進(jìn)而又可以得到許多變式問(wèn)題.

變式3 若過(guò)點(diǎn)O作一條直線(xiàn)與△ABC的兩邊（或其延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，則又可以得到難度較大的新問(wèn)題.

如圖4，點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O作直線(xiàn)MN.

（1） 當(dāng)直線(xiàn)MN與AB、AC的交點(diǎn)仍分別在線(xiàn)段AB和AC上時(shí)，如圖①，試探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的理由；

（2） 將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)仍在線(xiàn)段AB上，而與AC的交點(diǎn)在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，如圖②，試問(wèn)（1）中∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不成立，請(qǐng)給出∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【解析】（1） 探索可知，∠MOB+∠NOC=90°-∠A. 理由是：由結(jié)論1可知，∠BOC=90°+∠A，則∠MOB+∠NOC=180°-∠BOC=180°-

90°+∠A=90°-∠A；（2） 探索可知不成立，∠MOB-∠NOC=90°-∠A. 理由是：由圖可知∠MOB+∠BOC-∠NOC=180°，由結(jié)論1可知：∠BOC=90°+∠A，∴∠MOB-∠NOC=180°-∠BOC=180°-

90°+∠A= 90°-∠A.

由上面的探索可見(jiàn)，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是通過(guò)研究問(wèn)題的變式得到的.希望你也要學(xué)會(huì)變換題目，進(jìn)而提升自己的應(yīng)變能力.

小試身手

1. 如圖5，在△ABC中，∠A=α. ∠ABC與∠ACD的平分線(xiàn)交于點(diǎn)A1，得∠A1；∠A1BC與∠A1CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A2，得∠A2；……；∠A2008BC與∠A2008CD的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)A2009，得∠A2009. 則∠A2009=______.

2. 如圖6，在變式3的條件下，繼續(xù)將直線(xiàn)MN繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)直線(xiàn)MN與AB的交點(diǎn)在AB的延長(zhǎng)線(xiàn)上，而與BC的交點(diǎn)為N時(shí)，如圖6，試探索∠MOB、∠NOC、∠A三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

（作者單位：江蘇省興化市昭陽(yáng)湖初級(jí)中學(xué)）