區(qū)間集上R0-代數(shù)的表示形式及其性質(zhì)*

喬希民，張東翰

(商洛學(xué)院數(shù)學(xué)與計算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛726000)

自美國模糊控制專家Zadeh于1965年發(fā)表模糊集理論［1］以來，模糊集理論上的模糊邏輯就成為一種非古典、非標(biāo)準(zhǔn)的現(xiàn)代邏輯，即形成了現(xiàn)代邏輯科學(xué)中以模糊邏輯為主要研究對象的非經(jīng)典數(shù)理邏輯學(xué)［2］，而這種非經(jīng)典數(shù)理邏輯學(xué)完備性問題的討論，則可歸結(jié)為其相應(yīng)代數(shù)系統(tǒng)的完備性研究.比如，Chang于1958年為研究?ukasiewicz邏輯系統(tǒng)所建立的MV-代數(shù)理論［3，4］;1996年，捷克邏輯學(xué)家Hájek提出了與基本邏輯系統(tǒng)BL相對應(yīng)的BL-代數(shù)及其慮子理論［5］;而我國數(shù)學(xué)家王國俊教授則提出了一種新的模糊命題演算的形式系統(tǒng)L*［6，7］，繼而經(jīng)多次修改趨于完善的L*系統(tǒng)，被視為是一種基于R0型t-模及其剩余蘊(yùn)涵R0蘊(yùn)涵算子，即為證明模糊邏輯形式系統(tǒng)L*的完備性而建立了與之相匹配的R0-代數(shù)系統(tǒng)［2，8］.此處擬在國內(nèi)外諸多學(xué)者對區(qū)間集［9-12］與相關(guān)R0-代數(shù)理論系統(tǒng)［13-16］研究的基礎(chǔ)上，運(yùn)用其基本思想方法，構(gòu)造性地給出了區(qū)間集上R0-代數(shù)的表示形式，同時證明了區(qū)間集上R0-代數(shù)定義表示形式的可行性與合理性，最后討論了其有趣的基本性質(zhì).

1 基本概念

定義1［9-12］設(shè)A=［Al，Au］是一個區(qū)間集，其中Al，Au是任意經(jīng)典集合且Al?Au.區(qū)間集是用上、下界集合對來表示，且其定義如下:設(shè)U為論域，2U是U的冪集，那么區(qū)間集上2U的子集形式為A=［Al，Au］={A∈2U|Al?A?Au}，稱其為一個閉區(qū)間集.閉區(qū)間上的所有區(qū)間集的集合記為 I(2U)={［Al，Au］|Al，Au?U，Al?Au}.

注1 當(dāng) Al=Au時，區(qū)間集 A=［Al，Au］成為經(jīng)典集合 A，尤其全集 U=［U，U］，空集? =［?，?］.

定義2［9-12］設(shè)A，B是任意的區(qū)間集，則在I(2U)上定義如下:

A?B 當(dāng)且僅當(dāng) Al?Bl和 Au?Bu.

定理1 設(shè)A，B，C∈I(2U)，則下列各結(jié)論成立:

(1)??A?U(有界性);

(2)A?A(自反性);

(3)A?B，B?A?A=B(反對稱性);

(4)A?B，B?C?A?C(傳遞性).

這樣由定理1中的(2)(3)(4)易知“?”是I(2U)上的一種偏序關(guān)系，帶偏序的區(qū)間集集合〈I(2U)，?〉為偏序集.

2 區(qū)間集間的運(yùn)算與性質(zhì)

定義3［9-13］設(shè)A，B是任意的區(qū)間集，那么區(qū)間集上的交、并、補(bǔ)、偽補(bǔ)與蘊(yùn)涵規(guī)定為

(1)A∩B?［Al∩Bl，Au∩Bu］，稱為區(qū)間集 A 與 B 的交集;

(2)A∪?B［Al∪Bl，Au∪Bu］，稱為區(qū)間集 A 與 B 的并集;

(3)A'?［U-Au，U-Al］，稱為區(qū)間集 A 的補(bǔ)集或余集;

(4)A*?［U-Al，U-Al］，稱為區(qū)間集 A 的偽補(bǔ)集;

(5)A?B?A'∪B∪(A*∩(B')*)，稱為區(qū)間集A蘊(yùn)涵區(qū)間集B，簡稱蘊(yùn)涵區(qū)間集.

其中符號“?”表示“被定義為”.

注2 A'與A*是兩種完全不同的定義方式.

定理2 設(shè) A，B，C∈I(2U)，則

(1)冪等律 A∪A=A，A∩A=A;

(2)交換律A∪B=B∪A，A∩B=B∩A;

(3)結(jié)合律 (A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C);

(4)分配律 A∪(B∩C)=(A∩B)∪(A∪C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C);

(5)吸收律 (A∩B)∪A=A，(A∪)∩A=A;

(6)同一律 A∪U=U，A∩U=A，A∪? =A，A∪? =?;

(7)排中律 A∪A'=U，A∪A'=?;

(8)De Morgan對偶律

(ⅰ)區(qū)間補(bǔ)對偶律(A∩B)'=A'∪B'，(A∩B)'=A'∩B';

(ⅱ)區(qū)間偽補(bǔ)對偶律(A∩B)*=A*∩B*，(A∪B)*=A*∩B*.

該定理的證明只需直接利用定義3，同時注意到經(jīng)典集合運(yùn)算的性質(zhì)即可.

注3 上述兩個區(qū)間集的并、交運(yùn)算可推廣到任意多個區(qū)間集的并、交運(yùn)算.

定理3［9-12］設(shè)A，B是任意的區(qū)間集，則區(qū)間集的補(bǔ)A'，B'和區(qū)間集偽補(bǔ)A*，B*之間的多重否定與多重偽補(bǔ)及混合運(yùn)算，具有下列性質(zhì):

(1)A'?A*，A＊＊?A'*;

(2)A″=A，A?=A';

(3)A'*=［Au，Au］，A*'=A＊＊=［Al，Al］;

(4)A'*'*=A'*=［Au，Au］;

(5)A'*'=A'＊＊=［U-Au，U-Au］;

(6)A″*=A*'*=A＊＊＊=A＊＊'=A*''=A*;

(7)A'∪A*=A*，A'∩A*=A';

(8)A∪A*=U，A∩A*=?.

證明 直接根據(jù)定義3證得.

定理4［9-12］設(shè)A，B是任意的區(qū)間集，則區(qū)間集補(bǔ)和區(qū)間集偽補(bǔ)所滿足的對偶性質(zhì)有:

(A∩B)'*=A'*∪B'*;(A∪B)'*=A'*∩B'*;(A∩B)*'=A*'∪B*';(A∪)B*'=A*'∩B*'.

證明 由定理2中的(8)證得.

定理5［9-12］如果'是I(2U)→I(2U)的一個自身逆序?qū)嫌成?，?/p>

(1)A?B當(dāng)且僅當(dāng)B'?A'('是逆序?qū)?yīng));

(2)A″=A('是對合對應(yīng)).

則稱格〈I(2U)，B，B，'，*〉為有余格.

3 區(qū)間集上R0-代數(shù)的表示形式

為方便起見，由定義1、定理2、定理3還可將區(qū)間蘊(yùn)涵表示為

命題1［13］設(shè)A，B是任意的區(qū)間集，“'”為區(qū)間集上的補(bǔ)，“?”為區(qū)間集的蘊(yùn)涵，則

(1)A?B=［(U-Au)∪Bl∪((U-Al)∩Bu)，(U-Al)∪Bu］;

(2)A?B=［((U-Al)∪Bl)∩((U-Au)∪Bu)，(U-Al)∪Bu］;

(3)A'?B=［Al∪Bl∪(Au∩Bu)，Au∪Bu］，記 A△B?A'?B;

(4)(A?B')'=［Al∩Bl，Au∩Bu∩(Al∪Bl)］=(A'△B')'，記 A?B?(A'△B')'=(A'?B')'.

命題2 設(shè)X，Y，Z是任意的區(qū)間集，則?:I(2U)×I(2U)→I(2U)是一映射，“?”是I(2U)上的偏序，U是I(2U)上的有界最大元，“'”是關(guān)于序?逆序?qū)蠈?yīng)，且滿足以下性質(zhì):

(1)X'?Y'=Y?X;

(2)U?X=X，X?X=U;

(3)Y?Z?(X?Y)?(X?Z);

(4)X?(Y?Z)=Y?(X?Z);

(5)X?(Y∪Z)=(X?Y)∪(X?Z)，X?(Y∪Z)=(X?Y)∪(X?Z);

(6)(X?Y)∪((X?Y)?(X'∪Y))=U.

證明 (1)由區(qū)間集蘊(yùn)涵定義及定理2、定理3得

X'?Y'=X″∪Y'∪(X'*∩Y″*)=X∪Y'∪(X'*∩Y*)=Y'∪X∪(Y*∩X'*)=Y?X

故證得(1)成立.

(2)根據(jù)區(qū)間集蘊(yùn)涵的區(qū)間表示式，得

U?X= ［(U-U)∪Xl∪((U-U)∩Xu)，(U-U)∪Xu］=［Xl，Xu］=X

X?X=［((U-Xl)∪Xl)∩((U-Xu)∪Xu)，(U-Xl)∪Xu］=［U，U］=U故證得(2)成立.

(3)依區(qū)間集蘊(yùn)涵的意義得

從而證得(3)成立.

(4)利用區(qū)間集蘊(yùn)涵的意義與定理2，3，4得:

故證得(5)成立.

(6)由區(qū)間集蘊(yùn)涵、補(bǔ)及并的定義有

因為區(qū)間集較為冗長，所以分別計算證明其上確界值和下確界值.

在區(qū)間集上確界值中，利用經(jīng)典集合排中律及冪等律得

故證得(6)成立.

注4 在命題2中，式(1)-(6)均可用定義3及命題1證得.

這樣，受文獻(xiàn)［2，8］的啟發(fā)，給出區(qū)間集上R0-代數(shù)的定義如下:

定義4 設(shè) X，Y，Z 是任意的區(qū)間集，一個(2，2，2，1，1，0，0)型代數(shù)〈I(2U)，?，?，∪，'，*，U，?〉是區(qū)間集上R0-代數(shù)，若以下條件成立:

4 區(qū)間集上R0-代數(shù)的性質(zhì)

命題3 設(shè)〈I(2U)，?，?，∪，'，*，U，?〉是區(qū)間集上R0-代數(shù)，X，Y，Z是任意的區(qū)間集，則以下性質(zhì)成立:

(P1)X?Y=U當(dāng)且僅當(dāng)X?Y當(dāng)且僅當(dāng)Y'?X';

(P2)X?Y時，有Y?Z?X?Z即X?Y關(guān)于X不增，繼而由此得到X?Y=U，另外特別地有Y'?X';

(P3)X?(X?Y)?Y;

(P4)X?Y?Z當(dāng)且僅當(dāng)Y?X?Z;

(P5)(X∪Y)?Z=(X?Z)∩(Y?Z)，(X∩Y)?Z=(X?Z)∪(Y?Z);

(P6)(X?Y)∪(Y?X)=U;

(P7)X∪X'?Y∪Y';

(P8)X?(X'?Y)=U;

(P9)X?(Y?X)=U;

(P10)X∪Y?((X?Y)?Y)∩((Y?X)?X);

(P11)X?Y?(X∪Z)?(Y∪Z)，X?Y?(X∪Z)?(Y∩Z);

(P12)X?Y?(X?Z)∪(Z?Y).

命題4 設(shè)〈I(2U)，?，?，∪，'，*，U，?〉是區(qū)間集上R0-代數(shù)，X，Y，Z是任意的區(qū)間集，利用命題1中的(3)(4)所引入的兩個新的算子“Δ”與“?”，則以下性質(zhì)成立:

(P13)X?Y?X∩Y?X∪Y?X△Y;

(P14)X?Y?Z當(dāng)且僅當(dāng)X?Y?Z;

(P15)(X?Y)?Z=X?(Y?Z)，X?(Y?(X?Y))=U;

(P16)X?X'=?，X△X'=U;

(P17)nX=2X，Xn=X2，這里n是大于2的整數(shù)，nX=X△X△…△X，(X)n=X?X?…?X(以上各式均有n個X);

(P18)X?(Y∪Z)=(X?Y)∪(X?Z);X?(Y∩Z)=(X?Y)∩(X?Z)

(P19)(X∪Y)n=Xn∪Yn;

(P20)X2?(Y?Z)=(X2?Y)?(X2?Z).

5 結(jié)束語

此處是基于區(qū)間集上R0-代數(shù)及其性質(zhì)的討論，對此區(qū)間集上R0-代數(shù)的定義是否可以進(jìn)一步簡化，具有哪些特征刻畫，以及如何在區(qū)間集上建立相應(yīng)的模糊邏輯形式系統(tǒng)ISL*等問題的研究，都將是另文所要深入探討的課題.

［1］LOTFI A，ZADEN.Fuzzy Sets［J］.Information and Control，1965，8(3):338-353

［2］王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理［M］.2版.北京:科學(xué)出版社，2008

［3］CHANG C C.Algebacic Analysis of Many-valued Logics［J］.Transations of the Aemerican Mathematical Society，1958，88:467-490

［4］CHANG CC.A New Proof of the Completeness of the Lukasiewicz Axioms［J］.Transations of the American Mathematical Society，1959(93):74-90

［5］HáJEK P.Metamathematics of Fuzzy Logic［M］.Boston:Kluwer Academic Publishers，1998

［6］王國俊.模糊命題演算的一種形式演繹系統(tǒng)［J］.科學(xué)通報，1997，42(10):1041-1045

［7］WANG G J.On the logic foundation of fuzzy reasoning［J］.Information Sciences，1999，177(1):47-88

［8］WANG G J，AHOU H J.Introduction to Mathematical logic and Resolution Principle［M］.2nd ed.Beijing:Science Press，2009

［9］YAO Y Y.Interval Sets and Interval-set Algebras［C］∥The 8th IEEE International Conference on Cognitive informatics.Hong Kong:IEEE Computer Society，2009:307-314

［10］姚一豫.區(qū)間集［M］∥王國胤，李德毅，姚一豫，等.云模型與粒計算.北京:科學(xué)出版社，2012

［11］YAO Y Y.Two Views of Theory of Rough Setsin Finite Universes［J］.International Journal of Approximation Rersoning，1996，15(4):291-317

［12］薛戰(zhàn)熬，杜浩翠，尹昊喆，等.區(qū)間集上的格蘊(yùn)涵代數(shù)、FI-代數(shù)、MV-代數(shù)的研究［J］.計算機(jī)科學(xué)，2010，37(12):218-223

［13］裴道武.基于三角模的模糊邏輯理論及其應(yīng)用［M］.北京:科學(xué)出版社，2013

［14］張小紅.模糊邏輯及其代數(shù)分析［M］.北京:科學(xué)出版社，2008

［15］喬希民，吳洪博.格上BR0-代數(shù)結(jié)構(gòu)的表示定理［J］.山東大學(xué)學(xué)報:理學(xué)版，2010，45(9):38-42

［16］喬希民，吳洪博，羅俊麗.16種基礎(chǔ)R0-代數(shù)結(jié)構(gòu)的相對獨立公理系統(tǒng)［J］.模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)，2012，26(6):14-20