運(yùn)籌學(xué)中部分案例建模的再思考*

陳修素， 陳 睿， 張 雄

(1.重慶工商大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400067；2.美國(guó)馬薩諸塞大學(xué) 阿默斯特分校電子與計(jì)算機(jī)工程系，美國(guó) 馬薩諸塞州 01002；3. 重慶工商大學(xué) 財(cái)政金融學(xué)院，重慶 400067)

1 鋼梁配套問題

西南交通大學(xué)經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院的李軍教授在西南交通大學(xué)省級(jí)精品課程“運(yùn)籌學(xué)A”第一章的電子教案(2006年)的第一節(jié)(§1)線性規(guī)劃問題及其數(shù)學(xué)模型中給出了如下的線性規(guī)劃問題1作為案例.

問題1 設(shè)有鋼材150根，長(zhǎng)為15 m，需要軋成配套鋼料，每套由7根2 m長(zhǎng)與2根7 m長(zhǎng)的鋼梁組成，問如何下料使鋼材廢料最少(不計(jì)下料損耗)？

2 問題1的建模

李軍教授在上述電子教案中給出了問題1的如下的建模方法和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型[1].

解15 m長(zhǎng)的鋼梁截成2 m、7 m長(zhǎng)的鋼梁有以下A1，A2，A33種截法：

表1 鋼梁的3種截法 單位:m

設(shè)按第j種截法截鋼材xj根，j=1，2，3,則可以建立如下的線性規(guī)劃模型：

用lingo軟件編程計(jì)算可得其最優(yōu)解為

最優(yōu)目標(biāo)值為

minz=150

3 問題1的再思考與模型的改進(jìn)

但是，當(dāng)問題1中的每套鋼料改由5根2m長(zhǎng)與2根7m長(zhǎng)的鋼梁組成，則問題1變?yōu)槿缦聠栴}2.

問題2 設(shè)有鋼材150根，長(zhǎng)為15m，需要軋成配套鋼料，每套由5根2m長(zhǎng)與2根7m長(zhǎng)的鋼梁組成，問如何下料使鋼材廢料最少(不計(jì)下料損耗)？

則問題2中的模型變?yōu)?/p>

minz=x2+x3

用LINGO軟件編程計(jì)算可得此模型無(wú)可行解(即無(wú)非負(fù)整數(shù)解)，去掉變量取整數(shù)的限制所得的松弛問題的最優(yōu)解

顯然不滿足整數(shù)條件，目標(biāo)值為34.615 38m.

問題2的模型必須要改進(jìn)，由上分析說(shuō)明沒有一種能充分利用所有被切下的鋼梁配成成套鋼料的截割方案，此時(shí)，任何一種截割計(jì)劃都會(huì)有截下來(lái)未能配成套的鋼梁成為廢料，再加之每一種截法留下的余料也是廢料，從而廢料分為兩部分，一部分是各種截法留下的余料為(x2+x3)m，另一部分廢料為截下的鋼梁配套后余下的鋼梁，截下的鋼梁能配成的鋼套數(shù)為

截下的2m鋼梁配套后余下的鋼梁數(shù)為

截下的7m鋼梁配套后余下的鋼梁數(shù)為

從而截下的鋼梁配套后余下成為廢料的鋼梁長(zhǎng)度為(單位：m)

由此可得廢料的總數(shù)(單位：m)為

綜合上述分析可得，問題2的數(shù)學(xué)模型為如下非線性整數(shù)規(guī)劃：

用LINGO軟件編程計(jì)算可得此模型的最優(yōu)解為

最優(yōu)目標(biāo)值，即最少的費(fèi)料為

minz=42

4 線材問題的合理利用[2]

清華大學(xué)出版的“運(yùn)籌學(xué)”(本科版)第一章線性規(guī)劃與單純形法的第6節(jié)應(yīng)用舉例中有如下合理利用線材的問題：

例1 現(xiàn)要做100套鋼架，每套用長(zhǎng)為2.9m，2.1m，1.5m的圓鋼各一根，已知原料每根長(zhǎng)7.4m，問：應(yīng)如何下料，可使所用原料最省？

解在每根原材料上截取2.9m，2.1m和1.5m的元鋼各一根組成一套，每根原材料剩下料頭0.9m，為了做100套鋼架，需用原料100根，有90m料頭，若改為套裁，可以節(jié)約原材料，可以考慮以下列5種下料方案，見表2.

表2 5種下料方案 m

設(shè)x1，x2，x3，x4，x5分別為上面5種方案下料的原材料根數(shù),這樣可以建立如下的數(shù)學(xué)模型[2]：

minz=0.1x2+0.2x3+0.3x4+0.8x5

用LINGO軟件計(jì)算得出最優(yōu)下料方案：按方案1下料30根；按方案2下料10根；按方案4下料50根.即x1=30；x2=10；x3=0；x4=50；x5=0.即只需90根原材料就可制造出100套鋼架.

注1 問題2中每套鋼架只需長(zhǎng)為2.9 m，2.1 m，1.5 m的圓鋼各一根，使得上述建模問題比較簡(jiǎn)單.但如果每套鋼架需長(zhǎng)為2.9 m，2.1 m，1.5 m的圓鋼各2，3，3根，則此問題的建模就不那么簡(jiǎn)單了，需要利用問題2鋼梁配套問題中改進(jìn)的建模方法的思想思考這個(gè)問題的數(shù)學(xué)建模，在此就不贅述了.

參考文獻(xiàn)：

[1] 李軍.運(yùn)籌學(xué)A[M].成都：西南交通大學(xué)，2006

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[3] 陳修素，丁宣浩，陳義安.基于創(chuàng)新能力培養(yǎng)的《運(yùn)籌學(xué)》課程改革與數(shù)學(xué)建模實(shí)踐[J].四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2012，22(2)：109-113

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[6] 陳修素，陳睿，郭洋成，等.上海世博會(huì)的經(jīng)濟(jì)綜合影響力指數(shù)模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2012，42(2)：11-18