單純形算法在高速公路深挖路塹邊坡設(shè)計(jì)中的運(yùn)用

周 娟

(海南省公路勘察設(shè)計(jì)院，海南海口 570206)

邊坡極限平衡分析非常重要的一步是尋找最小安全系數(shù)所對(duì)應(yīng)的臨界滑裂面。搜索臨界滑裂面的方法主要包括三大類:枚舉法，數(shù)值分析法(模式搜索法和牛頓法)以及諸如模擬退火、遺傳算法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等非數(shù)值算法。

W.Fellenius及D.W.Talor的研究成果指出:均質(zhì)簡單土坡，其滑裂面為規(guī)則的圓弧，且該圓弧通過坡腳［1］。對(duì)于這樣的滑裂面，尋找最危險(xiǎn)滑面，實(shí)際就是尋找安全系數(shù)函數(shù)的最小值:

其中，F(xiàn)(Xi)為潛在的滑面安全系數(shù);Xi為關(guān)于圓弧圓心坐標(biāo)的二維向量，即 Xi=(xi，yi)T。

采用單純形法構(gòu)造一個(gè)三角形便可快速尋找到臨界滑面。本文首先推導(dǎo)了以圓心坐標(biāo)為參數(shù)的均質(zhì)簡單邊坡的Bishop計(jì)算式，并編寫了基于單純性法的臨界滑面搜索程序，將其運(yùn)用于海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路某深挖路塹邊坡設(shè)計(jì)中。

1 以滑面圓心坐標(biāo)為參數(shù)的安全系數(shù)求解

1.1 邊坡計(jì)算模型

以坡腳處為原點(diǎn)，建立如圖1所示直角坐標(biāo)系。邊坡幾何物理力學(xué)條件如下:圓弧滑面圓心坐標(biāo)為(X0，Y0);高度為H，坡角為β;均布荷載為q，距坡頂起點(diǎn)距離為B1，作用寬度為B2;假設(shè)浸潤線由幾條直線連接而成，各條浸潤線端點(diǎn)坐標(biāo)為(XJi，YJi)，其中第一條浸潤線第一個(gè)端點(diǎn)為(0，0)。

圖1 邊坡穩(wěn)定性計(jì)算模型

采用Bishop法計(jì)算滑面安全系數(shù)，需要將上述已知條件轉(zhuǎn)化為式(2)所需參數(shù)。

其中，下標(biāo)i表示任一土條;下標(biāo)j為土層;γj為土層重度;H(i，j)為土條每一土層的高度;Bi為土條寬度;αi為土條重力與圓弧法線夾角;Ui為土條底部水壓力;ci，φi分別為滑面粘聚力、內(nèi)摩擦角;F為安全系數(shù)。

1.2 參數(shù)轉(zhuǎn)換

在直角坐標(biāo)系中求出圓弧、坡面線、坡頂線以及各條浸潤線的方程。

圓弧方程:

坡面線方程:

坡頂線方程:

浸潤線方程:

得到方程后，按下述方法進(jìn)行參數(shù)轉(zhuǎn)換。

1)將圓弧方程與坡頂線方程聯(lián)立求解滑面與坡頂交點(diǎn)坐標(biāo)(XD，H)，并求出坡面起點(diǎn)坐標(biāo)(Xs，H)。2)根據(jù)劃分的土條數(shù) n將各土條設(shè)置為同一寬度Bi=XD/n，并計(jì)算各分界線橫坐標(biāo)XFi=XFi－1+Bi，將XFi代入圓弧方程取較小值求得 YFi。3)計(jì)算土條中線與滑面交點(diǎn)坐標(biāo)(XHi，YHi)。XHi=(XFi+XFi－1)/2，將XHi代入圓弧方程取較小值求得YHi。4)計(jì)算土條中線與坡面交點(diǎn)坐標(biāo)(XPi，YPi)。XPi=XHi;當(dāng) XPi＜ Xs時(shí)，將 XPi代入坡面線方程求得 YPi，當(dāng) XPi≥Xs時(shí)，YPi=H。5)計(jì)算土條高度 Hi。Hi=YPi－YHi。6)計(jì)算土條分界線與浸潤線交點(diǎn)縱坐標(biāo) YJFi。根據(jù)土條分界線橫坐標(biāo)XFi與浸潤線端點(diǎn)橫坐標(biāo)XJi+1，XJi的大小關(guān)系，判斷分界線與哪條浸潤線相交，然后將XFi代入該浸潤線方程求得YJFi。7)計(jì)算重力與圓弧法線夾角αi。根據(jù)土條中線橫坐標(biāo)與圓心橫坐標(biāo)的關(guān)系有三種情況:XHi＜X0，αi=arctan［(Y0－ YHi)/(X0－ XHi)］－ π/2。XHi=X0，αi=0。XHi＞ X0，αi=π/2－arctan［(Y0－YHi)/(X0－XHi)］。8)計(jì)算土條底部水壓力Ui。分界線上水面到滑面的高度 Hwi=YJFi－YFi，水壓力Ui=(Hwi+Hwi－1)·Bi/(2cosαi)。9)計(jì)算外荷載 Qi。根據(jù)分界線坐標(biāo)與荷載左右邊界的關(guān)系求得各土條上的外荷載Qi。

2 單純形法搜索臨界滑面的基本原理

2.1 單純形法的基本思想

單純形是指在n維向量空間具有n+1個(gè)頂點(diǎn)的多面體。對(duì)于本文所討論的問題，初始向量為關(guān)于圓心坐標(biāo)的二維向量x0=(X0，Y0)T，則以下述3個(gè)向量構(gòu)成二維空間的三角形:x1=x0=(X0，Y0)T。x2=(X0+pl，Y0+ql)T。x3=(X0+ql，Y0+pl)T。其為邊長，取值 n+1=3。首先求出3個(gè)頂點(diǎn)的目標(biāo)函數(shù)值 F(xi)，找出其中的最大值F(xh)，最小值 F(xl)和中間值 F(xm)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)為 xh，xl和 xm。從這一個(gè)單純形出發(fā)，每次迭代都設(shè)法構(gòu)造新的單純形，用新單純形的一個(gè)頂點(diǎn)替換掉原單純形具有最大安全系數(shù)F(xh)的頂點(diǎn)，以此逐步逼近目標(biāo)函數(shù)的極小點(diǎn)。

2.2 單純形的基本算法

單純形主要包括反射、擴(kuò)大、收縮和縮邊四種操作。在操作前先求出除xh外兩個(gè)頂點(diǎn)的中心xc，以及中心的函數(shù)值F(xc)。

1)反射。將最大函數(shù)值頂點(diǎn)通過中心xc反射到對(duì)面xr，并計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值F(xr)。

其中，通常取反射系數(shù)α=1。

2)擴(kuò)大。若F(xr)＜F(xl)，反射成功，并表明沿著xcxr方向函數(shù)值有可能進(jìn)一步下降，因此將xr擴(kuò)大到xe，計(jì)算擴(kuò)大點(diǎn)的函數(shù)值F(xe)。

其中，通常取擴(kuò)大系數(shù)γ=2。

若F(xe)＜F(xl)，表明擴(kuò)大成功，用xe替換xh構(gòu)成新的單純形。若F(xe)≥F(xl)，表明擴(kuò)大失敗，用xr替換xh構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行收斂判定，如圖2所示。

圖2 單純形反射、擴(kuò)大操作

3)收縮。若F(xm)≥F(xr)≥F(xl)，用xr替換xh，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行收斂判定。若F(xh)＞F(xr)＞F(xm)，用xr替換xh，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行收斂判定。若F(xr)≥F(xh)，必須進(jìn)行收縮操作，將反射點(diǎn)收縮至xt，并計(jì)算反射點(diǎn)的函數(shù)值F(xt)。

其中，通常取收縮系數(shù)β=0.5。

若F(xh)＞F(xt)，用xt替換xh，構(gòu)成新的單純形，進(jìn)行收斂判定，否則進(jìn)行縮邊操作。單純形收縮操作見圖3。

圖3 單純形收縮操作

4)縮邊。當(dāng)F(xt)≥F(xh)時(shí)進(jìn)行縮邊，保持xl不變，對(duì)其他頂點(diǎn)進(jìn)行縮邊操作，得到新的單純形，進(jìn)行收斂判定。單純形縮邊操作見圖4。

5)收斂準(zhǔn)則。

其中，ε為足夠小的數(shù)。

圖4 單純形縮邊操作

3 工程運(yùn)用

3.1 工程及工點(diǎn)概況

海南橫線萬寧—儋州—洋浦高速公路，路線全長164.1 km，是《國務(wù)院關(guān)于推進(jìn)海南國際旅游島建設(shè)發(fā)展的若干意見》確定的交通基礎(chǔ)設(shè)施項(xiàng)目，是列入《海南國際旅游島建設(shè)發(fā)展規(guī)劃綱要》及《海南省公路交通“十二五”發(fā)展規(guī)劃》的重點(diǎn)項(xiàng)目，在完善海南島路網(wǎng)結(jié)構(gòu)，充分發(fā)揮博鰲亞洲論壇及洋浦國家級(jí)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的區(qū)位優(yōu)勢，以及促進(jìn)中部市縣快速發(fā)展等方面具有如下重要功能和作用。其主要技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)為:四車道高速公路，設(shè)計(jì)速度100 km/h，路基寬26 m。

K130+180～K130+560段，路線翻越埡口，其中心挖深最大為12 m，路塹邊坡高度最高為28 m，為深挖路塹，需進(jìn)行單獨(dú)設(shè)計(jì)。

3.2 工點(diǎn)工程地質(zhì)條件

埡口地形標(biāo)高在131 m～169 m之間，地貌單元屬花崗巖殘丘，由印支期花崗巖及其殘積土組成。覆蓋層砂質(zhì)粘土較厚，基巖埋藏較深，邊坡屬于均質(zhì)土坡。其地下水埋深在路面以下3 m～4 m，對(duì)邊坡穩(wěn)定性影響較小。與邊坡穩(wěn)定性計(jì)算相關(guān)的物理力學(xué)性質(zhì)指標(biāo)如表1所示。

表1 土體主要物理、力學(xué)指標(biāo)

3.3 穩(wěn)定性分析

采用編制的單純性臨界滑面搜索程序?qū)ψ畲筮吰赂叨鹊腒130+500斷面進(jìn)行穩(wěn)定性計(jì)算，根據(jù)規(guī)范要求，分別進(jìn)行三種工況下的計(jì)算:正常工況Ⅰ，暴雨或連續(xù)降雨工況Ⅱ，地震作用工況Ⅲ。經(jīng)過對(duì)邊坡坡率的多次修改，邊坡穩(wěn)定性計(jì)算結(jié)果符合規(guī)范要求，如表2及圖5所示，表2對(duì)應(yīng)的該橫斷面布置如表3所示。

圖5 K130+500斷面邊坡橫斷面及臨界滑面搜索結(jié)果

表3 邊坡橫斷面布置

3.4 防護(hù)工程設(shè)計(jì)

兩側(cè)路塹均為穩(wěn)定邊坡，因此，只采用一般的防護(hù)措施，即拱形骨架和噴草植灌防護(hù)。

4 結(jié)語

均質(zhì)簡單邊坡滑裂面為規(guī)則圓弧，但其最危險(xiǎn)滑面很難通過經(jīng)驗(yàn)判斷，搜索最小安全系數(shù)臨界滑面是正確評(píng)價(jià)邊坡安全的關(guān)鍵。本文將單純性算法搜索最危險(xiǎn)滑面用于高速公路深挖路塹邊坡，通過該方法快速準(zhǔn)確的對(duì)邊坡穩(wěn)定性進(jìn)行評(píng)價(jià)，從而合理的對(duì)邊坡進(jìn)行設(shè)計(jì)。

［1］高大釗.土力學(xué)與基礎(chǔ)工程［M］.北京:中國建筑工業(yè)出版社，1999.

［2］陳祖煜.土質(zhì)邊坡穩(wěn)定分析——原理·方法·程序［M］.北京:中國水利水電出版社，2003.

［3］黃潤秋，張悼元，王士天.高邊坡穩(wěn)定性的系統(tǒng)工程地質(zhì)研究［M］.成都:成都科技大學(xué)出版社，1991.