Stirling公式的進(jìn)一步拓展

張麗穎

(健雄職業(yè)技術(shù)學(xué)院軟件與服務(wù)外包學(xué)院，江蘇太倉(cāng)215411)

詹姆斯·斯特林(James Stirling)于1730年給出了:n!～C·n(n+12)·e－n，并求出了近些年，Stirling公式還多次被推廣．其研究不斷地深入．

1999年，徐利治［1］給出了n!的二重級(jí)數(shù)表達(dá)式并推出其雙邊不等式為

2004年，匡繼昌［2］對(duì)Stirling公式做了進(jìn)一步推演:

并指出，經(jīng)常使用的n!近似估計(jì)式有:

文獻(xiàn)［3］、［5］、［6］也對(duì) Stirling公式進(jìn)行了論證:

在文獻(xiàn)［3］中還有如下結(jié)果為

在文獻(xiàn)［4］中有如下結(jié)果:

kk函數(shù)的最大值．

將Stirling公式再進(jìn)一步拓展，以期得到等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達(dá)式．

1 等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近

首先把Stirling公式中的自然數(shù)乘積n!=1·2…n拓展為等差數(shù)列乘積:

1．1 等差數(shù)列乘積的表達(dá)式

定理1 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

其中:

證明:根據(jù)Euler-Marclaurin公式，又由f(x)=ln x的n階導(dǎo)數(shù):

在［a，+∞)是絕對(duì)連續(xù)的，再取t=0，h=d，b=a+nd，又根據(jù)Bernoulli函數(shù)性質(zhì)中的Bk(0)=)，Bernoulli數(shù)中的 B2k+1=0，則取 r為某一奇數(shù)，有Br(0)=0．可得:

分別對(duì)(2)中的3個(gè)表達(dá)式變形得:

即證:

由于μ1(n)含有積分式，需要簡(jiǎn)化，有下面結(jié)果．可以作為當(dāng)?shù)炔顢?shù)列乘積的近似表達(dá)式的一個(gè)誤差估計(jì)．

證明:

將(10)，(11)代入(9)得:

同理，依次可以推得i個(gè)不等式，最后一個(gè)為:

將(12)(13)等i個(gè)不等式相加得:

由(7)，對(duì)(14)中k相加，得:

1．2 相關(guān)推論

為了將定理1的公式變成另一簡(jiǎn)潔形式．有下面推論1．

推論1 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

推論2 設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

證明:在定理1，2．2 中，對(duì)于:

由定理2推導(dǎo)過程的(15)，r=5，下式:

推論3設(shè)a ＞0，d ＞0，n∈N*，則:

有關(guān)a，d可取整數(shù)之外的其它任意正數(shù)，比如是小數(shù)或無理數(shù)，會(huì)得到大量代數(shù)式，其例子不再列舉．

因此，定理1推廣了n!估計(jì)式，拓展了Stirling公式的應(yīng)用范圍．

2 數(shù)值逼近表達(dá)式的實(shí)例檢驗(yàn)

對(duì)于推論3的數(shù)值逼近的精度，采用數(shù)學(xué)軟件:MATHEMATICA8．0，編寫程序檢驗(yàn)精確度．取:數(shù)值原值表達(dá)式:

相對(duì)誤差:H1=(A-B1)/A，H2=(A-B2)/A．

表1 數(shù)值逼近表達(dá)式B1中變量n對(duì)精度的影響

表1說明數(shù)值逼近表達(dá)式B1中，隨變量n的增大，相對(duì)誤差在增大，基本達(dá)到1/10000．

表2 數(shù)值逼近表達(dá)式B2中變量n對(duì)精度的影響

表2說明數(shù)值逼近表達(dá)式B2中，隨變量n的增大，相對(duì)誤差在增大，基本達(dá)到1/1014．

3 結(jié) 論

定理1中給出的等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達(dá)式，拓展了Stirling公式．在適用范圍方面是最寬泛的一個(gè)結(jié)果．

定理2中給出的等差數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達(dá)式的誤差估計(jì)表達(dá)式，是經(jīng)過較細(xì)致嚴(yán)密的縮放，因此數(shù)值精度在理論上有一個(gè)較優(yōu)的估計(jì)．

通過計(jì)算機(jī)編程驗(yàn)證，舉出實(shí)例說明文中結(jié)論可靠實(shí)用．對(duì)于如何精簡(jiǎn)近似表達(dá)式、提高數(shù)值逼近精度、推導(dǎo)其它類型數(shù)列乘積的數(shù)值逼近表達(dá)式將是繼續(xù)探索的方向．

Stirling公式在數(shù)學(xué)分析、數(shù)論、概率論及相關(guān)領(lǐng)域有著諸多的重要應(yīng)用，二項(xiàng)分布和超幾何分布的計(jì)算問題都可歸結(jié)為階乘的計(jì)算問題，在產(chǎn)品抽樣驗(yàn)收與(n，c)方案中有具體應(yīng)用．在數(shù)學(xué)物理方程、計(jì)算數(shù)學(xué)、工程數(shù)學(xué)應(yīng)用中的方程問題，通過運(yùn)用本結(jié)論給出的近似表達(dá)更為簡(jiǎn)潔．另外，在代數(shù)式推導(dǎo)過程中也有一定的重要應(yīng)用．按照文中思路，對(duì)冪指數(shù)列的數(shù)值逼近等具有推廣借鑒意義．

［1］ L．C．Hsu，LUOXiaonan．OnaTwo-sideInequalityInvolvingStirlingformula［J］．JournalofMathematicalresearchandexposition．1999，19(3)．

［2］ 匡繼昌．常用不等式［M］．3版，濟(jì)南:山東科技出版社．2004．

［3］ 楊必成．關(guān)于階乘的一些新不等式［J］．廣東教育學(xué)院學(xué)報(bào)，2002(2):1-4．

［4］ 謝子填．Stirling公式的一個(gè)推廣［J］．?dāng)?shù)學(xué)實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2006(6):331-333．

［5］ Stirling＇sFormula［DB/OL］．http://www．sosmath．com/calculus/sequence/stirling/stirling．html

［6］ Problem2-Stirling＇sFormula．1999，19(3)［EB/OL］．http://web．yl．is．s．u-tokyo．a(chǎn)c．jp/～ affeldt/examination/examination/node97．html．