均勻分布的一種合理的點估計

鄭昌紅

摘 要 本文先從一個實際問題出發(fā)，引出離散型均勻分布的參數(shù)估計的合理性，進而討論連續(xù)性均勻分布的參數(shù)估計的合理性，從而推出更一般的情況。

關(guān)鍵詞 參數(shù)估計 矩估計 均勻分布 無偏估計

中圖分類號：O212.1 文獻標(biāo)識碼：A

在二戰(zhàn)期間，德國坦克戰(zhàn)斗力優(yōu)于盟軍。為了知己知彼，了解德軍坦克數(shù)顯然可以幫助盟軍評估獲勝幾率和調(diào)整武器裝備。因此盟軍開始尋找方法進行推算，他們最后找到了重要線索。盟軍發(fā)現(xiàn)德軍墨守成規(guī)，每輛坦克都有一個獨特的序列號，序列號有一個模式，代表了坦克生產(chǎn)訂單，而且每個號碼不會重復(fù)。那么怎么樣根據(jù)繳獲的德軍坦克的編號來估計德軍坦克數(shù)量呢？

觀察整個問題，最終需要估計德軍坦克的數(shù)量，這個數(shù)量是一個未知參數(shù)，其估計值要通過繳獲的坦克編號得到。

設(shè)總體表示繳獲的坦克的編號，德軍坦克數(shù)為。顯然繳獲每一輛坦克都是等可能的，則的分布律為：（ = ） = ，（ = 1，2，…，）其中分布律中德軍坦克數(shù)為未知參數(shù)。

這種分布不如可以理解成離散型的隨機變量的均勻分布，即取得每個可能取值的可能性是一樣的。

這里我們先給出第一種常規(guī)方法求出未知參數(shù)的矩估計。

根據(jù)總體的分布律，只有一個未知參數(shù)，所以只需求出其數(shù)學(xué)期望：

由于隨機變量的可能取值為1，2，…，，顯然這個估計量不能保證估計出來的坦克數(shù)比繳獲的坦克編號中最大的大，所以用這個來估計坦克數(shù)不合理。合理的估計值一定要大于等于繳獲的坦克編號中最大的，也就是說我們關(guān)心的其實是取得的最大編號。為了滿足這個合理條件，我們通過編號最大值的分布來估計參數(shù)。

設(shè)總體表示繳獲坦克的編號的最大值，德軍坦克數(shù)為，繳獲的坦克數(shù)為，則的分布律為：

那么如何求呢？這要用到二項式系數(shù)的相關(guān)方法 。

顯然代數(shù)式 + + … + 中的系數(shù)為，經(jīng)過求和有 + + … + = ，所以其的系數(shù)即為分子的的系數(shù)，也就是說 = 。

進一步可以得到： = = = ，從而 = ，所以矩估計為：。

首先一定滿足估計值大于等于繳獲坦克編號的條件。其次這個結(jié)果可以理解成估計值等于最大編號加上平均遺失的編號。

二戰(zhàn)結(jié)束后，盟軍通過德軍遺留下來的資料發(fā)現(xiàn)，德國在1940年夏天到1942年秋天期間，每月生產(chǎn)坦克255輛。根據(jù)戰(zhàn)后獲得的德國內(nèi)部統(tǒng)計數(shù)字，坦克的真實生產(chǎn)速度是每月256輛，僅僅差了一輛，用統(tǒng)計方法估計出來的坦克數(shù)量與實際坦克數(shù)量如此驚人的相似。這個結(jié)果比剛開始動用傳統(tǒng)的情報收集方法：間諜活動、攔截和破譯軸心國通訊，審訊俘虜這些手段估計出來的結(jié)果要準(zhǔn)確得多。

這實際上是一個離散均勻分布的參數(shù)估計問題。自然我們想到連續(xù)性均勻分布的參數(shù)估計問題。

設(shè)隨機變量～（），其中為未知參數(shù)。很容易求出的極大似然估計為：，即用樣本的最小值和最大值分別來估計。但是顯然估計偏大， 估計偏小。

下面我們用一般的矩估計的方法求的估計量。

的概率密度函數(shù)為：

則，解得：

所以的矩估計量為：

此估計量與上面的例子類似的存在缺點：對樣本（，，…，），記 = （，，…，）， = （，，…，），顯然對任意樣本觀察值都有≤≤≤，所以上述矩估計不能保證的估計值小于最小的，的估計值大于最大的這個條件，也就是說這個估計量是不合理的。為了滿足合理性，我們更應(yīng)該關(guān)心樣本中的最大和最小值的情況。即，的情況。

由于，，…，相互獨立且同分布，設(shè)其分布函數(shù)為（），則

是，的線性組合，其估計的結(jié)果可以理解成：表示樣本的最小值減去樣本的平均距離，表示樣本的最大值加上樣本的平均距離，這個結(jié)果比起極大似然估計和一般的矩估計顯然更合理。

很容易證明分別是的無偏估計量，由文獻[3]還可以知道還是的一致最小方差無偏估計量。

由上面的討論，我們可以把這個問題推廣到更一般的情況。若隨機變量的可能取值范圍受未知參數(shù)的控制，那么我們用常規(guī)的點估計的方法估計出來的結(jié)果可能不合理，這時我們可以用類似于上述的方法對估計方法進行調(diào)整，使得估計量具有合理性。