任國(guó)強(qiáng)，尚明偉，潘秀麗

（1.南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)研究所，天津300071；2.天津理工大學(xué) 管理學(xué)院，天津300384）

一、引 言

相對(duì)剝奪一詞最先出現(xiàn)在Stouffer等（1949）的一篇文章中，他將一個(gè)人與比他成功的其他人比較時(shí)產(chǎn)生的失落感稱為相對(duì)剝奪，但是他既沒(méi)有給出剝奪正式的定義，也沒(méi)有給出具體測(cè)量方法。Runciman（1966）對(duì)相對(duì)剝奪做出了更加精確的描述，將相對(duì)剝奪定義如下：一個(gè)人感到剝奪要滿足四個(gè)條件：（1）他沒(méi)有X；（2）其他人在過(guò)去或者未來(lái)可以預(yù)期的某個(gè)時(shí)間里可以得到X；（3）他有得到X的欲望；（4）他認(rèn)為他理應(yīng)得到X。

自從Runciman給出相對(duì)剝奪概念以來(lái)，對(duì)相對(duì)剝奪的研究便成為社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域內(nèi)一個(gè)非常重要的研究課題，這些研究可以劃分為兩個(gè)層面：一個(gè)是如何測(cè)度相對(duì)剝奪；另一個(gè)是相對(duì)剝奪對(duì)其他產(chǎn)出變量的影響。這些產(chǎn)出變量可以分為四類（J.Smith等，2011）：（1）集體行為，主要包括社會(huì)沖突和暴亂等；（2）群間態(tài)度，包括政治政策、移民、對(duì)外來(lái)人員的偏見(jiàn)和對(duì)內(nèi)部人員身份的認(rèn)同等；（3）個(gè)體有導(dǎo)向的行為，包括行為不良、曠工、酗酒、腐敗和犯罪等；（4）對(duì)個(gè)體身心健康、沮喪與焦慮和自我評(píng)價(jià)的內(nèi)部反映。國(guó)內(nèi)有些學(xué)者雖然對(duì)這些變量進(jìn)行了研究，但是大多采用的是群體不平等指標(biāo)，例如基尼系數(shù)等，但是用群體不平等指標(biāo)可能會(huì)掩蓋微觀水平的誘因，盡管基尼系數(shù)可以看作是相對(duì)剝奪指數(shù)——Kakwani指數(shù)的加總，但是在實(shí)證分析時(shí)使用基尼系數(shù)做自變量會(huì)使相對(duì)剝奪較低的個(gè)體和相對(duì)剝奪較高的個(gè)體忍受不平等帶來(lái)的相同的負(fù)面影響，這一點(diǎn)無(wú)論從理論上還是直覺(jué)上都是站不住腳的，因此，微觀水平的分析只能采用微觀的不平等指標(biāo)——個(gè)體相對(duì)剝奪指數(shù)，而研究不平等的變動(dòng)趨勢(shì)、區(qū)域間和群體間不平等的比較等宏觀層面，則應(yīng)采用加總后的相對(duì)剝奪指數(shù)——不平等指數(shù)?？茖W(xué)合理的相對(duì)剝奪測(cè)度指標(biāo)對(duì)于研究相對(duì)剝奪對(duì)其他產(chǎn)出變量的影響有著至關(guān)重要的意義，可以影響其顯著性和影響程度，進(jìn)而影響相關(guān)政策的制定。目前比較有代表性的相對(duì)剝奪測(cè)度為：Yitzhaki指數(shù)、Kakwani指數(shù)、Podder指數(shù)和Esposito指數(shù)。Yitzhaki（1979）最早給出了相對(duì)剝奪的測(cè)度模型，他把收入作為測(cè)度相對(duì)剝奪的變量，認(rèn)為群內(nèi)只要存在比該個(gè)體收入高的個(gè)體，那么該個(gè)體就會(huì)感到被剝奪，大小用相應(yīng)的收入差距進(jìn)行度量，該個(gè)體在群內(nèi)所感到的相對(duì)剝奪為這些差距的加總再除以該群的樣本數(shù)，Yitzhaki還證明所有個(gè)體剝奪的加權(quán)平均等于絕對(duì)基尼系數(shù)；Kakwani（1984）、Chakravarty（1997）和Deaton（2001）等學(xué)者則認(rèn)為個(gè)體在一個(gè)群內(nèi)的相對(duì)剝奪應(yīng)該等于Yitzhaki指數(shù)除以該群的收入均值，Kakwani還給出了一種圖形化工具——相對(duì)剝奪曲線，該曲線以分位數(shù)為橫坐標(biāo)（收入按升序排列），該份額所對(duì)應(yīng)個(gè)體的相對(duì)剝奪為縱坐標(biāo)，相對(duì)剝奪曲線和兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積等于基尼系數(shù)；Podder（1996）認(rèn)為某個(gè)個(gè)體和收入比其高的其他個(gè)體比，所受到的相對(duì)剝奪大小應(yīng)該用收入對(duì)數(shù)的差距進(jìn)行度量，該個(gè)體在群內(nèi)所感到的相對(duì)剝奪為這些差距的加總再除以該群的樣本數(shù)；Esposito（2010）認(rèn)為個(gè)體i和收入比他高的個(gè)體j相比，其感到的相對(duì)剝奪等于個(gè)體j與個(gè)體i的收入之差再除以個(gè)體j的收入，在群內(nèi)所感受到的相對(duì)剝奪為上述剝奪的加總再除以該群的樣本數(shù)，和其他三個(gè)指數(shù)相比，Esposito指數(shù)才是真正意義上的相對(duì)剝奪測(cè)度。無(wú)論采用何種測(cè)度對(duì)象，也不論采用哪種指數(shù)，經(jīng)過(guò)計(jì)算后得到的個(gè)體相對(duì)剝奪指數(shù)可以被認(rèn)為是一種客觀存在，而不再是主觀感受，但是這兩者之間還是有著顯著的關(guān)聯(lián)關(guān)系，例如D’Ambrosio等 （2007）的實(shí)證分析結(jié)果表明相對(duì)剝奪和收入的主觀滿意度之間有著顯著的負(fù)相關(guān)關(guān)系。上述四個(gè)指數(shù)均是以全體社會(huì)成員作為參照群進(jìn)行研究的，沒(méi)有對(duì)參照群的概念給予足夠的關(guān)注。

但是，個(gè)體間進(jìn)行收入比較時(shí)，一個(gè)人往往是和與其具有某些共同特征的人比較，而不一定是一個(gè)社會(huì)的所有個(gè)體。Silber和Verme（2010）認(rèn)為在評(píng)價(jià)一個(gè)人在社會(huì)中的狀況時(shí)，該個(gè)體把他自己和所處環(huán)境與其類似的個(gè)體進(jìn)行比較，這里的環(huán)境，不僅指Frank（2007）所說(shuō)的“居住環(huán)境”，還可以是一個(gè)個(gè)體的“職業(yè)環(huán)境”或他的“家庭環(huán)境”（背景）等其他方面。總之，一個(gè)群體所共有的一些特征都可以用來(lái)作為確定參照群的標(biāo)準(zhǔn)，這種特征可以是種族、性別、教育水平（Eibner和Evans，2004），也可以是種族、年齡、社會(huì)階層、宗教信仰、政治價(jià)值觀以及地理區(qū)域（Bylsma和Major，1994）等。此外，F(xiàn)errer－i-Carbonell（2005）認(rèn)為和某個(gè)個(gè)體年齡相近、教育程度類似并且居住在同一區(qū)域內(nèi)的群體可以作為其參照群。

目前相對(duì)剝奪的研究主要集中在群內(nèi)的相對(duì)剝奪，當(dāng)考慮一個(gè)個(gè)體在其所在的某個(gè)參照群內(nèi)的相對(duì)剝奪時(shí)，學(xué)術(shù)界通常采用兩種方法：一是把現(xiàn)有的以全體社會(huì)成員為參照群的相對(duì)剝奪指數(shù)應(yīng)用于該參照群，不同的是該參照群中的個(gè)體比較的對(duì)象是該參照群中收入比他高的個(gè)體，而不是全體社會(huì)成員中收入比他高的個(gè)體；二是建立集成參照群的相對(duì)剝奪指數(shù)，這方面開(kāi)創(chuàng)性的工作可歸功于Ebert和Moyes（2000），他們假設(shè)任何一個(gè)人口的子集均可以作為一個(gè)參照群，該參照群中收入高于研究個(gè)體收入的所有個(gè)體構(gòu)成比較群，在此基礎(chǔ)上建立了集成參照群的相對(duì)剝奪模型，并探討了其滿足的公理化特征；Bossert和D’Ambrosio（2006）對(duì)參照群和比較群的定義做了明確的界定，他們認(rèn)為參照群包括所有和該個(gè)體比較的成員，而比較群則是這些成員中收入較高的群體構(gòu)成的子集，在參照群被固定和整個(gè)社會(huì)給定的條件下，在一個(gè)統(tǒng)一的框架內(nèi)給出了Yitzhaki指數(shù)的公理化特征，彌補(bǔ)了Ebert和Moyes（2000）方法的不足；Silber和Verme（2010和2012）也嘗試在測(cè)度相對(duì)剝奪時(shí)集成參照群的思想。

但是在現(xiàn)實(shí)中一個(gè)人感受到的剝奪不僅來(lái)自自己所在的參照群內(nèi)部，也來(lái)自于和其他群體的比較，例如藍(lán)領(lǐng)和白領(lǐng)的比較、農(nóng)村居民和城鎮(zhèn)居民比較、非壟斷行業(yè)員工和壟斷行業(yè)員工的比較等。Runciman（1966）也沒(méi)有把相對(duì)剝奪的概念局限于一個(gè)參照群內(nèi)，他認(rèn)為一個(gè)個(gè)體本身屬于一個(gè)群，但是進(jìn)行比較的卻可能是另外的群。但是，到目前為止對(duì)不同群間相對(duì)剝奪研究的文獻(xiàn)卻比較稀少，Martín和Olmedo（2007）把Yitzhaki指數(shù)推廣到不同群之間，并把一個(gè)群內(nèi)的絕對(duì)剝奪分解為子群內(nèi)部和子群間絕對(duì)剝奪的加總；洪興建（2008）在研究基尼系數(shù)子群分解時(shí)也曾給出了群間相對(duì)剝奪的測(cè)度公式；任國(guó)強(qiáng)等（2011）采用推廣Kakwani指數(shù)的方法，克服了洪興建（2008）的缺陷。

盡管群間的相對(duì)剝奪已經(jīng)有了一定的研究進(jìn)展，但仍在以下方面有待進(jìn)行改進(jìn)。首先，現(xiàn)有研究沒(méi)有把參照群的思想集成到群間剝奪的測(cè)度模型中，造成群內(nèi)剝奪測(cè)度和群間剝奪測(cè)度分別是在不同的框架下進(jìn)行，沒(méi)有形成統(tǒng)一的分析框架；其次，已有研究只是解決了群間剝奪測(cè)度的一個(gè)方面，即構(gòu)造一個(gè)群間剝奪測(cè)度，然后分析該測(cè)度的性質(zhì)，沒(méi)有給出一個(gè)函數(shù)滿足哪些公理就是我們給出的群間剝奪測(cè)度的證明，即只證明了群間剝奪測(cè)度充分必要條件中的必要條件；再次，現(xiàn)有群間剝奪的出發(fā)點(diǎn)都是基尼系數(shù)的子群分解，偏重于群內(nèi)剝奪和群間剝奪形式的一致性、群間剝奪的正規(guī)性和是否為真正意義上的加權(quán)平均等方面，但是群間剝奪除了應(yīng)用于基尼系數(shù)子群分解外，還有一個(gè)重要的目的是研究降低群間收入差距的措施，從而提出科學(xué)的、可操作性的政策建議，因此有必要對(duì)加總后的群間剝奪的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步深入研究。

本文的主要目的是把Kakwani方法擴(kuò)展到不同的群體，使不同群體間的個(gè)體能夠進(jìn)行比較。這樣就能夠獲得屬于某個(gè)群的個(gè)體相對(duì)于另一個(gè)群中所有個(gè)體的相對(duì)剝奪，進(jìn)一步可得到一個(gè)群相對(duì)于另一個(gè)群的相對(duì)剝奪，并可深入分析群間剝奪的性質(zhì)，而Kakwani指數(shù)只是兩個(gè)群的收入變量具有相同分布情況下的一個(gè)特例。群內(nèi)和群間的個(gè)體剝奪可應(yīng)用于確定相對(duì)剝奪對(duì)諸如健康、遷移、不良習(xí)慣和消費(fèi)等指標(biāo)的影響，而群間相對(duì)剝奪則是分析降低群間收入差距的一個(gè)重要工具。本文在已有研究的基礎(chǔ)上，首先通過(guò)構(gòu)造一個(gè)個(gè)體在另一個(gè)群中的比較群，建立集成參照群思想的相對(duì)剝奪測(cè)度的統(tǒng)一分析框架，得到個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度，分析了該個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度滿足的一系列性質(zhì)，并證明如果一個(gè)函數(shù)滿足聚焦性公理、加和可分解性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理和正規(guī)化公理，則該函數(shù)就是我們給出的個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度，在此框架下現(xiàn)有的群內(nèi)相對(duì)剝奪只是個(gè)體所在群和參照群相同時(shí)的一個(gè)特例；其次，在個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度的基礎(chǔ)上，我們得到了個(gè)體相對(duì)剝奪測(cè)度，通過(guò)拓展Kakwani理論，繪制了不同群間的相對(duì)剝奪曲線；再次，在前面研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步給出加總后的群間相對(duì)剝奪的性質(zhì)；最后，利用CGSS2008數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證分析。

二、參照群、群間個(gè)體絕對(duì)剝奪及其公理化特征

（一）符號(hào)說(shuō)明。設(shè)R（R＋）代表所有的實(shí)數(shù)（正實(shí)數(shù)）。為每個(gè)分量均為正值的n維向量空間，In是n維單位向量。設(shè)X、Y是兩個(gè)群，樣本數(shù)分別為，這兩個(gè)群對(duì)應(yīng)的收入向量分別為其中xi，yj分別為X中個(gè)體i和Y中個(gè)體j的收入，i∈N，j∈M，我們假設(shè)對(duì)于Y中任何一個(gè)個(gè)體k，其參照群為X，其比較群為X中收入高于yk的個(gè)體，則Bk（x）＝Bk（X）＝即為Y中個(gè)體k的比較群。我們令Min（Y）為群Y中的最低收入，Max（X）為群X中的最高收入，則為X中收入比Y中最低收入還要低的個(gè)體構(gòu)成的集合是Y中收入比X中最高收入還要高的個(gè)體構(gòu)成的集合。任給，N的一個(gè)子集K，向量x的定義如下：

對(duì)于任意i∈N，有

（二）集成參照群的群間個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度及其性質(zhì)。根據(jù)Runciman（1966）、Yitzhaki（1979）和任國(guó)強(qiáng)等（2011）的相關(guān)定義，我們給出屬于不同群的兩個(gè)個(gè)體間的剝奪的定義。

定義1：設(shè)X、Y是兩個(gè)群，xi是X中個(gè)體i的收入，yk是Y中個(gè)體k的收入。則X中個(gè)體i對(duì)Y中個(gè)體k的剝奪為：

由定義可得，如果xi＞yk，則X中個(gè)體i對(duì)Y中個(gè)體k的剝奪為xi-yk，否則為0。

由于X是群Y中個(gè)體k的參照群，個(gè)體k和群X中收入高于他的個(gè)體相比都會(huì)產(chǎn)生剝奪，根據(jù)已有文獻(xiàn)的通常做法，計(jì)算群X中每個(gè)個(gè)體與Y中個(gè)體k的剝奪，并對(duì)群X中的所有個(gè)體求和，然后除以群X的樣本數(shù)n，得到群X對(duì)群Y中個(gè)體k的絕對(duì)剝奪AD（x，yk）為：

根據(jù)公式（3），我們可以很容易地求出群X對(duì)群Y中任何一個(gè)個(gè)體的絕對(duì)剝奪。

群X對(duì)群Y中個(gè)體k的絕對(duì)剝奪AD（x，yk）是群X的收入分布x和群Y中某個(gè)個(gè)體收入yk的函數(shù)，它具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：①證 明見(jiàn)任國(guó)強(qiáng)（2011），Martín和 Olmedo（2007）。在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中收入的嚴(yán)格遞減函數(shù)，即對(duì)任意k，l∈M，如果yk＞yl，則AD（x，yk）＜AD（x，yl）。

性質(zhì)2：②證明見(jiàn)Martín和Olmedo（2007），在其證明中，采用的是連續(xù)的收入分布，AD（x，yk）對(duì)yk的二階導(dǎo)數(shù)等于yk在X中的密度函數(shù)，所以大于0，即在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中收入的嚴(yán)格凹函數(shù)。在x保持不變的條件下，AD（x，yk）是群Y中個(gè)體收入的嚴(yán)格凹函數(shù)。

性質(zhì)3：AD（x，yk）是非負(fù)的，如果群Y中某個(gè)個(gè)體的收入比X中的最高收入都高，則群X對(duì)該個(gè)體的剝奪為0。

因?yàn)閷?duì)任意一對(duì)xi和yk，ADXY（xi，yk）都≥0，所以AD（x，yk）是非負(fù)的。如果MaxY（X）≠Φ，即至少存在一個(gè)k∈M使得yk∈MaxY（X），則對(duì)X中任意一個(gè)個(gè)體i的收入xi，都有xi＜yk，所以ADXY（xi，yk）＝0，1≤i≤n；進(jìn)而可得AD（x，yk）＝0。

性質(zhì)4：AD（x，yk）只與X中收入高于yk的個(gè)體有關(guān)，與低于yk的個(gè)體無(wú)關(guān)。

性質(zhì)4在很多文獻(xiàn)中被稱為焦點(diǎn)（Focus）公理，其嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義的表述如下：任給兩個(gè)樣本數(shù)為n的群X、Z，其收入分布為如果＝Bk（Z），且對(duì)于i∈Bk（X）都有yi＝zi，那么就有AD（x，yk）＝AD（z，yk）。

性質(zhì)5和性質(zhì)6說(shuō)明X中個(gè)體收入的變化如何影響AD（x，yk）。

性質(zhì)5：群X中收入高于yk的任何一個(gè)個(gè)體收入的增加，都會(huì)使AD（x，yk）增加；X中收入高于yk的任何一個(gè)個(gè)體收入的減少，都會(huì)使AD（x，yk）減少。

性質(zhì)6：群X中收入低于yk的任何一個(gè)個(gè)體收入的增加，只要增加后的收入不超過(guò)yk，AD（x，yk）就不變；X中收入低于yk的任何一個(gè)個(gè)體收入的減少，AD（x，yk）都不變。

性質(zhì)7和性質(zhì)8說(shuō)明群X中個(gè)體的收入轉(zhuǎn)移對(duì)AD（x，yk）的影響。

性質(zhì)7：群X中收入高于yk的兩個(gè)個(gè)體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個(gè)個(gè)體的收入仍都高于yk，則AD（x，yk）不變；群X中收入低于yk的兩個(gè)個(gè)體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個(gè)個(gè)體的收入仍都低于yk，則AD（x，yk）不變。

性質(zhì)8：群X中收入高于yk的個(gè)體向收入低于yk的個(gè)體進(jìn)行收入轉(zhuǎn)移，AD（x，yk）減少。

性質(zhì)9和性質(zhì)10說(shuō)明如果群X中所有個(gè)體的收入和群Y中個(gè)體k的收入yk，都發(fā)生同一程度的變化，AD（x，yk）如何變化。

性質(zhì)9：如果群X中所有個(gè)體i的收入xi和群Y中個(gè)體k的收入yk都增加一個(gè)相同的數(shù)值，則AD（x，yk）不變。

性質(zhì)9在很多文獻(xiàn)中被稱為平移不變性（Translation invariance）公理，Bossert和D’Ambrosio（2006）給出的嚴(yán)格數(shù)學(xué)意義的表述如下：對(duì)所有使得成立的，都有AD（x＋δ×In，yk＋δ）＝AD（x，yk）。

因?yàn)閷?duì)群X中任何一個(gè)個(gè)體i，都有ADXY（xi＋δ，yk＋δ）＝ADXY（xi，yk），所以性質(zhì)9成立。但是，如果δ∈R為負(fù)值，那么可能存在，使得x＋δ×In的某些分量小于0，不滿足其的假設(shè)，因此，上述平移不變性公理是有條件限制的，為了使平移不變性公理對(duì)所有都成立，我們對(duì)Bossert和D’Ambrosio（2006）的不變性公理進(jìn)行了如下擴(kuò)展：

因?yàn)閷?duì)群X中任何一個(gè)個(gè)體i，如果xi＞yk，則xi＋δ＞yk＋δ，此時(shí)ADXY（xi＋δ，yk＋δ）＝ADXY（xi，yk），如果xi＜yk，則不管zi＞0或zi＝0，都有zi＜yk＋δ，所以ADXY（zi，yk＋δ）＝0，而此時(shí)ADXY（xi，yk）＝0，所以有AD（x＋δ×In，yk＋δ）＝AD（x，yk），也就是AD（z，yk＋δ）＝AD（x，yk）。

性質(zhì)10：①性質(zhì)10在很多文獻(xiàn)中被稱為線性齊次性（Linear homogeneity）。如果群X中所有個(gè)體的收入和群Y中個(gè)體k的收入都按同一比例變化，則AD（x，yk）也按同一比例變化。即對(duì)任意，λ∈R＋有

（三）群間個(gè)體絕對(duì)剝奪的公理化特征。集成參照群思想的個(gè)體絕對(duì)剝奪測(cè)度模型研究文獻(xiàn)主要有二，一是Ebert和 Moyes（2000）給出，二是Bossert和D’Ambrosio（2006）給出。兩者的一個(gè)重大區(qū)別就是參照群選取不同，由此帶來(lái)的個(gè)體絕對(duì)剝奪的公理化特征無(wú)論是個(gè)數(shù)還是內(nèi)涵都有很大的區(qū)別。Bossert和D’Ambrosio（2006）認(rèn)為對(duì)其選擇的參照群，個(gè)體獨(dú)立性和匿名性并非需要，加和可分解性的內(nèi)涵也大有不同，加和可分解性是一種分離性質(zhì)，Ebert和Moyes（2000）稱之為加性分解，其假定在收入分配保持不變的情況下，如果參照群被分為兩個(gè)子群，則相對(duì)于該參照群的個(gè)體絕對(duì)剝奪等于相對(duì)于被分解成的兩個(gè)子群的個(gè)體絕對(duì)剝奪的加總。顯然，如果參照群是固定的而且是由整個(gè)社會(huì)給出的，除了退化的情況外，加性公理是不成立的。Bossert和D’Ambrosio（2006）的解決辦法是：如果一個(gè)個(gè)體k的比較群被分為兩個(gè)子群，則由原先的收入分配可以得到兩個(gè)新的收入分配，令這兩個(gè)收入分配中屬于其他子群的個(gè)體的收入都等于個(gè)體k的收入yk，其他收入不變，然后對(duì)這兩個(gè)收入分配應(yīng)用可加性。他們的做法雖然存在一定的合理性，但是其將收入分配中屬于其他子群的個(gè)體的收入強(qiáng)行改為yk的做法，缺乏科學(xué)依據(jù)。

那么，如何定義加和可分解性公理才合理呢？我們?cè)噲D先對(duì)AD（x，yk）滿足的分解性質(zhì)進(jìn)行分析，然后通過(guò)分析得到的公式，反過(guò)來(lái)定義加和可分解性公理。

考慮個(gè)體絕對(duì)剝奪的公理化特征時(shí)，有一個(gè)公理是必須包含的，這個(gè)公理就是正規(guī)化公理。本文采用的正規(guī)化公理和Bossert和D’Ambrosio（2006）的類似，但是由于本文考慮的是不同群間的相對(duì)剝奪，因此對(duì)被參照的個(gè)體要明確指定其收入為0。進(jìn)而本文使用的正規(guī)化公理如下：對(duì)于收入分配x，當(dāng)存在個(gè)體j使得xj＝1且對(duì)任意i∈N，i≠j都有xi＝0時(shí)，AD（x，0）＝1／n。有了上述準(zhǔn)備，我們可以得到如下定理：

定理1：一個(gè)個(gè)體剝奪指數(shù)D（x，yk）滿足聚焦性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理、正規(guī)化公理及加和可分性公理的充分必要條件是D（x，yk）＝AD（x，yk）

證明：當(dāng)D（x，yk）＝AD（x，yk）時(shí)，很容易可證該指數(shù)滿足以上公理。反向證明如下：

假設(shè)D（x，yk）是滿足以上公理化特征的個(gè)體剝奪指數(shù)，考慮如下分布 （xjIn，其中xj＞yk，即該分布中除了第j個(gè)個(gè)體外，其他個(gè)體的收入都為0，即根據(jù)平移不變性公理，令δ＝-yk則有：

個(gè)體絕對(duì)剝奪指數(shù)盡管有很多良好的性質(zhì)，但也有很多缺點(diǎn)：（1）由于個(gè)體絕對(duì)剝奪沒(méi)有一個(gè)明確的范圍界限，我們很難根據(jù)一個(gè)個(gè)體絕對(duì)剝奪的數(shù)值對(duì)其剝奪程度給出一個(gè)明確的評(píng)價(jià)；（2）個(gè)體絕對(duì)剝奪指數(shù)是有量綱的，而且取值不在［0，1］，因此不能用于多維剝奪的加總過(guò)程；（3）個(gè)體絕對(duì)剝奪不僅對(duì)樣本數(shù)目敏感，也對(duì)收入規(guī)模敏感，例如所有樣本的收入增加一倍，個(gè)體的絕對(duì)剝奪也增加一倍，這一點(diǎn)明顯與實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)不符，當(dāng)把個(gè)體絕對(duì)剝奪指數(shù)應(yīng)用于不同社區(qū)、不同時(shí)間比較時(shí)，這一點(diǎn)尤其要引起注意（Eibner和Evans，2005；Lhila和Simon，2010）。因此，有必要在個(gè)體絕對(duì)剝奪指數(shù)的基礎(chǔ)上，得到性質(zhì)更佳的相對(duì)剝奪測(cè)度。

三、群間個(gè)體相對(duì)剝奪測(cè)度及相對(duì)剝奪曲線

（一）個(gè)體相對(duì)剝奪測(cè)度的定義和性質(zhì)。

證明：?j∈Bk（x），都有xj-yk≤xj，當(dāng)且僅當(dāng)yk＝0時(shí)等號(hào)成立，所以ADx，yk（ ）＝

當(dāng)群X和群Y是同一個(gè)群時(shí)，RD（x，yk）就是傳統(tǒng)意義上的Kakwani指數(shù)。根據(jù)公式（3）我們可以給出個(gè)體相對(duì)剝奪的一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算公式：

為了和傳統(tǒng)的相對(duì)剝奪的概念相一致，群X對(duì)群Y中個(gè)體k的個(gè)體相對(duì)剝奪）也記為，這個(gè)記號(hào)的一個(gè)好處是我們可以認(rèn)為群X的維數(shù)是可變的，RD具有如下性質(zhì)：

性質(zhì)1：在群X保持不變的條件下，RD（X，yk）是群Y中收入的嚴(yán)格遞減函數(shù)，即如果yk＞yl，則RD（X，yk）＜RD（X，yl）。

性質(zhì)2：RD（X，yk）取值范圍在0和1之間，而且無(wú)量綱。

性質(zhì)3：如果群Y中某個(gè)個(gè)體的收入比X中的最高收入都高，則群X對(duì)該個(gè)體的相對(duì)剝奪為0。

性質(zhì)4：RD（X，yk）滿足規(guī)模不變性，即如果群X中所有個(gè)體i的收入xi和群Y中個(gè)體k的收入yk都按同一比例變化，則RD（X，yk）不變。

性質(zhì)5：群X中收入高于yk的兩個(gè)個(gè)體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個(gè)個(gè)體的收入仍都高于yk，則RD（X，yk）不變；群X中收入低于yk的兩個(gè)個(gè)體間的收入轉(zhuǎn)移，只要轉(zhuǎn)移后兩個(gè)個(gè)體的收入仍都低于yk，則RD（X，yk）也不變。

但是個(gè)體絕對(duì)剝奪的很多重要性質(zhì)，個(gè)體相對(duì)剝奪RD（X，yk）卻不一定具備，如RD（X，yk）不一定是凹函數(shù)；它不僅與X中收入高于yk的個(gè)體有關(guān)，也與收入低于yk的個(gè)體有關(guān)，其中收入低于yk的個(gè)體對(duì)RD（X，yk）的影響主要是通過(guò)μX來(lái)實(shí)現(xiàn)的；此外個(gè)體相對(duì)剝奪不再滿足平移不變公理和線性其次性公理等。但是，由于其取值在0和1之間、無(wú)量綱、規(guī)模不變性等性質(zhì)，以及良好的圖形表現(xiàn)工具，在實(shí)證分析中還是得到了廣泛應(yīng)用。

（二）群間個(gè)體相對(duì)剝奪曲線。Kakwani（1984）給出的個(gè)體相對(duì)剝奪測(cè)度只是我們?nèi)洪g個(gè)體相對(duì)剝奪的一個(gè)特殊情況（兩個(gè)群相同），下面我們要對(duì)Kakwani（1984）的相對(duì)剝奪曲線繪制方法進(jìn)行擴(kuò)展，給出群內(nèi)相對(duì)剝奪曲線和群間相對(duì)剝奪曲線的一個(gè)統(tǒng)一的分析框架。

設(shè)X，Y是兩個(gè)收入群，群X的均值為μX，概率密度函數(shù)為dy為其概率分布函數(shù)；群Y的均值為μY，概率密度函數(shù)為為其概率分布函數(shù)，群Y中一個(gè)個(gè)體的收入為y0，根據(jù)Martín和Olmedo（2007）的結(jié)果，群X對(duì)群Y中收入為y0的個(gè)體的絕對(duì)剝奪可以寫(xiě)成：

則群X對(duì)群Y中收入為y0的個(gè)體的相對(duì)剝奪即為：

令p為分位數(shù)，則0＜p＜1，與p對(duì)應(yīng)的群Y中個(gè)體收入為yp，則p＝F2（yp），那么，代入（8）式有：

我們稱（9）式為群X對(duì)群Y中分位數(shù)p的相對(duì)剝奪，記為RD（X，p），這樣給定群Y中的一個(gè)分位數(shù)p，我們就可以得到群X對(duì)p的相對(duì)剝奪RD（X，p），把這些點(diǎn)描繪在以分位數(shù)為橫軸、以相對(duì)剝奪為縱軸的坐標(biāo)平面上，就可以得到群X對(duì)群Y中個(gè)體的相對(duì)剝奪曲線。Kakwani給出的相對(duì)剝奪曲線是我們給出方法當(dāng)群X和群Y是同一個(gè)群即F1＝F2＝F時(shí)的一個(gè)特例，所以（9）式就可寫(xiě)成：

RD（X，p）＝（1-L（p））-（F-1（p）／μX）（1-p），這里函數(shù)L（p）代表洛倫茲曲線，滿足：（1）p＝0，L（p）＝0；（2）p＝1，L（p）＝1；（3）（dL（p）／dp）＝y(tǒng)p／μX；（4）（d2L（p）／dp2）＝1／f（yp）。所以

（10）式即為Kakwani（1984）給出的個(gè)體相對(duì)剝奪的計(jì)算公式，通過(guò)相對(duì)剝奪曲線，可以給出相對(duì)剝奪隨分位數(shù)變化的一個(gè)直觀認(rèn)識(shí)。相對(duì)剝奪曲線具有以下特點(diǎn)：

（1）相對(duì)剝奪曲線是向右下方傾斜的一條曲線，但不是嚴(yán)格單調(diào)下降的，因?yàn)閷?duì)應(yīng)不同的分位數(shù)p，其對(duì)應(yīng)的收入可能是相同的；

（2）當(dāng)p＝0時(shí)，RD（X，p）不一定等于1，因?yàn)槿绻篩中的最低收入不等于0，則群X對(duì)該收入的相對(duì)剝奪一定小于1；同樣，當(dāng)p＝1時(shí)，RD（X，p）也不一定等于0，因?yàn)槿篨中可能存在某些個(gè)體其收入比群Y的最高收入還要高。但是，如果X＝Y(jié)，則有p＝1，RD（X，p）＝0。

（3）相對(duì)剝奪曲線的陡峭程度取決于兩個(gè)量：一是分位數(shù)p，二是概率密度函數(shù)f（x）。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)我們以群X和群Y為同一群這一特殊情況加以證明，因?yàn)椋篟D（X，p）＝（1-L（p））-（dL（p）／dp）（1-p），所以dRD（X，p）／dp＝-（dL（p）／dp）-（d2L（p）／dp2）（1-p）＋（dL（p）／dp）＝-（d2L（p）／dp2）（1-p）＝-（1-p）／f（x）。

因此，如果p越小，f（x）越小，則dRD（X，p）／dp的絕對(duì)值越大，相對(duì)剝奪曲線越陡峭。

雖然，給了個(gè)體相對(duì)剝奪函數(shù)RD（X，p），我們就可以繪出相對(duì)剝奪曲線，但是實(shí)際繪制時(shí)往往不是采用RD（X，p），而是按下述步驟來(lái)進(jìn)行：

（1）將群Y中所有個(gè)體按照收入遞增的順序排列；

（2）對(duì)群Y中的個(gè)體進(jìn)行分組，找出每個(gè)分位數(shù)pi（可以是百分位或十分位），對(duì)應(yīng)的個(gè)體的序號(hào)ki，然后根據(jù)序號(hào)找到其對(duì)應(yīng)的收入yki；

四、群間總體剝奪及其性質(zhì)

對(duì)群內(nèi)所有個(gè)體的相對(duì)剝奪進(jìn)行加權(quán)平均就得到一個(gè)群的總體相對(duì)剝奪，這個(gè)做法把一些不平等指數(shù)和個(gè)體相對(duì)剝奪建立起密切的聯(lián)系，使得不平等指數(shù)有了其微觀基礎(chǔ)，對(duì)于加總的權(quán)重大多數(shù)文獻(xiàn)采用的是等權(quán)重的方法，即如果一個(gè)全體有n個(gè)樣本，則每個(gè)樣本的權(quán)重就是1／n，例如Yitzhaki指數(shù)采用等權(quán)重進(jìn)行加總得到絕對(duì)基尼系數(shù)，Kakwani指數(shù)采用等權(quán)重進(jìn)行加總得到基尼系數(shù)，Imedio－Olmedo等（2011）定義了兩個(gè)個(gè)體剝奪指數(shù)，并證明這兩個(gè)個(gè)體剝奪指數(shù)采用等權(quán)重進(jìn)行加總得到的總體剝奪分別為不平等指數(shù)絕對(duì)Bonferroni指數(shù)和絕對(duì)DeVergottini指數(shù)，而Cowell等（2004）則分析了個(gè)體相對(duì)剝奪的三種情況：BOP（和收入最高者相比）、AVE（和均值相比）和ATBO（和收入比他高的人相比），并采用不同的權(quán)重定義了加總后的不平等指數(shù)。根據(jù)上述研究文獻(xiàn)采用等權(quán)重方法對(duì)Y中所有元素yk相對(duì)于群X受到的剝奪RD（X，yk）取算術(shù)平均，得到群X對(duì)群Y的相對(duì)剝奪：

定理3：（任國(guó)強(qiáng)，2011）RD（X，Y），RD（Y，X）均小于1。

定理4：給了我們一個(gè)計(jì)算群X對(duì)群Y的相對(duì)剝奪RD（X，Y）和群Y對(duì)群X的相對(duì)剝奪RD（Y，X）的便捷方法，也即：

而且，當(dāng)μX＝μY時(shí)，RD（X，Y）＝RD（Y，X）。

定理5：如果群X和群Y是分離的，即MinX（）＞MaxY（），則有RD（X，Y）＝1-（μY／μX），RD（Y，X）＝0。

證明：如果MinX（）＞MaxY（），則有μX-μY，所以RD（X，Y）＝1-（μY／μX），RD（Y，X）＝0。

定理6：RD（X，Y）＝RD（Y，X）的充分必要條件為μX＝μY；RD（X，Y）＞RD（Y，X）的充分必要條件為μX＞μY。

根據(jù)ΔXY的定義，有，該等式成立除非所有yj＝0，j＝1，2，…，m，所以，如果μX＝μY，則有RD（X，Y）＝RD（Y，X），反之，如果RD（X，Y）＝RD（Y，X），則有μX＝μY；如果μX＞μY，則有RD（X，Y）＞RD（Y，X），反之如果RD（X，Y）≥RD（Y，X），則有μX≥μY，RD（X，Y）＝RD（Y，X）的充分必要條件為μX＝μY；RD（X，Y）＞RD（Y，X）的充分必要條件為μX＞μY。

定理5、定理6表明，群間相對(duì)剝奪和兩個(gè)群樣本的均值有一定的關(guān)系，即如果兩個(gè)群樣本的均值相等，則這兩個(gè)群的群間相對(duì)剝奪也相等，反過(guò)來(lái)也成立；如果一個(gè)群樣本的均值大于另一個(gè)群樣本的均值，則均值高的群對(duì)均值低的群的剝奪大于均值低的群對(duì)均值高的群的剝奪，反過(guò)來(lái)也成立。把群X和群Y的群間的收入差距分解為X對(duì)Y的相對(duì)剝奪RD（X，Y）和Y對(duì)X的相對(duì)剝奪RD（Y，X）兩個(gè)指標(biāo)，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。如果μX≥μY，則RD（X，Y）反映了兩個(gè)群間的差異，而RD（Y，X）則反映了兩個(gè)群間的交錯(cuò)情況；如果兩個(gè)群是分離的，則RD（Y，X）＝0，假如有兩個(gè)群Y1和Y2，它們的均值相等，即，根據(jù)群X與群群Y1和Y2的分離狀況，群間相對(duì)剝奪的結(jié)果也是不一樣的，假如群X與群Y1分離，群X與群Y2交錯(cuò)，則，而RD（Y1，X）＝0，RD（Y2，X）＞0，這一結(jié)果是采用均值比較來(lái)分析群間差距所不能得出的。

政府收入分配政策的一個(gè)重要目標(biāo)是降低不同群體間的收入差距，特別是壟斷行業(yè)和非壟斷間的收入差距，那么哪些措施能夠降低不同群間的收入差距呢？下面就進(jìn)行具體的分析。

定理7：假設(shè)群X和群Y的均值分別為μX和μY，μX＞μY，則提高低收入群體Y中個(gè)體收入的任何措施，都會(huì)降低群X對(duì)群Y的相對(duì)剝奪。

除了提高低收入群體的收入可以達(dá)到降低群間的收入差距外，還有一種措施可以達(dá)到降低群間收入差距的目的，那就是改變低收入群體的收入分配狀況。這一點(diǎn)雖然現(xiàn)在不能給出證明，但可以通過(guò)一個(gè)例子加以說(shuō)明。

假設(shè)群X中有一個(gè)個(gè)體，收入為10 000，群Y中有兩個(gè)個(gè)體收入分別為12 000和6 000，則μX＞μY，假如我們對(duì)群Y的收入分布做如下改變：高收入者收入降低1 000，低收入者收入增加1 000，這樣得到的收入集合為Y0。顯然，Y0的分配狀況比Y要好，而且；但是，RD（X，Y）＝0.2，RD（X，Y0）＝0.15。這樣就通過(guò)調(diào)節(jié)低收入者的收入分配狀況，達(dá)到了降低群間收入差距的目的。這個(gè)結(jié)論也不是使用兩個(gè)群的均值比作為度量群間收入差距的方法所能得出的。

定義3：如果RD（X，Y）≥RD（Y，X），則稱群X對(duì)群Y相對(duì)剝奪占優(yōu)，或群X相剝奪占優(yōu)群Y，記為X≥RDY。

定理8：群間的相對(duì)剝奪關(guān)系是一個(gè)偏序關(guān)系。

說(shuō)明：（1）當(dāng)X＝Y(jié)時(shí)，RD（X，Y）＝RD（Y，X）＝GX＝GY，其中：GX和GY分別為群 X和群Y的基尼系數(shù)，所以群間的相對(duì)剝奪關(guān)系滿足自反性；（2）當(dāng)X≠Y時(shí)，如果群X對(duì)群Y相對(duì)剝奪占優(yōu)，則有RD（X，Y）＞RD（Y，X），那么，群Y不對(duì)群X相對(duì)剝奪占優(yōu)；所以，群間的相對(duì)剝奪關(guān)系滿足反對(duì)稱性；（3）如果群X對(duì)群Y相對(duì)剝奪占優(yōu)，群Y對(duì)群Z相對(duì)剝奪占優(yōu)，則有RD（X，Y）≥RD（Y，X），RD（Y，Z）≥RD（Z，Y），根據(jù)定理6可知μX≥μY，μY≥μZ，所以μX≥μZ，再根據(jù)定理6可知RD（X，Z）≥RD（Z，X）；所以，群間的相對(duì)剝奪關(guān)系滿足傳遞性。一個(gè)關(guān)系如果滿足自反性、反對(duì)稱性和傳遞性，則該關(guān)系就是偏序關(guān)系。所以群間的相對(duì)剝奪關(guān)系是偏序關(guān)系。

定理9：群間的相對(duì)剝奪RD（X，Y）滿足線性齊次性。

證明：假設(shè)λ＞0，由于當(dāng)群X和群Y中每個(gè)個(gè)體的收入都變?yōu)樵瓉?lái)的λ倍時(shí)，則其均值也變?yōu)樵瓉?lái)的λ倍，且

定理10：群間相對(duì)剝奪RD（X，Y）滿足加和可分解性。即對(duì)所有的X1，X2?X，使得并且，那么

證明：根據(jù)群X對(duì)群Y中個(gè)體k的加和可分性可得，所以

定理11：群間的相對(duì)剝奪RD（X，Y）滿足焦點(diǎn)性公理，即RD（X，Y）與X中收入比Y中最低收入還低的個(gè)體無(wú)關(guān)，也與Y中收入比X中最高收入還高的個(gè)體無(wú)關(guān)，也即RD（X，Y）＝RD（X-MinX（Y），Y-MaxY（X））

證明：當(dāng)i∈MinX（Y），?yk∈Y，都有ADXY（xi，yk）＝0，所以RD（X，Y）與X中收入比Y中最低收入還低的個(gè)體無(wú)關(guān)；當(dāng)k∈MaxY（X）時(shí)，?xi∈X，都有ADXY（xi，yk）＝0，所以RD（X，Y）與Y中收入比X中最高收入還高的個(gè)體無(wú)關(guān)。

五、實(shí)證分析

（一）數(shù)據(jù)。本文所用數(shù)據(jù)來(lái)自CGSS2008全國(guó)調(diào)查數(shù)據(jù)，該調(diào)查樣本包含27個(gè)省市的6 000個(gè)個(gè)體，其中城鎮(zhèn)數(shù)據(jù)3 982個(gè)，農(nóng)村數(shù)據(jù)2 118個(gè)。剔除樣本中年職業(yè)收入、職業(yè)外收入指標(biāo)值為不知道、拒絕回答和不適用的個(gè)體，最終剩余符合要求的城鎮(zhèn)數(shù)據(jù)2 980個(gè)、農(nóng)村數(shù)據(jù)1 690個(gè)。本文中將區(qū)域指標(biāo)為城鎮(zhèn)的所有樣本個(gè)體集合設(shè)為群U，將區(qū)域指標(biāo)為農(nóng)村的所有樣本個(gè)體集合設(shè)為群R。將兩個(gè)群中分別按年人均收入的遞增順序?qū)θ簝?nèi)個(gè)體進(jìn)行排列。城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體的十分位數(shù)、十分位數(shù)對(duì)應(yīng)個(gè)體序號(hào)及該個(gè)體收入見(jiàn)表1。

表1 城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體的十分位數(shù)據(jù)特征

（二）城鎮(zhèn)和農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪。對(duì)于每個(gè)分位數(shù)，我們采用第三部分給出的方法，分別計(jì)算與該分位數(shù)對(duì)應(yīng)的農(nóng)村個(gè)體被農(nóng)村群體的相對(duì)剝奪和城鎮(zhèn)個(gè)體被城鎮(zhèn)群體的相對(duì)剝奪，結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 對(duì)應(yīng)城鎮(zhèn)群體和農(nóng)村群體十分位數(shù)據(jù)的相對(duì)剝奪

根據(jù)表2中數(shù)據(jù)可以得到城鎮(zhèn)和農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪曲線，見(jiàn)圖1和圖2。

圖1 城鎮(zhèn)內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪曲線

圖2 農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪曲線

從表2和圖1、圖2可知，城鎮(zhèn)居民對(duì)應(yīng)各分位數(shù)的相對(duì)剝奪，從pi＝0到pi＝0.1、從pi＝0.1到pi＝0.2變動(dòng)幅度很大，均超過(guò)了0.1；從pi＝0.9到pi＝1變動(dòng)的幅度也很大，其值超過(guò)0.15，其原因主要是收入變化幅度較大，而其他各階段變化的幅度都比較小。另一方面，城鎮(zhèn)內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪曲線上的點(diǎn)大部分落在（0，1）和（1，0）點(diǎn)連線的下方，由于相對(duì)剝奪曲線和兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的面積為基尼系數(shù)，說(shuō)明城鎮(zhèn)內(nèi)部差距的基尼系數(shù)小于0.5；但是農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體剝奪呈現(xiàn)出和城鎮(zhèn)居民明顯不同的特點(diǎn)，從pi＝0到pi＝0.1以及從pi＝0.6以后的變動(dòng)幅度都超過(guò)了0.1，而且農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪曲線上的點(diǎn)大部分落在（0，1）和（1，0）點(diǎn)連線的上方，說(shuō)明農(nóng)村內(nèi)部差距的基尼系數(shù)大于0.5；從城鎮(zhèn)內(nèi)部和農(nóng)村內(nèi)部每一分位數(shù)點(diǎn)相對(duì)剝奪的數(shù)值來(lái)看，除個(gè)別點(diǎn)外，農(nóng)村內(nèi)部的個(gè)體相對(duì)剝奪要高于城鎮(zhèn)內(nèi)部。

（三）城鎮(zhèn)群體對(duì)農(nóng)村個(gè)體和農(nóng)村群體對(duì)城市個(gè)體的相對(duì)剝奪。對(duì)于每個(gè)分位數(shù)，我們采用第三部分給出的方法，分別計(jì)算與該分位數(shù)對(duì)應(yīng)的農(nóng)村個(gè)體被城鎮(zhèn)群體的相對(duì)剝奪和城鎮(zhèn)個(gè)體被農(nóng)村群體的相對(duì)剝奪，結(jié)果見(jiàn)表3。

表3 對(duì)于每一分位數(shù)城鎮(zhèn)群體對(duì)農(nóng)村個(gè)體和農(nóng)村群體對(duì)城鎮(zhèn)個(gè)體的相對(duì)剝奪

根據(jù)表3數(shù)據(jù)可以得到城鎮(zhèn)群體對(duì)農(nóng)村個(gè)體的相對(duì)剝奪曲線和農(nóng)村群體對(duì)城鎮(zhèn)個(gè)體的相對(duì)剝奪曲線，見(jiàn)圖3和圖4。

圖3 城鎮(zhèn)群體對(duì)農(nóng)村個(gè)體的相對(duì)剝奪曲線

圖4 農(nóng)村群體對(duì)城鎮(zhèn)個(gè)體的相對(duì)剝奪曲線

由表3和圖3、圖4可知，對(duì)于每一分位數(shù)，城鎮(zhèn)群體對(duì)農(nóng)村個(gè)體的相對(duì)剝奪遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于農(nóng)村群體對(duì)城鎮(zhèn)個(gè)體的相對(duì)剝奪，其原因在于對(duì)每一分位數(shù)城鎮(zhèn)居民收入比重比該分位數(shù)對(duì)應(yīng)的農(nóng)村居民收入比重都要高；農(nóng)村對(duì)城鎮(zhèn)最低收入的個(gè)體的相對(duì)剝奪很高，達(dá)到了0.9766，說(shuō)明城鎮(zhèn)中最低收入也很低，大部分農(nóng)村居民的收入都高于他，但是對(duì)其他每一分位數(shù)，農(nóng)村群體對(duì)城鎮(zhèn)個(gè)體的相對(duì)剝奪基本上都大于0（除了pi＝1外），但是數(shù)值比較小，說(shuō)明每一分位數(shù)上農(nóng)村居民中收入高于城鎮(zhèn)居民收入的比重比較低。

（四）城鎮(zhèn)與農(nóng)村群體的群間剝奪和群內(nèi)剝奪。利用定理4的推論（14）式和（15）式，我們很容易計(jì)算任意兩個(gè)群間的相對(duì)剝奪，采用這兩個(gè)公式可以計(jì)算出城鎮(zhèn)和農(nóng)村群體內(nèi)部的相對(duì)剝奪、城鎮(zhèn)對(duì)農(nóng)村的群間相對(duì)剝奪以及農(nóng)村對(duì)城鎮(zhèn)的群間相對(duì)剝奪，見(jiàn)表4。

表4 不同群體間的相對(duì)剝奪

從表4可知，農(nóng)村居民內(nèi)部收入差距較大，基尼系數(shù)達(dá)到了0.542689，城鎮(zhèn)居民內(nèi)部收入差距略小于農(nóng)村居民，基尼系數(shù)為0.452422。城鎮(zhèn)對(duì)農(nóng)村的相對(duì)剝奪達(dá)到了0.748796，處于一個(gè)較高的水平，然而農(nóng)村居民對(duì)城鎮(zhèn)居民的相對(duì)剝奪則較小，僅為0.223951，而且城鎮(zhèn)居民對(duì)農(nóng)村居民的相對(duì)剝奪遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于農(nóng)村居民對(duì)城鎮(zhèn)居民的相對(duì)剝奪，說(shuō)明城鎮(zhèn)居民的總體收入水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于農(nóng)村居民，農(nóng)村居民的收入水平要趕上城鎮(zhèn)居民還有一個(gè)很長(zhǎng)的路要走。

六、結(jié)論及未來(lái)展望

本文在已有研究的基礎(chǔ)上，對(duì)不同群間的個(gè)體進(jìn)行比較，分別研究了群間個(gè)體絕對(duì)剝奪、群間個(gè)體相對(duì)剝奪、不同群間總剝奪測(cè)度的性質(zhì)、公理化特征及其具體形式，并將相對(duì)剝奪曲線擴(kuò)展到不同群之間，給出了一個(gè)群相對(duì)于另一個(gè)群的相對(duì)剝奪曲線的繪制方法。與以往研究成果相比，本文在以下方面取得一定進(jìn)展：第一，將參照群的思想集成到群間剝奪的測(cè)度模型中，形成了統(tǒng)一的分析框架，得到了一個(gè)群對(duì)另一個(gè)群中個(gè)體的絕對(duì)剝奪測(cè)度公式，并證明一個(gè)個(gè)體剝奪函數(shù)如果滿足聚焦性公理、平移不變性公理、線性齊次性公理、加和可分性公理及正規(guī)化公理，則該函數(shù)就是我們給出的個(gè)體絕對(duì)剝奪函數(shù)，在上述框架下群內(nèi)個(gè)體絕對(duì)剝奪只是個(gè)體所在群和參照群相同時(shí)的一個(gè)特例；第二，在群間個(gè)體絕對(duì)剝奪的基礎(chǔ)上給出了群間個(gè)體相對(duì)剝奪的測(cè)度公式并分析了其性質(zhì)，以此為基礎(chǔ)，將Kakwani的相對(duì)剝奪曲線理論擴(kuò)展到不同群之間，繪制出群間相對(duì)剝奪曲線；第三，給出一個(gè)群對(duì)另一個(gè)群相對(duì)剝奪的計(jì)算公式（此時(shí)群內(nèi)不平等指標(biāo)——基尼系數(shù)只是兩個(gè)群相等時(shí)群間相對(duì)剝奪的一個(gè)特例），并對(duì)群間相對(duì)剝奪的性質(zhì)進(jìn)行了詳細(xì)的探討，該研究使我們對(duì)群間的收入差距有了更進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，與平均收入比這一指標(biāo)相比，兩個(gè)群體之間的相對(duì)剝奪更能反映群間的收入差距，平均收入高的群體對(duì)平均收入低的群體的相對(duì)剝奪反映了高收入群體和低收入群體間的收入差異狀況，而平均收入低的群體對(duì)平均收入高的群體的相對(duì)剝奪則反映了兩個(gè)群間的收入交錯(cuò)狀況，后者更為重要，在一定程度上代表了低收入群體的希望，也是調(diào)節(jié)群間收入差距應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注之所在，任何提高低收入群體中個(gè)體收入的措施，都會(huì)降低高收入群體和低收入群體的群間收入差距；第四，利用CGSS2008全國(guó)調(diào)查數(shù)據(jù)，繪制了城鎮(zhèn)內(nèi)部、農(nóng)村內(nèi)部、城鎮(zhèn)對(duì)農(nóng)村和農(nóng)村對(duì)城鎮(zhèn)的相對(duì)剝奪曲線，并計(jì)算了它們總體的相對(duì)剝奪，對(duì)理論成果進(jìn)行了實(shí)證檢驗(yàn)。

盡管研究得到了一些進(jìn)展，但仍有一些問(wèn)題需要進(jìn)一步研究，特別是群間個(gè)體絕對(duì)剝奪除以參照群的收入均值得到群間個(gè)體相對(duì)剝奪的做法缺乏強(qiáng)有力的理論支撐，但卻是目前最好的處理方法，其特例Kakwani指數(shù)由于不滿足平移不變性和焦點(diǎn)性公理也得到了很多學(xué)者的批評(píng)。因此，如何得到一個(gè)具有“更好”的個(gè)體相對(duì)剝奪測(cè)度成為未來(lái)有待解決的一個(gè)重要課題。

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